WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 49 |

Формула (1) задаёт гладкое отображение многообразия M, поэтому согласно теореме 18.2 степень ограничения этого отображения на край равна нулю. Следовательно, степень отображения M Sm-1 равна m-1 m-сумме степеней отображений Si Si, взятых с противоположными знаками, т. е. она равна сумме индексов особых точек.

Нам осталось рассмотреть случай, когда у векторного поля v есть вырожденные особые точки. Мы будем изменять v только в малых окрестностях вырожденных особых точек, поэтому можно считать, что v – век– торное поле на открытом множестве в Rn. Пусть y0 – изолированная – вырожденная особая точка векторного поля v, : Rn [0, 1] R – глад– кая функция, равная 1 на открытом множестве U y0 и равная 0 вне открытого множества V. Будем предполагать, что множество V достаточно мало, а именно, его замыкание V не содержит особых точек, отличных от y0. Пусть, далее, v0 – регулярное значение отображения v : U Rn.

– Положим v (y) = v(y) - (y)v0. На компактном множестве V \ U функция v(y) достигает минимума > 0. Регулярное значение v0 можно выбрать так, что v0 < (действительно, множество v(U) содержит вектор v(y0) = 0). В таком случае v (y) = 0 для всех y V \ U. Если y U, то (y) = 1 и v (y) = v(y) - v0. Поэтому особые точки векторного поля v, расположенные в U, – это прообразы регулярного значения v0 отоб– ражения v : U Rn; все эти особые точки невырожденные.

Остаётся заметить, что как индекс особой точки y0 векторного поля v, так и сумма индексов особых точек векторного поля v, расположенных в U, равны степени отображения U Sn-1, заданного формулой y v(y) v(y).

/ П р и м е р. Сумма индексов любого векторного поля (с изолированными особыми точками) на сфере с g ручками равна 2 - 2g.

Д о к а з а т е л ь с т в о. На сфере с g ручками можно построить векторное поле с двумя особыми точками индекса 1 и 2g особыми точками индекса -1 (рис. 101).

Т е о р е м а 18.7. Пусть Mn и Nn – замкнутые многообразия, – p : Mn Nn – гладкое k-листное накрытие. Тогда если сумма ин– 252 Глава V. Многообразия Рис. 101. Траектории векторного поля на сфере с g ручками дексов векторного поля на Nn равна, то сумма индексов векторного поля на Mn равна k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v – векторное поле на Nn. Накры– тие p является локальным диффеоморфизмом, поэтому на Mn можно построить векторное поле = d(p-1) (v); здесь имеется в виду, что вектор v (y) равен d(p-1) (v(p(y))), где p-1 – отображение, обратное проекции – окрестности точки y на окрестность точки p(y).

Каждой особой точке векторного поля v соответствуют k особых точек векторного поля с тем же самым индексом.

С л е д с т в и е. Сумма индексов векторного поля на неориентируемой поверхности nP2 равна 2 - n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ориентирующей накрывающей поверхности nP2 является поверхность (n - 1)T.

З а м е ч а н и е. Следующая конструкция даёт построение векторного поля индекса (M2) непосредственно по триангуляции двумерной поверхности M2. Возьмём барицентрическое подразделение данной триангуляции и на 1-мерном остове барицентрического подразделения построим векторное поле так, чтобы оно выходило из вершин, соответствующих центрам граней, и входило во все вершины исходной триангуляции. Это векторное поле можно продолжить до векторного поля на M2 (рис. 102).

Особыми точками этого векторного поля являются только вершины барицентричеРис. 102. Построение векского подразделения. Особые точки, соторного поля по триангуляответствующие вершинам и граням, имеют ции индекс 1, а особые точки, соответствующие рёбрам, имеют индекс -1. Эта конструкция обобщается и на n-мерные многообразия. При этом на 1-мерном остове барицентрического § 18. Степень отображения подразделения векторное поле строится так, чтобы оно было направлено из центров k-мерных граней в центры l-мерных граней при k > l.

Т е о р е м а 18.8. Сумма индексов векторного поля на замкнутом многообразии нечётной размерности равна нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме Пуанкаре–Хопфа суммы – индексов особых точек векторных полей v и -v равны. Поэтому достаточно доказать, что если степень отображения f : Sn-1 Sn-1 равна d, то степень отображения -f равна (-1)nd. Иными словами, степень отображения x -x равна (-1)n. Но это отображение является композицией n отображений вида (..., xi-1, xi, xi+1,...) (..., xi-1, -xi, xi+1,...), каждое из которых имеет степень -1.

18.3. Теорема Хопфа Мы уже доказывали, что если отображения f, g : Mn Nn гладко гомотопны, то deg f = deg g (это следует из теорем 18.1 и 18.3). Хопф [74] доказал, что если Nn = Sn, то верно и обратное.

Т е о р е м а 18.9 (Хопф). Пусть Mn – замкнутое ориентирован– ное связное многообразие.

а) Если степени гладких отображений f, g : Mn Sn равны, то эти отображения гомотопны.

б) Для любого целого числа m существует гладкое отображение f : Mn Sn степени m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Многие из приводимых ниже рассуждений годятся только в случае, когда n 2; при n = 1 рассуждения требуют некоторых изменений, хотя не очень существенных. Но ситуация с отображениями S1 S1 достаточно проста, поэтому мы будем предполагать, что n 2.

Сначала мы рассмотрим наиболее простой случай, когда для некоторой регулярной точки y0 Sn множества f-1 (y0) и g-1 (y0) состоят из | deg f| = | deg g| элементов.

Отображение g гомотопно такому отображению g1, что f-1(y0) = -= g1 (y0); при этом знаки якобианов отображений f и g1 во всех прообразах точки y0 совпадают. Действительно, достаточно доказать, что если {a1,..., ak} и {b1,..., bk} – наборы попарно различных точек связ– ного многообразия Mn без края, то существует диффеоморфизм этого многообразия на себя, который изотопен тождественному и переводит bi в ai. Диффеоморфизм, переводящий b1 в a1, существует согласно лемме об однородности многообразий (лемма на с. 244). Затем из Mn можно 254 Глава V. Многообразия Рис. 103. Уничтожение прообразов с разными знаками якобиана выколоть точку a1 и снова применить к полученному связному (при n 2) многообразию лемму об однородности многообразий и т. д.

В дальнейшем будем считать, что f-1(y0) = g-1 (y0) = {a1,..., ak} и во всех точках a1,..., ak знак якобиана отображений f и g один и тот же. Выберем попарно не пересекающиеся окрестности Ui ai.

k Множество f Mn \ Ui не содержит точку y0, поэтому отображеi=ние f гомотопно отображению f1, для которого выполняются следующие свойства:

k – f1 Mn \ Ui = y1, где y1 – точка сферы Sn, диаметрально про– – i=тивоположная точке y0;

– отображение f1 совпадает с f на некоторой окрестности Vi Ui – каждой точки ai.

Если окрестность Vi достаточно мала, то ограничение на неё отображения f является диффеоморфизмом. Поэтому после дополнительной гомотопии из отображения f1 можно построить отображение f2, которое диффеоморфно отображению Vi Rn на Sn \ {y1} Rn. Из леммы на с. 247 следует, что два диффеоморфизма Rn Rn, которые либо оба сохраняют, либо оба изменяют ориентацию, изотопны. Поэтому отображения f и g гомотопны.

Чтобы завершить доказательство, остаётся рассмотреть случай, когда в прообразе точки y0 есть точки с разными знаками якобианов. Гомотопия в этом случае строится следующим образом. В Mn I есть трубочки Ui I, на которых отображение в Sn задано предыдущей конструкцией.

Аналогичными трубочками можно соединить пары прообразов точки y(одного и того же отображения f или g) с разными знаками якобианов (рис. 103). Несложно добиться того, чтобы все трубочки попарно не пересекались (при n 2 это очевидно). На новых трубочках отображение § 18. Степень отображения в Sn строится той же самой конструкцией, что и на старых. Дополнение ко всем трубочкам отображается в одну точку y1.

б) Выберем попарно не пересекающиеся открытые множества U1,..., U|m| Mn и отобразим их диффеоморфно на Sn \ {y1}, где y1 – фиксиро– ванная точка. Эти диффеоморфизмы выберем так, чтобы знаки их якобианов совпадали со знаком числа m. Оставшуюся часть многообразия Mn отобразим в точку y1 (если m = 0, то всё многообразие Mn отображается в точку y1).

З а м е ч а н и е. Для симплициальных отображений ориентированных псевдомногообразий тоже можно определить степень и доказать теорему, аналогичную теореме Хопфа для гладких отображений многообразий. Доказательство такой теоремы приведено в [107].

З а д а ч а 18.10. Докажите, что если Mn – замкнутое неориентиру– емое связное многообразие, то гладкие отображения f, g : Mn Sn гомотопны тогда и только тогда, когда их степени по модулю 2 равны.

18.4. Аппроксимации непрерывных отображений Непрерывное отображение замкнутых многообразий Mm Nn можно с любой точностью приблизить гладким отображением. Здесь мы обсудим одно из возможных доказательств этого утверждения, которое использует вложение Nn в евклидово пространство. Другой подход обсуждается в [23].

Начнём с аппроксимации отображений Mm Rn. Отображение в Rn можно аппроксимировать покоординатно, поэтому достаточно рассмотреть случай n = 1.

Т е о р е м а 18.10. Пусть Mm – замкнутое многообразие, f :

– Mm R – непрерывная функция. Тогда для любого > 0 найдётся – гладкая функция g : Mm R, для которой |f(x) - g(x)| при всех x Mm.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждой точки x Mm можно выбрать открытую окрестность Ux так, что |f(x) - f(y)| для всех y Ux. Выберем множества Ux,..., Ux так, чтобы они покрывали Mn, и рас1 k смотрим гладкое разбиение единицы {i}, подчинённое этому покрытию.

Положим g(x) = f(x1)1 (x) +... + f(xk)k (x). Из тождества i (x) = следует, что f(x) - g(x) = f(x) - f(xi)i (x) = i (x) f(x) - f(xi).

Если x Ux, то i (x) = 0. же x Ux, то |f(x) - f(y)|. В обоих i i Если случаях |i (x) f(x) - f(xi) | i (x), поэтому |f(x) - g(x)| i (x) = =.

256 Глава V. Многообразия С помощью теоремы о трубчатой окрестности (теорема 18.5 на с. 249) гладкая аппроксимация отображения f : Mm Nn строится следующим образом. Пусть g1 : Mm Nn RN – гладкое отображение, для кото– рого g1 (x) - f(x) <, причём для выполняется теорема о трубчатой окрестности. Тогда g1 (x) = g(x) + (x), где g(x) Nn, (x)Tg(x)Nn и (x). Здесь g : Mm Nn – гладкое отображение и g(x) - f(x) – g1 (x) - f(x) + (x) <2.

Т е о р е м а 18.11. Пусть Mm и Nn – замкнутые многообразия.

– Тогда: а) любое непрерывное отображение f : Mm Nn гомотопно гладкому отображению g : Mm Nn; б) любая пара гладких гомотопных отображений f, g : Mm Nn гладко гомотопна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Рассмотрим вложение Nn RN и выберем > 0 так, чтобы выполнялась теорема о трубчатой окрестности. Пусть g : Mm Nn RN – гладкое отображение, для которого – f(x) - g(x) <. Тогда отрезок с концами f(x) и g(x) целиком лежит в трубчатой окрестности. Выберем на этом отрезке точку, делящую его в отношении t : (1 - t), и спроецируем эту точку ортогонально на Nn.

б) Из двух экземпляров отрезка [0, 1] можно склеить окружность S1.

Это позволяет рассмотреть гомотопию отображений f и g как отображение Mm S1 Nn. Аппроксимируем это непрерывное отображение гладким. В результате получим гладкую гомотопию, связывающую отображения f1 и g1, где f1 и g1 – аппроксимации отображений f и g.

– Остаётся проверить, что отображения f и f1 (и отображения g и g1) гладко гомотопны. Для этого можно воспользоваться той же самой конструкцией, что и в а).

При работе с гомотопическими группами нужно рассматривать отображения, которые переводят отмеченную точку в отмеченную точку.

Перейти к таким отображениям от произвольных гладких аппроксимаций можно с помощью леммы об однородности многообразий (см.

с. 244). Из доказательства этой леммы видно, что если точка y лежит в малой окрестности точки y0, то диффеоморфизм Nn Nn, переводящий y в y0, можно построить так, чтобы он гладко зависел от y.

Поэтому от гладкой аппроксимации гомотопии H : Mm I Nn, для которой H(x0, t) = y0, можно перейти к гладкой гомотопии H, для которой H (x0, t) = y0.

Теперь из теоремы Хопфа можно вывести, что n (Sn) = Z при n 2.

Нужно доказать, что если отображения f, g : Sn Sn, для которых f(x0) = g(x0) = y0, гомотопны, то они гомотопны и в классе отображений, переводящих x0 в y0. Требуемая гомотопия строится следующим образом.

Предыдущие рассуждения показывают, что отображения f и g и связывающую их гомотопию H можно считать гладкими. Тогда путь H(x0, t) § 18. Степень отображения содержится в некотором открытом стягиваемом множестве U Sn (при n = 1 это неверно). Пусть F(x, t) – гомотопия в классе отображений, – переводящих y0 в y0, связывающая тождественное отображение Sn Sn с отображением, переводящим U в y0. Гомотопии t (x) = F(f(x), t) и t (x) = F(g(x), t) связывают отображения f и g с отображениями f и g, а гомотопия H (x, t) = F(H(x, t), 1) связывает отображения f и g.

З а д а ч а 18.11. Докажите, что если сумма индексов векторного поля на замкнутом многообразии Mn равна 0, то на Mn есть векторное поле без особых точек.

Пусть PMn – пространство ненулевых касательных векторов к мно– гообразию Mn, профакторизованное по отношению эквивалентности v v, где – ненулевое число; p : PMn Mn – естественная проекция.

– – На PMn есть естественная структура многообразия. Гладкое сечение проекции p называют полем направлений на многообразии Mn. Иными словами, если на Mn задано поле направлений, то в каждой точке x Mn задано 1-мерное подпространство в TxMn, и эти подпространства гладко зависят от x.

З а д а ч а 18.12. Докажите, что на замкнутом многообразии Mn поле направлений существует тогда и только тогда, когда на Mn существует векторное поле без особых точек.

18.5. Конструкция Понтрягина Из теоремы Хопфа можно извлечь интерпретацию элементов группы n (Sn) на языке оснащённых многообразий. Конструкция Понтрягина обобщает эту интерпретацию на группы n+k(Sn), где k 0 и n 2.

Гладкое замкнутое подмногообразие Mk Rn+k называют оснащённым, если в каждой точке x Mk задан ортонормированный набор векторов v1 (x),..., vn (x), ортогональных TxMk; при этом каждый вектор vi (x) гладко зависит от x. Многообразие Mk не обязательно связно; оно может состоять из нескольких связных компонент одной и той же размерности k.

Пустое множество мы считаем оснащённым многообразием любой размерности k.

Два оснащённых многообразия Mk и Mk называют оснащённо ко0 k+бордантными, если в Rn+k+1 существует подмногообразие W, обладающее следующими свойствами:

k+а) W расположено в полосе 0 xn+k+1 1;

k+б) край W состоит из Mk и Mk, причём эти многообразия распо0 ложены, соответственно, на гиперплоскостях xn+k+1 =0 и xn+k+1 =1;

k+в) W подходит к этим гиперплоскостям ортогонально;

258 Глава V. Многообразия k+г) на W задано гладкое семейство ортонормированных наборов векторов, продолжающее те семейства, которые заданы на Mk и Mk.

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.