WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 49 |

З а д а ч а 20.4. Пусть X – замкнутая неориентируемая поверхность, – из которой вырезан открытый диск D2. Докажите, что A = D2 не является ретрактом пространства X.

Разберём теперь более сложный пример вычисления фундаментальной группы. При этом основная трудность связана с описанием клеточной структуры пространства.

П р и м е р (см. [59]). Пусть M3 – многообразие единичных каса– g тельных векторов к сфере с g ручками. Тогда группа 1 (M3 ) порождена g образующими a1,..., ag, b1,..., bg, c, которые связаны следующими g -соотношениями: aic = cai, bic = cbi и (aibia-1bi ) = c2-2g.

i i=Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на многообразии M2 = gT g произвольное векторное поле с изолированными особыми точками.

Можно считать, что все особые точки лежат внутри диска D2 M2.

g Сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности Mg равна 2 - 2g, поэтому степень отображения D2 S1, заданного формулой x v(x) v(x), равна 2 - 2g. Отображение D2 S1 гомотопно / любому другому отображению той же самой степени. Эту гомотопию 2 можно представить как векторное поле на кольце D2 \ D, где D – – концентрический с D2 диск. В результате можно построить векторное поле на M2 \ D, состоящее из векторов единичной длины; при этом g § 20. CW -комплексы можно считать, что на D2 векторное поле имеет следующий вид:

при прохождении некоторой малой дуги вектор v(x) совершает 2 - 2g оборотов, а вне этой дуги векторное поле постоянно. Продолжим это векторное поле внутрь D по радиусам (в центре диска векторное поле не определено).

С помощью построенного векторного поля v зададим характеристические отображения в M3 клеток размерности 1 и 2 следующим обраg зом. Представим двумерную поверхность M2 посредством 4g-угольника g со склеенными сторонами. Мы будем предполагать, что центр диска D соответствует вершинам этого многоугольника и дуга окружности D, вне которой векторное поле v постоянно, целиком расположена внутри одного из углов этого многоугольника (рис. 108).

Пусть v0 – постоянное значение – векторного поля v вне указанной дуги. В качестве 0-мерной клетки Mg выберем пару (центр диска D, вектор v0). В качестве открытых 1-мерных клеток выберем следующие мно- Рис. 108. Векторное поле жества:

– пары (центр диска D, произвольный единичный вектор w = v0);

– – пары (точка x, вектор v(x)), где точка x лежит внутри i-й сторо– ны 4g-угольника.

Ясно, что при продолжении по непрерывности соответствующих характеристических отображений (0, 1) M3 концы отрезка [0, 1] отобраg жаются как раз в 0-мерную клетку.

Займёмся теперь построением 2-мерных клеток. Отобразим гомеоморфно внутренность 4g-угольника на внутренность (4g + 1)-угольника, Рис. 109. Раздутие 288 Глава VI. Фундаментальная группа раздув одну вершину (рис. 109); здесь имеется в виду вершина, соот« » ветствующая дуге, на которой векторное поле не постоянно. Замыкание (4g + 1)-угольника естественным образом отображается в M3 с помоg щью векторного поля v. А именно, все вершины отображаются в 0-мерную клетку; каждая внутренняя точка x отображается в пару (x, v(x));

каждой точке раздутой стороны соответствует однозначно определён« » ный предельный касательный вектор в центре диска D; остальные стороны отображаются на соответствующие 1-мерные клетки.

Помимо этой 2-мерной клетки рассмотрим ещё 2-мерные клетки, состоящие из всех единичных векторов в точках одной из сторон 4g-угольника.

Легко проверить, что дополнение к объединению всех замкнутых 2-мерных клеток представляет собой открытую 3-мерную клетку. Действительно, дополнение состоит из единичных касательных векторов во внутренних точках 4g-угольника, причём в каждой точке x берутся все векторы, отличные от v(x). Такое множество гомеоморфно прямому произведению открытого 4g-угольника на (0, 1).

Образующие a1,..., ag, b1,..., bg соответствуют сторонам 4g-угольника. Образующая c соответствует 1-мерной клетке над центром дисg -ка D. Соотношение (aibia-1bi ) = c2-2g задаётся (4g + 1)-угольной i i=клеткой (степень отображения раздутой стороны на 1-мерную клет« » -ку c равна 2 - 2g). Соотношения aica-1c-1 = 1 и bicbi c-1 = 1 задаются i 4-угольными клетками.

З а д а ч а 20.5. Докажите, что M3 RP3. (Здесь M3 – многообразие – 0 единичных касательных векторов к S2.) 20.3. Фундаментальная группа пространства SO(n) При вычислении фундаментальной группы не обязательно выяснять клеточное строение данного пространства. Часто бывает достаточно рассмотреть точную последовательность некоторого расслоения.

П р и м е р. 1 (SO(n)) = Z2 при n 3. Образующей группы 1 (SO(n)) служат вращения вокруг фиксированной оси.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем в Rn+1 единичный вектор e и рассмотрим отображение SO(n + 1) Sn, которое сопоставляет матрице A вектор Ae. Это отображение является локально тривиальным расслоением со слоем SO(n). Запишем точную последовательность этого расслоения:

2(Sn) 1 (SO(n)) 1 (SO(n + 1)) 1 (Sn).

§ 20. CW -комплексы Если n 3, то 2 (Sn) = 1 (Sn) = 0, поэтому 1(SO(n)) 1 (SO(n + 1)).

= Кроме того, SO(3) RP3 (см. решение задачи 20.5) и 1 (RP3) = Z2.

Если мы представим RP3 как шар D3 с отождествлёнными диаметрально противоположными точками края, то при гомеоморфизме SO(3) RP3 вращения вокруг фиксированной оси переходят в некоторый диаметр этого шара. Диаметр шара D3 соответствует ненулевому элементу группы 1 (RP3), поскольку для накрытия S3 RP3 поднятие этого пути незамкнуто. При вложении SO(n) SO(n + 1) вращения вокруг фиксированной оси переходят во вращения вокруг фиксированной оси, а образующая фундаментальной группы переходит в образующую фундаментальной группы.

Теорема Какутани. Используя то, что 1 (SO(3)) = Z2, можно доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а 20.2 (Какутани [79]). Пусть S2 = {u R3 | x = 1} и f : S2 R – непрерывное отображение. Тогда в R3 можно выбрать – ортонормированный базис u1, u2, u3 так, что f(u1) = f(u2) = f(u3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем ортонормированный базис e1, e2, e3 и рассмотрим отображение : SO(3) R3, заданное формулой (A) = (f(Ae1), f(Ae2), f(Ae3)). Требуется доказать, что хотя бы одна точка (A) лежит на прямой l, заданной уравнением x = y = z.

Предположим, что (SO(3)) не пересекает эту прямую. Пусть – – композиция отображения и проекции на плоскость x + y + z = 0 (эта плоскость ортогональна прямой l). Согласно предположению начало координат не принадлежит образу отображения, поэтому можно рассмотреть композицию отображения и проекции из начала координат на единичную окружность S1 на данной плоскости. В результате получим отображение : SO(3) S1. Рассмотрим ограничение отображения на подгруппу S1 SO(3), состоящую из поворотов вокруг прямой l.

Выясним, как устроена кривая (S1). Пусть t – параметр на окруж– ности S1 (угол поворота вокруг оси l). При повороте на угол t = 2 / векторы e1, e2, e3 переходят в e2, e3, e1. На плоскости x + y + z = 0 этому соответствует преобразование (x, y, z) (y, z, x). Легко убедиться, что это преобразование – поворот на угол 2 3. Действительно, коси– / нус угла между векторами (x, y, z) и (y, z, x), где z = -x - y, равен xy - (x + y)2 = -. Поэтому кривая (S1) устроена следующим обx2 + y2 - (x + y)2 разом. При изменении t от 0 до 2 3 она идёт из точки (x0, y0, z0) в точку / (y0, z0, x0). Следующий участок кривой, для t от 2 3 до 4 3, получа/ / ется из предыдущего поворотом на угол 2 3. Оставшаяся часть кривой / получается ещё одним поворотом на угол 2 3. Кривая (S1) устроена / 290 Глава VI. Фундаментальная группа аналогично. При изменении t от 0 до 2 3 точка (t) поворачивается / на угол + 2k, где k – некоторое целое число. Поэтому при измене– нии t от 0 до 2 точка (t) поворачивается на угол 2(3k + 1) = 0. Это означает, что отображение : SO(3) S1 индуцирует ненулевой гомоморфизм 1 (SO(3)) 1 (S1). Но любой гомоморфизм Z2 Z нулевой.

С л е д с т в и е. Вокруг любого ограниченного выпуклого замкнутого множества K в R3 можно описать куб.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого единичного вектора u Rрассмотрим две опорные плоскости тела K, ортогональные u. Пусть f(u) – расстояние между этими опорными плоскостями. Применив к f – теорему Какутани, получаем требуемое.

Спинорная группа. Если n 3, то 1 (SO(n)) = Z2. Это означает, что SO(n) двулистно накрывается некоторым односвязным многообразием. Это многообразие обозначают Spin(n). Оно, как и SO(n), является группой. Группу Spin(n), которую называют спинорной группой, можно построить следующим образом.

Алгеброй Клиффорда Cn называют ассоциативную алгебру с единицей, порождённую образующими e1,..., en, которые удовлетворяют соотношениям ei = -1 и eiej + ejei = 0 при i = j. Пусть Rn – линей – ное подпространство в Cn, натянутое на векторы e1,..., en. Легко проверить, что xiei = - xi, поэтому все ненулевые элементы Rn Cn обратимы. В частности, обратимы все элементы единичной сферы Sn-1 Rn Cn. В мультипликативной группе обратимых элементов Cn элементы единичной сферы Sn-1 порождают некоторую подгруппу;

эту подгруппу обозначают pin(n). Группа Spin(n) – это некоторая часть – группы pin(n). Чтобы описать, какая именно часть, нам понадобится 0 разложение линейного пространства Cn в прямую сумму Cn Cn, где i пространство Cn порождено произведениями вида ej... ej ; пересече1 2k+i 0 ние пространств Cn и Cn состоит только из нуля, потому что применение соотношений ei = -1 и eiej + ejei = 0 не может изменить чётность числа образующих, входящих в произведение. Группа Spin(n) – это та часть – группы pin(n), которая лежит в Cn. По-другому можно сказать так:

группа Spin(n) состоит из произведений u1u2... u2k, где ui Sn-1.

Для построения гомоморфизма Spin(n) SO(n), являющегося двулистным накрытием, нам потребуется инволютивный антиизоморфизм алгебры Cn, заданный формулой ei... ei ei... ei ; при таком отобра1 k k жении элементы ei и eiej + ejei остаются неподвижными, поэтому мы действительно получаем отображение алгебры Cn в себя. Это отображение мы будем обозначать u u. Ясно, что (u) = u и (uv) = vu.

§ 20. CW -комплексы Сопоставим каждому элементу upin(n) отображение (u) : Rn Rn, заданное формулой (u)x = uxu. Прежде всего нужно проверить, что элемент uxu действительно лежит в Rn, т. е. представляется в виде линейной комбинации элементов e1,..., en. Достаточно рассмот реть случай, когда u Sn-1. Пусть u = uiei и x = xiei. Тогда ux = - uixi + uixjeiej. В произведении uxu = uxu есть часть, i=j лежащая в Rn по очевидным причинам. Оставшаяся часть имеет вид uixjukeiejek, где суммирование ведётся по тройкам попарно различных чисел. Но eiejek = -ekejei, поэтому указанная сумма равна нулю.

Проверим, далее, что (u) – ортогональное преобразование. Прежде – всего заметим, что если u = u1... uk, где ui Sn-1, то uu = uu = (-1)k.

Кроме того, как мы уже говорили, xiei = - xi = - x 2. Поэтому (u)x 2 = -uxuuxu = -(-1)kux2u = (-1)k x 2uu = x 2.

Т е о р е м а 20.3. Отображение : pin(n) O(n) является эпиморфизмом групп. При этом -1 (SO(n)) = Spin(n) и Ker |Spin(n) = = {1, -1}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что (uv)x = uvx(uv) = uvxvu = = (u)(v)x. Поэтому – гомоморфизм групп.

– Покажем, что если u Sn-1, то (u) – симметрия относительно ги– перплоскости, ортогональной вектору u. Представим x в виде u + w, где wu. Нужно проверить, что (u)x = -u + w. Но (u)x = u(u + w)u = = uuu + uwu = -u + uwu. Остаётся проверить, что uwu = w (в рассматриваемом случае u = u).

i Если uiwi = 0 и u2 = 1, то uwu = uiwjuieiejei = u2wjej = wjej = w. Любое ортогональное i i,j i,j преобразование можно представить в виде композиции симметрий относительно гиперплоскостей, поэтому – эпиморфизм. Ясно также, что – ортогональное преобразование сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда оно является композицией чётного числа симметрий относительно гиперплоскостей. Поэтому -1 (SO(n)) = Spin(n).

Предположим, что u Spin(n) и (u)x = x для всех x. Тогда, в частности, ueiu = ei, поэтому ueiuu = eiu. Но uu = 1 для u Spin(n). Значит, uei = eiu. Наоборот, если uei = eiu для всех i и u Spin(n), то (u)x = x для всех x. Несложно проверить, что если u = ai...i2kei... ei, то 1 1 2k -eiuei =-eiuei = (-1)(i)ai...i2kei...ei, где (i) =0, если i {i1,..., i2k}, / 1 1 2k и (i) = 1, если i {i1,..., i2k}. Поэтому для элемента u Cn равенство eiu = uei выполняется для всех i тогда и только тогда, когда u = · 1, где R. Следовательно, Ker |Spin(n) = {1, -1}.

Итак, группа Spin(n) двулистно накрывает SO(n). Остаётся проверить, что это накрытие нетривиальное, т. е. пространство Spin(n) связно.

292 Глава VI. Фундаментальная группа Для этого достаточно проверить, что в Spin(n) есть путь, соединяющий точки 1 и -1. Этот путь можно задать формулой (e1 cos t + e2 sin t) (e1 cos t - e2 sin t) = - cos 2t - e1e2 sin 2t, где t [0, 2].

/ § 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – 21.1. Эквивалентные формулировки Предположим, что линейно связное топологическое пространство X является объединением линейно связных множеств U1 и U2, причём множество U1 U2 тоже линейно связно. Выберем точку x0 U1 U2 и рассмотрим фундаментальные группы 1 (U1 U2, x0), 1 (U1, x0) и 1 (U2, x0).

Предположим, что эти группы заданы наборами образующих S, S1, Sи соотношений R, R1, R2. Для краткости будем одинаково обозначать отображение топологических пространств и индуцированное им отображение фундаментальных групп. При вложении i : Ui X элемент si Si в элемент isi 1 (X, x0), поэтому в 1 (X, x0) можно рассмотреть наборы элементов (алфавиты) 1S1 и 2S2; при этом каждый элемент образа отображения i : 1 (Ui, x0) 1 (X, x0) можно записать в алфавите iSi. Возьмём теперь элемент s S и рассмотрим его образ в 1 (Ui, x0) при вложении i : U1 U2 Ui. Элемент is можно записать в алфавите Si, а элемент iis можно записать в алфавите iSi. При этом в группе 1 (X, x0) выполняется соотношение 11s = 22s, поскольку 11 = 22 (обе композиции задают одно и то же отображение – вложение U1 U2 в X).

– Итак, в группе 1 (X, x0) есть элементы 1S1 и 2S2, причём эти элементы связаны соотношениями 1R1, 2R2 и 11s = 22s, s S. Рассмотрим группу G, порождённую образующими 1S1, 2S2 и соотношениями 1R1, 2R2 и 11s = 22s, s S. Естественно ожидать, что группа G изоморфна 1 (X, x0). Если не накладывать никаких ограничений (кроме линейной связности), то это Рис. 110. Контрпример утверждение неверно; соответствующий пример можно построить для X = S1 (см. рис. 110). Но если на рассматриваемые пространства наложены некоторые ограничения, то это утверждение верно. Например, в 1931 г. Зейферт [121] доказал, что оно верно в случае, когда U1 и U2 – подкомплексы симплициального комплекса, а в 1933 г.

– § 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – ван Кампен [133] доказал, что оно верно в случае, когда U1 и U2 открыты в X.

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.