WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 49 |

Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Вложим многообразие Mn в Rm, фиксируем точку a Rm и положим f(x) = x - a 2 для x Mn. Пусть u1,..., un – локальные координаты на многообразии Mn и xi (u1,..., un), – i = 1,..., m, – координаты точки (u1,..., un) в Rm. Функции xi гладкие, – поэтому функция f тоже гладкая. Наша цель – выбрать точку a так, – чтобы все критические точки функции f были невырожденными.

f 2 f Ясно, что = 2(xi - ai) и = 2ij. Поэтому xi xixj m m f f xk xk = = 2 (xk - ak) ;

ui xk ui ui k=1 k=m m 2 f 2 f xk xl f 2xk = + = uiuj xkxl ui uj xk uiuj k,l=1 k= m xk xk 2xk = 2 + (xk - ak).

ui uj uiuj k= x xm Векторы ei =,...,, i = 1,..., n, образуют базис касательного ui ui пространства TxMn, поэтому точка x Mn является критической точкой функции f тогда и только тогда, когда вектор = x - a ортогонален пространству TxMn. Эта критическая точка вырожденная тогда и только тогда, когда матрица с элементами gij + (, lij), где gij = (ei, ej) 2x1 2xm и lij =,...,, вырожденная. Здесь gij и lij зависят uiuj uiuj от точки x Mn (и от локальной системы координат).

На с. 250 мы уже рассматривали m-мерное многообразие N, состоящее из пар (x, ), где x Mn и – вектор, ортогональный TxMn Rm.

– Покажем, что точка (x, ) N является критической точкой отображения (x, ) x - Rn тогда и только тогда, когда матрица с элементами gij + (, lij) вырожденная. Из этого следует, что функция f(x) = x - a на многообразии Mn имеет вырожденную критическую точку тогда и только тогда, когда a – критическое значение отображения (x, ) x -. По– 266 Глава V. Многообразия этому согласно теореме Сарда для почти всех a Rm функция f(x) = = x - a 2 является функцией Морса.

Матрицу Якоби отображения (x, ) x + мы уже вычисляли (см.

с. 249); для отображения (x, ) x - аналогичные вычисления показывают, что его матрица Якоби J равна k k e1 + k,..., en + k, -1,..., -m-n.

u1 un Векторы e1,..., en образуют базис пространства TxMn, а векторы 1,..., m-n образуют базис ортогонального дополнения этого пространства. Следовательно, матрица A = (e1,..., en, 1,..., m-n) невырожденная, а значит, ранг матрицы J равен рангу матрицы k gij - ei, k AT J = uj.

Im-n k 2x Остаётся проверить, что - ei, k = (, lij), где lij =. Треuj uiuj 2x k x буемое равенство эквивалентно равенству k, = -,, uiuj uj ui x x т. е. k, = 0. Но векторы k и = ei ортогональны, поэтому uj ui ui (k, ei) = 0.

З а м е ч а н и е. Если многообразие Mn вложено в Rm как замкнутое подмножество, то функция f(x) = x - a 2 обладает тем свойством, что все множества {x Mn|f(x) c} компактны.

Функцию Морса f называют правильной, если все её значения во всех критических точках попарно различны.

Т е о р е м а 19.3. На любом замкнутом многообразии Mn существует правильная функция Морса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1,..., xn – критические точки функ– ции Морса f : Mn R. Выберем попарно не пересекающиеся окрестности Ui xi и в них выберем открытые подмножества Vi xi так, что существуют гладкие функции i : Mn R, равные 1 на множестве Vi и равные 0 вне множества Ui. Рассмотрим функцию g(x) = f(x) + 11 (x) + f +.. + (x). На компактном множестве Ui \ Vi функция +... + x. kk f + достигает положительного минимума, поэтому если i доста x n точно мало, то функция g(x) не имеет критических точек, принадлежащих Ui \ Vi. Функция g будет правильной функцией Морса, если числа 1,..., k достаточно малы и все числа g(xi) = f(xi) + i попарно различны.

§ 19. Теория Морса 19.2. Градиентные векторные поля и приклеивание ручек Пусть f – гладкая функция на многообразии Mn. Если на Mn зада– на риманова метрика, то по функции f можно построить градиентное векторное поле grad f, которое характеризуется следующим свойством:

для любого гладкого векторного поля v на многообразии Mn выполняется равенство (grad f, v) = v(f), где v(f) – производная функции f по направ– лению векторного поля v. Если Mn = Rn и риманова метрика задаётся f f каноническим скалярным произведением, то grad f =,...,.

x1 xn Из этого легко вывести, что особые точки векторного поля grad f соответствуют критическим точкам функции f, причём невырожденные особые точки соответствуют невырожденным критическим точкам.

Т е о р е м а 19.4. Для любой римановой метрики индекс невырожденной особой точки x0 векторного поля grad f равен (-1)i, где i – индекс критической точки x0 функции f.

– Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего покажем, что индекс особой точки векторного поля grad f не зависит от выбора римановой метрики.

Пусть (v, w)0 и (v, w)1 – две римановы метрики на многообразии Mn.

– Тогда формула (v, w)t = t(v, w)0 + (1 - t) (v, w)1, t [0, 1], определяет непрерывное семейство римановых метрик. Индекс особой точки векторного поля grad f (определённого относительно соответствующей римановой метрики) непрерывно зависит от t и является целым числом, поэтому от t индекс не зависит.

2 2 2 Для функции f(x) = -x1 -... - xi + xi+1 +... + xn в пространстве Rn с каноническим скалярным произведением векторное поле grad f имеет вид 2(-x1,..., -xi, xi+1,..., xn). В начале координат это векторное поле имеет особую точку индекса (-1)i (см. доказательство теоремы 18.на с. 253).

С л е д с т в и е. Пусть f – функция Морса на замкнутом мно– n гообразии Mn. Тогда альтернированная сумма (-1)ici, где ci – – i=количество критических точек индекса i, не зависит от выбора функции f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Указанная альтернированная сумма равна сумме индексов особых точек векторного поля grad f, а сумма индексов особых точек для любого векторного поля на данном замкнутом многообразии одна и та же.

Топологическое строение замкнутого многообразия Mn во многом определяется набором индексов критических точек правильной функции Морса f. Ниже мы приведём точные формулировки. Основные изучаемые 268 Глава V. Многообразия объекты – множества Ma = {x Mn | f(x) a} и поверхности уровня – f-1(a). Изучаются их перестройки при прохождении через критическое значение. Отметим, что если a не является критическим значением, то Ma – многообразие.

– Т е о р е м а 19.5. Предположим, что на отрезке [a, b] нет критических значений функции Морса f на замкнутом многообразии Mn. Тогда многообразия Ma и Mb диффеоморфны; в частности, поверхности уровня f-1 (a) и f-1(b) диффеоморфны. Кроме того, многообразие f-1 ([a, b]) диффеоморфно f-1(a) [a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем > 0 так, что на отрезке [a -, b + ] нет критических значений функции f. Пусть (s) – гладкая – функция, равная 1 при s [a, b] и равная 0 при s [a -, b + ]. Если f(x) [a -, b + ], то можно определить векторное поле grad f grad f / (мы предполагаем, что на многообразии Mn задана риманова метрика).

С помощью функции на всём многообразии Mn можно определить векторное поле (f(x)) grad f v(x) =.

grad f При этом v(x) = 0, если f(x) [a -, b + ].

Гладкое векторное поле v на компактном многообразии Mn определяет (x, t) интегральные кривые (x, t), для которых (x, 0) =x и =v( (x, t)).

t Последнее равенство означает, что касательный вектор в точке (x, t) кривой (x, t + ) равен v( (x, t)). Иными словами, если g : Mn R – – произвольная гладкая функция, то в точке x Mn оператор v сопостав g( (x, t)) ляет функции g число. Таким образом, t t= g( (x, t)) = v(g) = (v, grad g).

t t=Возьмём в качестве g исходную функцию f. Тогда получим, что если f(x) [a, b], то f( (x, t)) grad f =, grad f = 1. (1) t grad f t=Рассмотрим отображение t : Mn Mn, заданное формулой t (x) = = (x, t). Отображение t обладает следующими двумя свойствами:

n 0 = idM и t+s = ts. Следовательно, t – диффеоморфизм. Форму– ла (1) показывает, что b-a (Ma) = Mb.

Диффеоморфизм многообразия f-1 (a) [a, b] на многообразие f-1([a, b]) задаётся формулой (x, t) (x, t - a).

§ 19. Теория Морса С помощью теоремы 19.5 можно выяснить, как топологически устроено замкнутое многообразие в том случае, когда на нём существует функция Морса ровно с двумя критическими точками (максимумом и минимумом).

Т е о р е м а 19.6. Предположим, что на замкнутом многообразии Mn существует функция Морса f, имеющая ровно две критические точки. Тогда многообразие Mn гомеоморфно) Sn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть fmax и fmin – максимальное и мини– мальное значения функции f. Согласно лемме Морса существует локальная система координат с началом в точке максимума, в которой 2 функция f имеет вид f(x1,..., xn) = fmax - x1 -... - xn. Поэтому можно выбрать > 0 так, что поверхность уровня f-1 (fmax - ) диффеоморфна Sn-1, а неравенство f(x) fmax - определяет многообразие, диффеоморфное Dn. Будем предполагать, что число выбрано так, что аналогичные свойства выполняются и для точки минимума.

Между точками fmin + и fmax - нет критических значений функции f, поэтому согласно теореме 19.5 прообраз отрезка [fmin +, fmax - ] диффеоморфен Sn-1 I. Поэтому многообразие Mn получается из Sn- I приклеиванием двух экземпляров Dn по некоторым диффеоморфизмам краёв 1 : Sn-1 Sn-1 и 2 : Sn-1 Sn-1. Несложно показать, что такое многообразие гомеоморфно Sn. Действительно, если 1 = 2 = idSn-1, то это очевидно. Поэтому остаётся убедиться, что диффеоморфизм : Sn-1 Sn-1 можно продолжить до гомеоморфизма : Dn Dn. Для x Dn положим x(x x ) при x = 0;

/ (x) = 0 при x = 0.

В точке 0 отображение непрерывно, но не дифференцируемо.

Рассмотрим теперь случай, когда между поверхностями уровня f-1(a) и f-1 (b) расположена ровно одна критическая точка.

Т е о р е м а 19.7. Предположим, что x0 – невырожденная кри– тическая точка индекса i гладкой функции f и на отрезке [a, b] = = [f(x0) -, f(x0) + ] нет образов других критических точек. Тогда пространство Mb гомотопически эквивалентно пространству, полученному из Ma приклеиванием шара Di по отображению Di Ma.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема 19.5 показывает, что число можно считать сколь угодно малым: если мы не проходим через критическое значение функции f, то строение многообразий Ma и Mb не изменяется.

) Милнор [10] показал, что многообразие Mn может быть не диффеоморфно Sn.

270 Глава V. Многообразия Воспользуемся леммой Морса и выберем локальные координаты с началом в точке x0 так, что в этих координатах f(x1,..., xn) = f(x0) - x1 -...

2 2... - xi + xi+1 +... + xn. В выбранной локальной системе координат пересечение поверхности уровня f(x) = f(x0) - с линейным подпространством, порождённым первыми i координатами, представляет собой i-мер2 2 i ный шар x1 +... + xi ; обозначим его D. Координаты точек поверхности f(x) = f(x0) +, проецирующихся на этот шар, удовлетворяют нера2 венству xi+1 +... + xn 2; обозначим соответствующий (n - i)-мерный n-i шар D2 (на рис. 104 изображён случай n = 2; i = 1). Мы предполагаем, n-i i что столь мало, что множество D D2 целиком лежит в выбранной координатной окрестности U x0.

Мы будем строить деформационную ретракцию r : Mb A, где A = i i i = Ma D (при этом Ma D = D). Чтобы упростить обозначения, будем записывать координаты (x1,..., xn) в виде (x-, x+), где x- = = (x1,..., xi) и x+ = (xi+1,..., xn). На мноxn-i i жестве D D2 Mb отображение r устроn-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i n-i Dn-i Dn-i Dn-i Dn-i DDn-i DDn-i Dn-i Dn-i DDDn-i Dn-i DDn-i Dn-i Dn-i Dn-i Dn-i DDDn-i DDDDn-i DDDDn-i DDDDDDn-i DDDDDDDn-i DDDDDDn-i DDn-i DDDn-i DDDDDn-i Dn-i DDn-i Dn-i Dn-i Dn-i DDDn-i Dn-i Dn-i DDn-i DDDDn-i DDn-i DDn-i 2 ено следующим образом. Пусть векторное поn-i i ле u в точке (x-, x+) D D2 Mb равно (0, -x+). Отобразим точку x в конец замыi D xкания интегральной кривой векторного поля u, проходящей через точку x (рис. 104).

Вне координатной окрестности U отображение r можно построить аналогично с помощью векторного поля v(x) = - grad f(x). ОтРис. 104. Деформацион- метим, что если x U, то v(x) = (x-, -x+).

ная ретракция Чтобы определить отображение r на всём множестве Mb, нужно построить векторное поn-i i ле, которое совпадает с u на D D2 и совпадает с v вне U.

n-i i Пусть : Mn [0, 1] – гладкая функция, равная 0 на D D2 и рав– ная 1 вне U. Для x U положим w(x) = ((x)x-, -x+); для x U положим w(x) = v(x). Интегральные кривые векторного поля w обладают тем свойством, что абсолютные величины координат x+ убывают, поэтому все интегральные кривые попадают на поверхность уровня f(x) = f(x0) - (имеются в виду интегральные кривые, выходящие из точек множества Mb, расположенных вне Ma и вне n-i i D D2 ).

Гомотопия, связывающая отображения idM и r : Mb A Mb, строb ится следующим образом. Для каждой точки x Mb мы рассматриваем отрезок интегральной траектории от x до r(x) и делим эту кривую в отношении t : (1 - t).

§ 19. Теория Морса Из теорем 19.5 и 19.7 можно вывести следующее важное утверждение, связывающее индексы критических точек функции Морса и строение многообразия как CW -комплекса.

Т е о р е м а 19.8. Пусть f – функция Морса на замкнутом мно– гообразии Mn, имеющая ci критических точек индекса i (i = 0, 1,..., n). Тогда Mn гомотопически эквивалентно CW -комплексу, имеющему ci клеток размерности i.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 – критическая точка индекса i, – причём на отрезке [a, b] = [f(x0) -, f(x0) + ] нет других критических точек. Достаточно доказать, что если пространство Ma гомотопически эквивалентно CW -комплексу X, то пространство Mb гомотопически эквивалентно пространству X Di, где : Si-1 = Di X – клеточное – отображение.

Согласно теореме 19.7 пространство Mb гомотопически эквивалентно Ma Di, где : Si-1 Ma – некоторое отображение. Пусть h: Ma – X – гомотопическая эквивалентность. Выберем в качестве клеточ– ную аппроксимацию отображения h: Si-1 X. Остаётся доказать следующие два утверждения (в обозначениях Ma заменено на Y).

Л е м м а. а) Если отображения 0, 1 : Si-1 X гомотопны, то пространства X Di и X Di гомотопически эквивалентны.

0 б) Если : Si-1 Y – некоторое отображение и h: Y X – – – гомотопическая эквивалентность, то пространства Y Di и X h Di гомотопически эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть t – гомотопия, связывающая – 0 и 1. Определим отображение : X0 = X Di X Di = X0 следующим образом. При x X положим (x) = x. В пространстве Xточки u Si-1 и 0(u) отождествлены, поэтому должно выполняться равенство (u) = (0 (u)) = 0 (u). При t [0, 1 2] и u Si-1 положим / (tu) = 2tu. В пространстве X1 точки u Si-1 и 1 (u) отождествлены, поэтому должно выполняться равенство (u 2) = u = 1 (u). Чтобы / согласовать равенства (u 2) = 1 (u) и (u) = 0 (u), при t [1 2, 1] / / и u Si-1 положим (tu) = 2-2t (u).

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.