WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 49 |

Мультииндексу соответствует карта U на многообразии G(n, k), причём точка i-1 (e) является началом координат. Вложение Плюккера в этих локальных координатах устроено следующим образом. Координата Плюккера x равна определителю матрицы, образованной столбцами 1,..., k матрицы, у которой столбцы 1,..., k образуют единичную матрицу, а остальные столбцы заполнены числами y1,..., yk(n-k). Ясно, что x – однородный многочлен от переменных y1,..., yk(n-k), сте– пень которого равна количеству столбцов 1,..., k, отличных от столбцов 1,..., k (при этом x = 1). При вычислении гессиана функции c x в начале координат нас интересуют только линейные многочлеx ны x. Будем называть символы Шуберта и (длины k) соседними, если они имеют ровно k - 1 общий элемент. Легко проверить, что если и – соседние символы Шуберта, то x = ±yi. При этом каж– дому индексу i соответствует ровно один символ Шуберта (i), соседний с.

§ 19. Теория Морса В начале координат функция f принимает значение c. При этом 2 c + c x (y) (c - c)x (y) f(y) - c = - c =.

2 1 + x (y) 1 + x (y) Следовательно, квадратичная форма, аппроксимирующая f(y) - c, равна k(n-k) (c (i) - c)x (i) (y); здесь в суммировании участвуют только симвоi=лы Шуберта (i), соседние с. Если все числа c попарно различны, то критическая точка i-1 (e) невырожденная; её индекс равен количеству символов Шуберта (i), соседних с, для которых c (i) < c.

Упорядочим символы Шуберта следующим образом: будем считать, что <, если k = k, k-1 = k-1,..., i+1 = i+1, i < i. Константы c выберем так, что c < c при <. Легко проверить, что для символа Шуберта количество соседних с ним символов Шуберта, которые меньше, равно d(). Действительно, выбросим из символа Шуберта элемент i. Чтобы получить символ Шуберта, который меньше, можно добавить любое натуральное число, меньшее i и отличное от 1,..., i-1; количество таких чисел равно i - i.

Итак, при указанном выборе чисел c точка i-1(e) является невырожденной критической точкой индекса d(). Остаётся проверить, что у функции fi нет других критических точек.

Рассмотрим произвольное k-мерное подпространство ; пусть – его – символ Шуберта. Выберем в базис v1,..., vk, где vi = = (vi1,..., vi, 1, 0,..., 0) и vi = 0 при j < i. Будем говорить, что j i-вектор vi имеет ненулевую координату, если vis = 0 для некоторого s < i (координату vi = 1 мы не учитываем). Мы предполагаем, что i = i-1 (e), т. е. хотя бы один из векторов v1,..., vk имеет ненулевую координату. Обозначим этот вектор vi; для дальнейших целей удобно выбрать номер i максимально возможным.

Рассмотрим подпространство t, порождённое векторами v1,..., vi-1, vi+1,..., vk и вектором vi (t) = ((1 + t)vi1,..., (1 + t)vi, 1, 0,..., 0).

i-Ясно, что если – критическая точка функции fi, то t = 0 – крити– – ческая точка функции (t) = fi(t), поэтому достаточно проверить, что (0) = 0.

Пусть V(t) – матрица, строками которой служат координаты векторов – v1,..., vi-1, vi (t), vi+1,..., vk; V (t) – матрица, образованная столбца– ми 1,..., k матрицы V(t). Для подпространства t координата Плюккера x (t) равна det V (t).

280 Глава V. Многообразия 2 Согласно определению (t) = c x (t) x (t), поэтому / 2 cxx x - cx x x (0) =, x где x = x (0) и x = x (0).

Ситуация наиболее проста в случае i = k. В этом случае в зависимости от k структура матрицы V (t) следующая.

Если k < k, то последняя строка матрицы V (t) получается из последней строки матрицы V(t) умножением всех элементов на 1 + t. В этом случае x (t) = (1 + t)x (0) и x (t) = x (0).

Если k = k, то последний столбец матрицы V (t) состоит из элемен тов 0,..., 0, 1. В этом случае x (t) = const и x (t) = 0.

Если k > k, то последний столбец матрицы V (t) нулевой. В этом случае x (t) = 0.

Таким образом, x = 0 лишь при k < k и x = 0 лишь при k k.

Поэтому если мы запишем символы Шуберта и в виде =, k и =, k (здесь и – символы Шуберта меньшей длины), то ненуле– вые члены числителя выражения для (0) примут вид 2 2 c, x, x,k + x,k k k,k

k k,k

,k

k k,k

Константы c выбраны так, что из условия k

k 2 Поэтому из равенства (0) = 0 следует, что x, x,k = 0 для всех k и, k < k. Но если, k =, то x,k = x = 1. Поэтому x, = 0 для k всех, k < k. С другой стороны, если символ Шуберта состоит из элементов j и 1,..., k-1, то x = ±vkj, а по условию одно из чисел vkj, j < k, отлично от нуля. Приходим к противоречию.

Рассмотрим теперь случай, когда i < k. Напомним, что для удобства мы выбрали номер i максимальным, т. е. вектор vi имеет ненулевую координату, а векторы vi+1,..., vk имеют нулевые координаты (координаты § 19. Теория Морса vj = 1 мы не учитываем). При таком условии x (t) = 0 лишь в том слу j чае, когда i i, i+1 = i+1,..., k = k, а x (t) = 0 лишь в том случае, когда i < i, i+1 = i+1,... k = k; при этом x (0) = x (0). Запишем символ Шуберта = (1,..., i, i+1,..., k) = (1,..., i, i+1,..., k) в виде, i, где = (1,..., i-1); общую часть i+1,..., k мы игнорируем. В таких обозначениях ненулевые члены числителя выражения для (0) принимают почти такой же вид, как и раньше; единственная разница заключается в том, что неравенства k < k и k < k нужно заменить на i < i и i < i.

З а м е ч а н и е. Первая явная конструкция функции Морса на многообразии Грассмана приведена в [146]. Наше изложение следует [66];

см также [26]. Более простое построение функции Морса на многообразии Грассмана приведено в [7], но оно использует свойства коммутатора векторных полей.

Глава VI Фундаментальная группа В п.2.1 мы дали определение фундаментальной группы 1 (X, x0) произвольного линейно связного пространства X с отмеченной точкой x0.

Там же доказаны основные свойства фундаментальной группы, которыми мы будем здесь пользоваться при вычислении фундаментальных групп некоторых конкретных топологических пространств.

§ 20. CW-комплексы Точно так же, как доказывалась теорема 2.1 на с. 42, можно доказать, что любой конечный связный CW -комплекс гомотопически эквивалентен CW -комплексу с единственной вершиной (0-мерной клеткой) e0. В дальнейшем при вычислении фундаментальной группы CW -комплекса X мы будем предполагать, что у него ровно одна вершина e0. Мы будем также предполагать, что e0 – отмеченная – точка (при изменении отмеченной точки фундаментальная группа заменяется на изоморфную группу; изоморфизм индуцирован отображением -1, где – путь из одной отмеченной точки в другую).

– 20.1. Основная теорема Если клеточное строение пространства X задано явно, то его фундаментальная группа легко вычисляется. А именно, 1-мерные клетки соответствуют образующим группы, а 2-мерные клетки соответствуют соотношениям. Поясним это подробнее. Одномерный остов X1 представляет собой букет окружностей, поэтому 1 (X1, e0) – свободная группа с об– разующими 1,..., k, где k – количество 1-мерных клеток в X. Ха– рактеристическое отображение 2-мерной клетки 2 : D2 X индуцирует i отображение i : D2 X1 X. Выберем в S1 произвольную отмеченную точку s. Отображению i соответствует элемент фундаментальной группы 1 (X1, i (s)). Этому элементу можно сопоставить элемент группы 1 (X1, e0), выбрав путь из i (s) в e0. Таким образом, i-й двумерной § 20. CW -комплексы клетке мы сопоставили элемент группы 1 (X1, e0). Обозначим его тоже i; элемент i определён с точностью до сопряжения. Легко проверить, что отображению i : S1 X соответствует единичный элемент группы 1 (X, i (s)). Требуемая гомотопия изображена на рис. 105.

i s X При естественном вложении X1 X образующие 1,..., k 1 (X1, e0) переходят в элементы a1,..., ak 1 (X, e0). Элемент i представляет собой некоторое слово в алРис. 105. Гомотопия фавите ±1,..., ±1. Соответствующее ему 1 k слово bi в алфавите a±1,..., a±1 является 1 k единичным элементом группы 1 (X, e0), т. е. мы получаем соотношение bi = 1, где bi – некоторое слово в алфавите a±1,..., a±1. Соотношения – 1 k bi = 1 и abia-1 = 1 эквивалентны, поэтому неоднозначность выбора элемента i с этой точки зрения несущественна.

Т е о р е м а 20.1. Группа 1 (X, e0) порождена элементами a1,..., ak и любое соотношение в этой группе сводится к соотношениям b1,..., bl. (Это означает, что если слову в алфавите ±1,..., ±1 соответствует слово b в алфавите a±1,..., a±1, 1 k 1 k представляющее единичный элемент группы 1 (X, e0), то N, где N – минимальная нормальная подгруппа в 1 (X1, e0), содержа– щая элементы 1,..., l.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим S1 в виде CW -комплекса с одной 0-мерной клеткой и одной 1-мерной клеткой; 0-мерную клетку будем считать отмеченной точкой s. Согласно теореме о клеточной аппроксимации любое непрерывное отображение (S1, s) (X, e0) гомотопно клеточному отображению (S1, s) (X1, e0). Поэтому вложение X1 X индуцирует эпиморфизм фундаментальных групп 1(X1, e0) 1 (X, e0), т. е.

элементы a1,..., ak порождают группу 1 (X, e0).

Та же самая теорема о клеточной аппроксимации показывает, что вложение X2 X индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Действительно, вложение X1 X индуцирует эпиморфизм фундаментальных групп, поэтому достаточно проверить, что если две петли в X1 (с началом e0) гомотопны в пространстве X, то они гомотопны и в пространстве X2. Гомотопия в пространстве X двух петель в X1 представляет собой отображение H : I2 X. Представим квадрат I2 как CW -комплекс с вершинами, 4 рёбрами и одной 2-мерной клеткой. Ограничение отображения H на I2 является клеточным, поэтому отображение H гомотопно клеточному отображению H : I2 X2, причём гомотопия неподвижна на I2. Отображение H является искомой гомотопией в пространстве X2.

284 Глава VI. Фундаментальная группа Рис. 106. Накрытие pОстаётся проверить, что ядром гомоморфизма 1 (X1, e0) 1(X2, e0), индуцированного вложением X1 X2, служит группа N. Рассмотрим накрытие p1 : X1 X1, соответствующее подгруппе N 1 (X1, e0); это означает, что p11 (X1, e ) = N, где 0 p-1 (e0). Например, если X2 – – тор, а X1 – его 1-мерный остов (букет двух окружностей), то накрытие p– устроено так, как показано на рис. 106.

Группа N нормальная, поэтому накрытие p1 регулярное. Согласно определению накрытия p1 поднятие каждой петли i : (S1, s) (X1, e0) с началом e замкнуто. Из регулярности накрытия p1 следует, что -любое поднятие петли i с началом 0 p1 (e0) тоже замкнуто.

ij j Поэтому можно рассматривать как характеристическое отображение ij : D1 X1. Приклеив к X1 посредством отображений 2-мерные ij ij j клетки, получим CW -комплекс X2. При этом накрытие p1 можно про должить до накрытия p2 : X2 X2.

Рассмотрим произвольную петлю : (S1, s) (X1, e0), стягиваемую в X2. Из стягиваемости петли следует, что её поднятие в X2 замкну то; при этом поднятие петли целиком лежит в X1. Поэтому петля является проекцией петли в X1 с началом 0. Следовательно, петля представляет элемент группы N, что и требовалось.

С л е д с т в и е. Группа 1(X, e0) изоморфна 1(X2, e0), т. е. фундаментальная группа CW -комплекса полностью определяется 2-мерным остовом.

20.2. Некоторые примеры П р и м е р. 1 (CPn) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Двумерным остовом CPn служит CP1S2.

П р и м е р. Группа 1 (nT ) порождена образующими a1, b1,..., an, n -bn, связанными единственным соотношением (aibia-1bi ) = 1.

i i=Д о к а з а т е л ь с т в о. Обратитесь к рис. 70 на с. 163.

§ 20. CW -комплексы П р и м е р. Группа 1(nP2) порождена образующими a1,..., an, связанными единственным соотношением a2... a2 = 1.

1 n 2 Мы уже доказывали, что поверхности S2, T, 2T,..., P2, 2P2,...

попарно не гомеоморфны (теорема 11.5 на с. 161). С помощью фундаментальной группы это доказывается совсем просто. Напомним, что коммутантом группы G называют группу G, состоящую из произведений элементов вида aba-1b-1, где a, b G. Тождество xaba-1b-1x-1 = xax-1a-1a(xb)a-1 (xb)-1xx-показывает, что подгруппа G G нормальна. Ясно также, что факторгруппа G G коммутативна.

/ У п р а ж н е н и е 1. а) Докажите, что если G=1(nT ), то G G Z2n.

/ = б) Докажите, что если G = 1 (nP2), то G G Zn-1 Z2.

/ = 1 1 Легко проверить, что группы Zn Z и Zn Z, где i = 0 или 1, 2 изоморфны тогда и только тогда, когда n1 = n2 и 1 = 2.

З а д а ч а 20.1. а) Докажите, что любая подгруппа конечного ин2 декса группы 1 (nT ) изоморфна 1 (mT ) для некоторого m и при этом m - 1 делится на n - 1.

б) Докажите, что любая подгруппа конечного индекса группы 1 (nP2) изоморфна либо 1 (mP2), где m - 2 делится на n - 2, либо 1 (mT ), где 2(m - 1) делится на n - 2.

П р и м е р. Фундаментальная группа поверхности nT, из которой вырезано k 1 дисков, является свободной группой ранга 2n + k - 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фундаментальная группа рассматриваемого пространства порождена образующими a1, b1,..., an, bn и c1,..., ck, связанными единственным соn - - отношением c1... ck (aibia-1bi ) = i i=(рис. 107). Элемент ck выражается че - рез остальные элементы, между которы- - ми уже нет никаких соотношений.

С л е д с т в и е. Поверхность nT, - из которой вырезано k 1 дисков, гомотопически эквивалентна букету 2n + k - 1 окружностей. (Это легко Рис. 107. Сфера с ручками, также доказать непосредственно, из которой вырезаны диски построив деформационную ретракцию.) П р и м е р. Фундаментальная группа поверхности nP2, из которой вырезано k 1 дисков, является свободной группой ранга n + k - 1.

286 Глава VI. Фундаментальная группа Используя свойства фундаментальной группы, можно получить ещё одно доказательство того, что окружность S1 = D2 не является ретрактом диска D2. А именно, предположим, что существует ретракция i r r : D2 S1. Тогда композиция отображений A X A является тож- дественным отображением, поэтому оно индуцирует тождественный гомоморфизм фундаментальных групп. Но композиция отображений i r 1 (A) - 1 (X) - 1 (A) не может быть тождественным отображением, поскольку 1 (A) = Z и 1 (X) = 0.

Более тонкие алгебраические рассуждения позволяют доказать следующие утверждения. Напомним, что на с. 85 доказано общее утверждение о том, что край компактного многообразия не может быть его ретрактом.

З а д а ч а 20.2. Пусть X – лист Мёбиуса, A – его край. Докажите, – – что A не является ретрактом пространства X.

З а д а ч а 20.3. а) Пусть X – тор T, из которого вырезан откры– тый диск D2. Докажите, что A = D2 не является ретрактом пространства X.

б) Докажите аналогичное утверждение, заменив T на сферу с g ручками.

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.