WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 || 40 | 41 |   ...   | 49 |

Отображение : X1 X0 определяется аналогично. В этом случае нужно согласовать равенства (u 2) = 0 (u) и (u) = 1(u), поэтому при / t [1 2, 1] и u Si-1 полагаем (tu) = 2t-1 (u).

/ Остаётся проверить, что idX и idX. Непосредственные вы0 числения показывают, что 4tu при t [0, 1/4];

((tu)) = 4t-1(u) при t [1 4, 1 2];

/ / (u) при t [1 2, 1].

/ 2-2t 272 Глава V. Многообразия Неформально гомотопию этого отображения в тождественное отображение можно описать так. Мы равномерно растягиваем отрезок [0, 1 4] / до отрезка [0, 1], оставляя на этом отрезке отображение линейным.

Одновременно на остающемся отрезке отображение k(t) заменяем на (1-s)k(t), s [0, 1] (в концах отрезка задано отображение 0; именно его мы хотим получить при s = 1).

Для отображения рассуждения аналогичны.

б) Пусть g : X Y – отображение, гомотопически обратное h. Опре– делим отображения H : Y Di X h Di и G : X h Di Y gh Di следующими условиями: H|Y = h, H|Di = idDi и G|X = g, G|Di = idDi.

Из того, что gh idY, следует, что gh. Поэтому согласно доказанному выше утверждению а) существует гомотопическая эквивалентность : Y gh Di Y Di. Покажем, что отображение GH гомотопно тождественному. Непосредственно из конструкций отображений, G и H видно, что GH(y) = y при y Y и 2tu при t [0, 1 2], u Si-1;

/ GH(tu) = 2-2t(u) при t [1 2, 1], u Si-1;

/ здесь t – гомотопия, связывающая отображения gh и idY.

– Гомотопия отображения GH в тождественное отображение строится в основном так же, как это делалось в а). Главное отличие заключается в том, что теперь нет ограничений на то, куда отображается правый конец отрезка [0, 1]. Поэтому в качестве отображения остающегося отрезка (имеется в виду отрезок, остающийся после растяжения отрезка [0, 1 2]) / можно взять первоначальное отображение некоторой левой части отрезка. Формально это отображение описывается так:

2 1 + s tu при t 0,, u Si-1;

1 + s 1 s (tu) = 2-2t+s(u) при t + s 1, u Si-1;

, выбор линейной функции 2 - 2t + s связан с тем, что она равна 1 при 1 + s t =.

Итак, GH id. Аналогично доказывается, что HG id, где – – отображение, гомотопически обратное. Следовательно, GH (GH) = (GH) id.

Далее получаем HG (HG)HG = H(GH)G HG id.

§ 19. Теория Морса Условия GH id и HG id означают, что отображения H и G гомотопически обратны; в частности, H – гомотопическая эквивалентность.

– З а д а ч а 19.1. а) Предположим, что подкомплекс Y стягиваем в CW -комплексе X, т. е. вложение Y X гомотопно постоянному отображению. Докажите, что тогда X Y X Y.

/ б) Пусть сфера Sm канонически вложена в Sn, причём m < n. Докажите, что Sn Sm Sn Sm+1.

/ 19.3. Примеры функций Морса n Тор. Тор T мы будем представлять как факторпространство n Rn 2Zn. Тогда гладкие функции на торе T – это гладкие функции / – от n переменных, имеющие период 2 по каждой переменной.

П р и м е р. Пусть c1,..., cn – действительные числа. Функция f(x1, – n..., xn) = c1 sin x1 +... + cn sin xn является функцией Морса на T тогда n и только тогда, когда c1,..., cn = 0. Эта функция имеет критических k точек индекса k.

f f Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенства =... = = 0 означают, x1 xn что c1 cos x1 =... = cn cos xn = 0. Если ci = 0, то xi = ± + 2m. Ясно также, что если ci = 0, то у функции f есть неизолированные критические точки. Если же c1,..., cn = 0, то в критической точке f= diag(-c1 sin x1,..., -cn sin xn) = diag(1c1,..., ncn), xixj где xi = -i + 2m. Индекс этой критической точки равен количеству тех i, для которых ici < 0. Критическая точка индекса k задаётся указанием k номеров i, для которых ici < 0.

Отметим, что если S1 представить в виде CW -комплекса с одной n 0-мерной клеткой и одной 1-мерной, то тор T = S1... S1 будет пред n ставлен в виде CW -комплекса, имеющего клеток размерности k.

k Рассмотренная в примере 19.3 функция Морса задаёт именно это разбиение тора на клетки.

Сфера. Сферу Sn мы будем представлять как подмногообразие в Rn, 2 заданное уравнением x1 +... + xn+1 = 1.

П р и м е р. Функция f(x1,..., xn+1) = xn+1 является функцией Морса на Sn с двумя критическими точками индекса 0 и n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сферу Sn можно покрыть 2(n + 1) картами, каждая из которых задаётся неравенством xi > 0 или xi < 0; локальными 274 Глава V. Многообразия координатами для этой карты служат (x1,..., xi-1, xi+1,..., xn+1). Если i = n + 1, то на соответствующей карте функция f гладкая и не имеет кри 2 тических точек. На карте xn+1 > 0 функция f имеет вид 1 - x1 -... - xn;

2 здесь x1 +... + xn < 1 и имеется в виду положительное значение корня.

f f Несложные вычисления показывают, что =... = = 0 только x1 xn 2 f в точке (x1,..., xn) = (0,..., 0); в этой точке матрица равна xixj -In. Таким образом, точка (x1,..., xn, xn+1) = (0,..., 0, 1) Sn имеет индекс n.

Аналогичные вычисления для карты xn+1 < 0 показывают, что в точке (0,..., 0, -1) гессиан равен In, т. е. эта точка имеет индекс 0.

П р и м е р. Пусть c1,..., cn+1 – действительные числа. Функция – 2 f(x1,..., xn+1) = c1x1 +... + cn+1xn+1 является функцией Морса на Sn тогда и только тогда, когда числа c1,..., cn+1 попарно различны. Эта функция Морса имеет по две критические точки каждого из индексов 0, 1, 2,..., n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. На картах xn+1 > 0 и xn+1 < 0 функция f имеет один и тот же вид, а именно, 2 2 2 f = c1x1 +... + cnxn + cn+1 (1 - x1 -... - xn) = 2 = (c1 - cn+1)x1 +... + (cn - cn+1)xn + cn+1.

Такая функция имеет единственную критическую точку (x1,..., xn) = = (0,..., 0). Эта критическая точка невырожденная тогда и только тогда, когда все числа c1,..., cn отличны от cn+1; индекс невырожденной критической точки равен количеству чисел c1,..., cn, меньших cn+1. Точке (x1,..., xn) = (0,..., 0) на картах xn+1 > 0 и xn+1 < 0 соответствуют точки (x1,..., xn, xn+1) = (0,..., 0, ±1) Sn.

Аналогичные вычисления можно провести и для остальных карт xi > и xi < 0. Все критические точки окажутся невырожденными только тогда, когда все числа c1,..., cn+1 попарно различны. Ясно также, что для каждого k = 0, 1,..., n найдётся ровно один номер i, для которого k из чисел c1,..., ci-1, ci+1,..., cn+1 меньше ci.

Вещественное проективное пространство. Вещественное проективное пространство RPn мы будем представлять как многообразие, которое получается из сферы Sn отождествлением точек x и -x.

Пусть f – функция Морса на Sn, обладающая тем свойством, что – f(-x) = f(x). Тогда функцию f можно рассматривать и как функцию на RPn, причём она тоже будет функцией Морса. При этом каждой § 19. Теория Морса критической точке на RPn соответствуют две критические точки на Sn с тем же самым индексом.

2 Функция f(x1,..., xn+1) = c1x1 +... + cn+1xn+1 обладает требуемым свойством, поэтому справедливо следующее утверждение.

2 П р и м е р. Функция f(x1,..., xn+1) = c1x1 +... + cn+1xn+1 является функцией Морса на RPn тогда и только тогда, когда числа c1,..., cn+попарно различны. Эта функция Морса имеет по одной критической точке каждого из индексов 0, 1, 2,..., n.

Комплексное проективное пространство. Точки комплексного проективного пространства CPn мы будем задавать однородными координатами (z1 :... : zn).

П р и м е р. Пусть c1,..., cn+1 – попарно различные действительные – числа. Тогда функция c1|z1|2 +... + cn+1|zn+1|f(z1 :... : zn+1) = |z1|2 +... + |zn+1|является функцией Морса на CPn. Эта функция Морса имеет по одной критической точке каждого из индексов 0, 2,..., 2n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Многообразие CPn можно покрыть n + картами, каждая из которых задаётся условием zk = 0. Для карты zn+1 = 0 в качестве локальных координат можно взять wk = zk zn+1, / k = 1,..., n (здесь подразумевается, что комплексной координате wk соответствуют две вещественные координаты). В этих локальных координатах функция f имеет вид c1|w1|2 +... + cn|wn|2 + cn+f(w1,..., wn) =.

|w1|2 +... + |wn|2 + Удобнее перейти к координатам uk = wk w 2 + 1, где w 2 = |w1|2 + / +... + |wn|2. Воспользовавшись тем, что 1 w = 1 - = 1 - |u1|2 -... - |un|2, w 2 + 1 w 2 + получим f(u1,..., un) = (c1 - cn+1)|u1|2 +... + (cn - cn+1)|un|2 + cn+1.

2 При этом uk = xk + iyk и |uk|2 = xk + yk.

Рассуждения завершаются точно так же, как в примере 19.3. В комплексном случае индексы критических точек удваиваются по сравнению 2 с вещественным случаем, поскольку |uk|2 = xk + yk.

276 Глава V. Многообразия Многообразия SO(n) и U(n). Мы построим функции Морса на SO(n) и U(n), следуя [7]. Предварительно выясним, как устроено касательное пространство к SO(n) и U(n) в точке X, где XX = In – – единичная матрица, X = XT (в вещественном случае комплексное сопряжение можно опустить). Если – касательный вектор, то матрица – X + t с точностью до членов порядка t должна удовлетворять соотношению (X + t) (X + t) = In, поэтому X + X = 0. В точке X = In это условие принимает вид + = 0, т. е. матрица косоэрмитова (кососимметрическая в вещественном случае). Размерности пространств кососимметрических и косоэрмитовых матриц легко вычисляются; они совпадают с размерностями SO(n) и U(n). Ясно также, что для матрицы = X равенство X + X = 0 эквивалентно равенству + = 0. Значит, любая матрица, для которой X + X = 0, лежит в касательном пространстве.

Л е м м а. Пусть – матрица порядка n, которую мы рассмат– риваем как вектор в Rn. Введём в пространстве матриц скалярное произведение (A, B) = tr(AB). Тогда ортогональная проекция вектора на касательное пространство к SO(n) или U(n) в точке X равна ( - XX).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, когда X = In.

В этом случае ортогональное дополнение к косоэрмитовым (кососимметрическим) матрицам состоит из эрмитовых (косоэрмитовых) матриц.

Поэтому матрицу нужно записать в виде суммы эрмитовой и косоэрми1 1 товой матрицы: = ( + ) + ( - ). Матрица ( - ) – проекция – 2 2 на касательное пространство, а матрица ( + ) – проекция на ор– тогональное дополнение к касательному пространству.

Для произвольной точки X можно поступить следующим образом.

Сначала перенесём вектор в точку In: X-1 = X. Затем для вектора X найдём проекцию на касательное пространство. Она равна (X - X). Наконец, вернёмся в исходное касательное пространст1 1 во: (X - X) (X - X)X = ( - XX).

2 2 П р и м е р. Рассмотрим на SO(n) или U(n) функцию fA (X) = = Re tr(AX), где A – фиксированная матрица. Точка X является кри– тической точкой этой функции тогда и только тогда, когда A = XAX.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть apq = pq + ipq и xpq = upq + ivpq.

Тогда fA (X) = (pquqp - pqvqp), поэтому grad f = A – постоянная – pq матрица.

§ 19. Теория Морса Критические точки – это те точки, для которых проекция вектора – grad f на касательное пространство нулевая. Согласно лемме 19.3 эта проекция равна (A - XAX).

П р и м е р. Пусть A = diag(a1,..., an), где 0 a1 <... < an. Тогда fA (X) – функция Морса на SO(n) или U(n).

– Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно примеру 19.3 точка X критическая тогда и только тогда, когда A = XAX. В таком случае A = (XAX) = = X-1AX-1. Поэтому A2 = (XAX) (X-1AX-1) = XA2X-1, т. е. матрицы A2 и X коммутируют. При этом A – диагональная матрица с различными – собственными значениями. Следовательно, X – диагональная матрица – (см. [15, задача 39.1, а]). По условию матрица X унитарная, поэтому X = diag(±1,..., ±1); в вещественном случае произведение диагональных элементов равно 1.

Мы нашли критические точки функции fA. Теперь нужно проверить, что все они невырожденные.

Пусть – касательный вектор в точке In, т. е. + = 0, X0 = – = diag(1,..., n), где i = ±1, – критическая точка. Рассмотрим отоб– ражение X0e, и в качестве локальных координат в окрестности точки X0 выберем наддиагональные и диагональные элементы матрицы.

В этих координатах fA (X) - fA (X0) = Re tr A(X - X0) = Re tr AX0 (e - In) = = Re tr AX0 + 2 +... = = Re apppp + apppjjp +....

p p Числа pp чисто мнимые, поэтому вещественная часть первой суммы равна нулю. Кроме того, pj = -jp, поэтому во второй сумме все чис ла вещественные и fA (X) - fA (X0) = - (app + aqq)|pq|2 +...

1 p q n По условию aq > ap 0 при q > p, поэтому sgn(app + aqq) = sgn(aqq) при q p. Значит, если p q, то |pq|2 входит со знаком, противоположным знаку q. В частности, в квадратичной части fA (X) присутствуют квадраты всех координат.

Многообразия Грассмана. Мы будем пользоваться обозначениями, введёнными в п. 15.5, и доказанными там свойствами многообразий Грассмана. Особенно важен для нас будет символ Шуберта 278 Глава V. Многообразия = (1,..., k), где 1 1 <... < k n, и связанное с ним число d() = (1 - 1) + (2 - 2) +... + (k - k), равное размерности открытой клетки Шуберта e().

Символ Шуберта – это специальное название мультииндекса, кото– рое употребляется при описании клеточной структуры многообразия Грассмана. Каждому символу Шуберта соответствует координата Плюккера x. Набор координат Плюккера подпространства G(n, k) n -k представляет собой точку проективного пространства RP. Пусть e – точка этого проективного пространства, соответствующая оси, – т. е. e = (0 : 0 :... : 0 : 1 : 0 :... : 0), где единица стоит на месте, соответствующем мультииндексу. Ясно, что точка e принадлежит образу открытой клетки Шуберта e().

n -k П р и м е р. Пусть f(x) = cx, c R, – функция на RP – n -k (предполагается, что x = 1), i : G(n, k) RP – вложение – Плюккера. Тогда числа c можно выбрать так, что функция fi будет функцией Морса на G(n, k) с критическими точками i-1 (e) индекса d(). (Выбор чисел c конструктивный; он будет описан в процессе доказательства.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если числа c попарно различны, то соглас n -k но примеру 19.3 функция f является функцией Морса на RP с критическими точками e. Поэтому все точки i-1 (e) являются критическими для функции fi. Выясним, как устроена функция fi в окрестности точки i-1 (e).

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 || 40 | 41 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.