WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 49 |

0 Множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k обозначают k (n + k). На множестве k (n + k) можно fr fr задать структуру абелевой группы. Чтобы сложить два элемента этой группы, нужно выбрать их представителей, расположенных в разных полупространствах Rn+k и Rn+k, и рассмотреть их объединение. Нулевым + элементом служит класс, содержащий пустое множество. Чтобы получить обратный элемент, нужно изменить ориентацию ортонормированного базиса (например, заменить вектор v1 (x) на -v1 (x)). Доказательство того, что при этом действительно получается обратный элемент, проводится так же, как уничтожаются прообразы с разными знаками якобиана при доказательстве теоремы Хопфа.

Оснащённое 0-мерное подмногообразие в Rn представляет собой набор m+ точек, в которых заданы положительно ориентированные базисы, и m- точек, в которых заданы отрицательно ориентированные базисы. Класс этого оснащённого многообразия в 0 (n) задаётся числом fr m+ - m-. Теорема Хопфа устанавливает изоморфизм 0 (n) n (Sn) при = fr n 2. (Точнее говоря, изоморфизм есть и при n = 1, но для n = 1 не годятся те рассуждения, которые используются при n 2.) Т е о р е м а 18.12 (Понтрягин). При k 0 и n 2 группа k (n + k) fr изоморфна n+k (Sn).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оснащённому многообразию Mk Rn+k можно сопоставить отображение f : Sn+k Sn следующим образом.

Согласно теореме о трубчатой окрестности (теорема 18.5 на с. 249) можно выбрать > 0 так, что отображение Mk Rn Rn+k, заданное формулой n (x, a) x + aivi (x), при a < является гомеоморфизмом Mk D на -окрестность Mk в Rn+k. Пусть x0 Sn+k и y0 Sn – отмеченные – n точки. Отождествим Sn+k \ {x0} с Rn+k, а Sn \ {y0} с D. Отобразим все точки Rn+k, не принадлежащие -окрестности Mk, в y0, а -окрестn n ность Mk отождествим с Mk D и спроецируем на D = Sn \ {y0}.

Если Mk и Mk – оснащённо кобордантные многообразия, то анало– 0 k+гичная конструкция позволяет по многообразию W построить отображение Sn+k I Sn, которое представляет собой гомотопию, связывающую отображения f0, f1 : Sn+k Sn.

Сопоставим теперь отображению f : Sn+k Sn оснащённое подмногообразие Mk Rn+k. Прежде всего заменим непрерывное отображение f на гомотопное ему гладкое отображение g. Выберем регулярное значение y1 Sk, отличное от отмеченной точки y0 = g(x0). Положим Mk = g-1 (y1). Оснащение Mk зададим следующим образом. Фиксируем в точке y1 Rn = Sn \ {y0} ортонормированный базис e1,..., en и выбе§ 18. Степень отображения рем в качестве vi (x) тот нормальный к Mk в точке x вектор, для которо го dg vi (x) = ei. Точно так же, как это делалось для степени, можно доказать, что гладко гомотопные отображения определяют оснащённо кобордантные многообразия и класс эквивалентности многообразия Mk не зависит от выбора регулярной точки y1.

Построенные отображения групп k (n + k) и n+k (Sn) взаимно обратfr ны и сохраняют групповые операции.

З а д а ч а 18.13. Докажите, что расслоение Хопфа p : S3 S2 явля ется образующей группы 3 (S2) Z, и опишите соответствующее осна= щённое многообразие в 1 (3).

fr 18.6. Гомотопически эквивалентные линзовые пространства Пусть p > 1 – натуральное число, а числа q1,..., qn, где n 2, взаим– но просты с p. Зададим на единичной сфере S2n-1 Cn действие группы Zp следующим образом. Пусть – образующая группы Zp. Тогда – (z1,..., zn) = exp(2iq1 p)z1,..., exp(2iqn p)zn.

/ / Это действие не имеет неподвижных точек, поэтому фактор по этому действию является многообразием. Это многообразие обозначают Lp (q1,..., qn) и называют линзовым пространством.

Отображение : S2n-1 Lp (q1,..., qn) является p-листным накры тием с группой автоморфизмов Zp. Поэтому 1 Lp (q1,..., qn) = Zp.

Если число k взаимно просто с p, то Lp (q1,..., qn) = Lp (kq1,..., kqn), поскольку в группе Zp элемент k, где – образующая, тоже является – образующей. Для n = 2 (т. е. для трёхмерных многообразий) получаем, -что Lp (q1, q2) = Lp (1, q1 q2), т. е. любое трёхмерное линзовое пространство имеет вид Lp (1, q). В топологии трёхмерных многообразий вместо обозначения Lp (1, q) обычно используется обозначение L(p, q).

Т е о р е м а 18.13. Пусть линзовые пространства Lp (q1,..., qn) и Lp (q1,..., qn) таковы, что q1... qn ±knq1... qn (mod p) для некоторого целого числа k. Тогда эти линзовые пространства гомотопически эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что число k взаимно просто с p. По этому Lp (q1,..., qn) = Lp (kq1,..., kqn) = Lp (q1,..., qn), где q1... qn = = knq1... qn. Таким образом, нужно доказать, что если q1... qn ±q1... qn (mod p), то Lp (q1,..., qn) Lp (q1,..., qn). Для упрощения обозначений будем считать, что q = q.

j j 260 Глава V. Многообразия Выберем числа kj так, что kjqj q (mod p), и рассмотрим отобраj жение f : S2n-1 S2n-1, заданное формулой 1 n 1 n f (r1ei,..., rnei ) = (r1eik 1,..., rneik n).

Согласно задаче 18.6 степень отображения f равна k1... kn. Условие kjqj q (mod p) означает, что отображение f индуцирует отображение j факторпространств f : L L, где L = Lp (q1,..., qn) и L =Lp (q1,..., qn).

Действительно, отображение f переводит точку с координатами j j j j rjei e(2iq p) в точку с координатами rjeik j e(2iq p), поскольку kjqj q j (mod p). Таким образом, точки, эквивалентные относительно отображения, переходят в точки, эквивалентные относительно отображения.

Степень отображения f равна степени отображения f, т. е. deg f = = k1... kn.

Построим композицию отображений id(deg=d) f L L S2n-1 - ------ L S2n-1 - L следующим образом. Чтобы построить первое отображение, выберем в L малый шар и стянем его границу в точку. Второе отображение тождественно на L, а на S2n-1 оно является отображением S2n-1 S2n-1 степени d. Третье отображение устроено на L как f, а на S2n-1 оно устроено как каноническая проекция : S2n-1 L. Пусть g : L L – компози– ция этих отображений. Непосредственно из определения степени отображения видно, что deg g = deg f + dp = k1... kn + dp. Но k1... kn -1 - q1q1... qnqn ±1 (mod p), поэтому d можно выбрать так, что deg g = ±1. В дальнейшем будем считать, что d выбрано именно так.

Аналогично можно построить отображение g : L L. Покажем, что эти отображения являются требуемыми гомотопическими эквивалентностями. Согласно теореме Уайтхеда (теорема 14.9 на с. 195) для этого достаточно проверить, что гомоморфизм g : n(L) n(L ) является изоморфизмом при всех n 1. Сфера S2n-1 односвязна, поэтому при n = 1 достаточно проверить, что отображение f : 1(L) 1(L ) является изоморфизмом. Рассмотрим коммутативную диаграмму f f S2n-1 S2n-1 S2n- f f L L L.

§ 19. Теория Морса Непосредственно из определений видно, что отображение f f тождественно, поэтому отображение f f тоже тождественно. Из этого следует, что f : 1 (L) 1 (L ) – изоморфизм.

– Пусть теперь n 2. Используя универсальность накрытия : S2n- L, построим коммутативную диаграмму f S2n-1 S2n- f L L.

Отображение g, как и отображение g, имеет степень ±1. Поэтому из те оремы Хопфа следует, что отображение g гомотопно либо тождественному отображению, либо симметрии относительно экваториальной ги перплоскости. Значит, отображение g : n (S2n-1) n (S2n-1) является изоморфизмом для всех n. При n 2 отображения : n (S2n-1) n (L) и : n (S2n-1) n(L ) являются изоморфизмами, поэтому отображение g : n (L) n (L ) тоже изоморфизм.

Для трёхмерных линзовых пространств L(p, q) формулировка теоремы 18.13 выглядит следующим образом.

Т е о р е м а 18.14. Линзовые пространства L(p, q) и L(p, q ), для которых q ±k2q (mod p), гомотопически эквивалентны.

Действительно, L(p, q) = Lp (1, q), т. е. q1 = 1 и q2 = q. Поэтому ра венства q = ±k2q и q1q2 = ±k2q1q2 эквивалентны.

§ 19. Теория Морса 19.1. Функции Морса Пусть Mn – многообразие без края и f : Mn R – гладкая функ– – ция. Точка x Mn является критической тогда и только тогда, когда rank f(x) = 0, т. е. отображение df : TxMn R нулевое. В локальных f координатах (x1,..., xn) это означает, что (x) = 0 при i = 1,..., n.

xi Критическую точку x функции f называют невырожденной, если 2 f матрица Гессе, или гессиан, (x) невырожденная. Это опредеxixj ление не зависит от выбора локальных координат, поскольку при переходе к другим локальным координатам (y1,..., yn) гессиан преобразуется 262 Глава V. Многообразия следующим образом:

2 f 2 f (x) = JT (x) J, yiyj xixj xi где J =.

yj Гладкую функцию f : Mn R называют функцией Морса, если все её критические точки невырожденные.

Напомним, что индекс квадратичной формы aijxixj, заданной симметрический матрицей (aij), определяется следующим образом. Заменой переменных (над полем R) квадратичную форму можно привести к виду 2 2 2 -y1 -... - yq + yq+1 +... + yn. В таком случае индексом квадратичной формы называют число q. Индекс квадратичной формы можно также определить как максимальную размерность подпространства, на котором форма отрицательно определена.

Индексом невырожденной критической точки x функции f называют индекс гессиана функции f в точке x.

2 2 2 У п р а ж н е н и е 1. Пусть f(x) = -x1 -... - xq + xq+1 +... + xn.

Докажите, что точка x0 = (0,..., 0) является критической, причём её индекс равен q.

Т е о р е м а 19.1 (лемма Морса). В окрестности невырожденной критической точки индекса q существуют такие локальные координаты с началом в критической точке, что в этих координатах 2 2 2 функция f имеет вид f(x1,..., xn) = f(0) - x1 -... - xq + xq+1 +... + xn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что f(0) = 0 и локальные координаты представляют собой выпуклую окрестность в Rn. Тогда согласно лемме на с. 219 существуют такие гладкие функции g1,..., gn, f что f(x) = xi gi (x) и gi (0) = (0). По условию точка 0 критичеxi f ская, т. е. (0) = 0. Ещё раз применив ту же самую лемму, получим xi 2 f f(x) = xixjhij (x), где hij (0) = (0), т. е. hij (0) – гессиан функ– xixj ции f в критической точке. После замены hij (x) на hij (x) + hji (x) можно считать, что матрица hij (x) симметрическая, а после линейной замены координат можно считать, что h11 (0) = 0. Уменьшив при необхо димости координатную окрестность, можно считать, что h11 (x) h11 (0) > / для всех x из координатной окрестности. Положим h12 (x) h1n (x) y1 = x1 + x2 +... + xn, yi = xi при i 2.

h11 (x) h11 (x) § 19. Теория Морса Согласно теореме об обратной функции отображение (x1,..., xn) (y1,..., yn) является диффеоморфизмом (возможно, в ещё меньшей координатной окрестности). Легко проверить, что xixjhij (x) = h11 (x)y1 + yiyjhij (x).

i,j Сделаем замену z1 = y1 |h11 (x)|, zi = yi при i 2, а затем аналогичные преобразования применим к квадратичной форме от n - 1 переменной и т. д.

С л е д с т в и е. Невырожденная критическая точка является изолированной критической точкой.

Докажем теперь, что на любом многообразии существуют функции Морса. Мы приведём два разных доказательства, каждое из которых имеет свои преимущества. Первое доказательство показывает, что любую гладкую функцию малым шевелением можно превратить в функцию Морса; под малым шевелением здесь подразумевается малое шевеление первой и второй производной. Второе доказательство конструктивно.

Кроме того, оно показывает, что существуют функции Морса f, для которых все множества {x Mn | f(x) c} компактны; для некомпактных многообразий это свойство бывает полезно.

Т е о р е м а 19.2. На любом многообразии Mn существует функция Морса.

Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Пусть g : Mn R – произвольная глад– кая функция (например, постоянная). Функцию Морса f мы будем строить, последовательно изменяя функцию g, как это уже делалось при доказательстве теоремы 17.5 (см. с. 235). Области Ui,1 Ui,2 Ui,3, карты i : Ui,3 Rn и функцию : Rn R мы определим так же, как в доказательстве этой теоремы. Изменить функцию g так, чтобы у новой функции не было вырожденных критических точек в области Ui,1, можно с помощью следующего утверждения.

Л е м м а 1. Пусть U Rn – открытое множество и f : U – R – гладкая функция. Тогда для почти всех линейных функций – A: Rn R функция f + A имеет только невырожденные критические точки.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение F : U Rn, заданное формулой f f F(x) = (x),..., (x).

x1 xn Точка x0 является критической точкой отображения F тогда и только тогда, когда гессиан функции f в точке x0 является вырожденной матрицей.

264 Глава V. Многообразия Поэтому условие, что функция f(x) - a1x1 -... - anxn имеет вырожденную критическую точку x0, эквивалентно тому, что F(x0) = (a1,..., an) и x0 – критическая точка отображения F, т. е. (a1,..., an) – образ кри– – тической точки отображения F. Остаётся воспользоваться теоремой Сарда.

Из леммы 1 следует, что если gi-1 – гладкая функция на много– образии Mn, то существует линейная функция A(x) = a1x1 +... + anxn со сколь угодно малыми коэффициентами ai, для которой функция gi (y) = gi-1 (y) + (i (y))A(i (y)) не имеет вырожденных критических точек на множестве Ui,1 (лемму 1 нужно применить к множеству U = = Ui,2 Ui,1; отметим, что (i (y)) = 1 для всех точек y Ui,1).

Мы научились исправлять функцию gi-1 на множестве Ui,1. Остаётся научиться делать это так, чтобы не портить достигнутого ранее. А именно, пусть функция gi-1 не имеет вырожденных критических точек на множеi- стве Uj,1; мы хотим, чтобы функция gi тоже не имела вырожденных j=критических точек на этом множестве. Функция gi-1 изменяется только на компактном множестве Ui,2; при этом на компактном множестве i- Ui,2 Uj,1 у неё нет вырожденных критических точек.

j=Л е м м а 2. Пусть f, g : U R – гладкие функции на откры– том множестве U Rn, причём функция f не имеет вырожденных критических точек на компактном множестве K U. Тогда существует такое число > 0, что если все первые и вторые производные функции f - g во всех точках множества K по модулю меньше, то функция g не имеет на K вырожденных критических точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция 2 f 2 f F = + det xi xixj обращается в нуль только в вырожденных критических точках функции f, поэтому на компактном множестве K функция F достигает положительного минимума. Если число достаточно мало, то 2 f g - < / xi xi и 2 2 f 2 g det - det < 2, / xixj xixj § 19. Теория Морса поэтому 2 g 2 g + det > 0, xi xixj а значит, функция g не имеет на K вырожденных критических точек.

Если числа a1,..., an достаточно малы, то все первые и вторые производные функции (x) (a1x1 +... + anxn) тоже малы. Поэтому требуемую функцию gi можно построить, воспользовавшись леммой 2.

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.