WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 49 |

§ 18. Степень отображения Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть : Rn R – такая гладкая функ– ция, что (x) > 0 при x < 1 и (x) = 0 при x 1. Рассмотрим dx дифференциальное уравнение = (x)c, где c Rn – фиксированный – dt вектор. Пусть Ft (x) – решение этого дифференциального уравнения – с начальным условием F0 (x) = x. Ясно, что Ft+s = Ft Fs, поэтому Ft – – диффеоморфизм, изотопный тождественному. Отображение Ft оставляет неподвижными все точки вне единичного шара и сдвигает все точки внутри единичного шара в направлении вектора c. Пусть x < 1 и y < 1.

Положим c = y - x. Тогда для некоторого t > 0 диффеоморфизм Ft переводит x в y и оставляет неподвижными все точки вне единичного шара.

Та же самая конструкция позволяет построить требуемый диффеоморфизм h: Nn Nn в том случае, когда точки x, y Nn принадлежат одной карте : U Rn, где (U) – открытый единичный шар.

– Будем считать точки x, y Nn эквивалентными, если существует диффеоморфизм, который изотопен тождественному и переводит x в y.

Предыдущие рассуждения показывают, что классы эквивалентности – – открытые множества. Но связное многообразие Nn нельзя нетривиальным образом представить в виде объединения попарно не пересекающихся открытых множеств. Это означает, что класс эквивалентности ровно один.

Теорема 18.3 показывает, что если Nn – связное многообразие (и оба – многообразия Mn и Nn замкнутые ориентированные), то можно говорить о степени deg f гладкого отображения f : Mn Nn, поскольку deg(f, x) не зависит от выбора регулярного значения x.

З а м е ч а н и е. Для замкнутых, но не обязательно ориентируемых многообразий Mn и Nn можно рассмотреть степень по модулю два (для неориентируемых многообразий нельзя определить знак якобиана, но -1 1 (mod 2)). Для такой степени теоремы 18.1, 18.2 и 18.3 остаются справедливыми.

З а д а ч а 18.1. Пусть M2 – сфера с g ручками, где g 1. Докажите, – что степень любого гладкого отображения f : S2 M2 равна нулю.

З а д а ч а 18.2. Докажите, что deg(fg) = (deg f) (deg g).

З а д а ч а 18.3. Пусть P(z) – многочлен степени n. Докажите, что – отображение C C, заданное формулой z P(z), продолжается до гладкого отображения CP1 CP1. Вычислите степень этого отображения.

З а д а ч а 18.4. Пусть R(z) – несократимое отношение двух мно– гочленов, степени которых равны m и n. Докажите, что отображение, заданное формулой z R(z), продолжается до гладкого отображения CP1 CP1. Вычислите степень этого отображения.

246 Глава V. Многообразия З а д а ч а 18.5. Сопоставим отображению f : Sn Sn отображение f : Sn Sn, отображая Sn {t} в Sn {t} посредством f для всех t.

Докажите, что deg f = deg f.

З а д а ч а 18.6. Пусть S2n-1 – единичная сфера в пространстве Cn – 1 n с координатами (r1ei,..., rnei ). Вычислите степень отображения f : S2n-1 S2n-1, заданного формулой 1 n 1 n (r1ei,..., rnei ) (r1eik 1,..., rneik n), где k1,..., kn – целые числа.

– З а д а ч а 18.7. Отображение f : SO(n) SO(n), n 2, задано формулой f(A) = A2. Гомотопно ли это отображение тождественному 18.2. Индекс особой точки векторного поля Пусть Mn – многообразие без края, v : Mn TMn – гладкое вектор– – ное поле на Mn. Точку x Mn называют особой точкой векторного поля v, если v(x) = 0. Особую точку x называют изолированной, если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек.

Пусть U – открытое подмножество в Rn, v : U Rn – гладкое век– – торное поле с изолированной особой точкой x0 U. При достаточно малом r > 0 шар x - x0 r не содержит других особых точек. Рассмотрим отображение сферы x - x0 = r в единичную сферу, заданное формулой x v(x) v(x). Степень этого отображения называют индексом особой / точки x0. Ясно, что индекс – целое число, непрерывно зависящее от r – (предполагается, что шар x - x0 r не содержит других особых точек);

поэтому индекс не зависит от r.

Индекс изолированной особой точки x0 Mn векторного поля v можно определить следующим образом. Рассмотрим гладкую карту : U Rn, где x0 U и – гомеоморфизм на всё пространство Rn.

– Векторное поле v индуцирует на Rn векторное поле d(v) с изолированной особой точкой (x0). Индекс особой точки (x0) векторного поля d(v) мы и назовём индексом особой точки x0 векторного поля v.

Такое определение требует проверки корректности. А именно, если : U Rn – другая) карта, то нужно убедиться, что индекс особой точки – (x0) векторного поля d(v) равен индексу особой точки (x0) векторного поля d(v). Рассмотрим диффеоморфизм f = -1 : Rn Rn и положим y = (x), w(y) = d(v(x)) и y0 = (x0). Требуется доказать следующее утверждение.

) Мы предполагаем, что область U та же самая. Действительно, индекс определяется поведением векторного поля v в сколь угодно малой окрестности точки x0, поэтому от выбора области U индекс зависеть не может.

§ 18. Степень отображения Л е м м а 1. Пусть y0 – изолированная особая точка вектор– ного поля w, f : Rn Rn – диффеоморфизм. Тогда индекс особой – точки y0 векторного поля w равен индексу особой точки f(x0) векторного поля df(w).

При доказательстве леммы 1 мы отдельно рассмотрим диффеоморфизмы, сохраняющие ориентацию, и диффеоморфизмы, изменяющие ориентацию. В первом случае доказательство легко получить с помощью следующего утверждения.

Л е м м а 2. Любой диффеоморфизм f : Rn Rn, сохраняющий ориентацию, изотопен тождественному диффеоморфизму.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого a Rn отображение x a + + f(x) является диффеоморфизмом. Поэтому при всех t отображение ft (x) = (t - 1) f(0) + f(t) является диффеоморфизмом. При этом f1 = f и f0(0) = 0. Таким образом, можно считать, что f(0) = 0. Тогда согласно лемме на с. 219 отображение f можно представить в виде f(x) = xi gi (x), где g1,..., gn – гладкие отображения, причём gi (0) = – f = (0). Положим xi F(x, t) = x1 g1 (tx) +... + xn gn (tx).

В результате получим изотопию, связывающую отображение f и линейное преобразование f f F(x, 0) = x1 (0) +... + xn (0).

x1 xn Остаётся доказать, что линейное преобразование, сохраняющее ориентацию, изотопно тождественному преобразованию. Матрицу с положительным определителем можно представить в виде SU, где S – симмет– рическая положительно определённая матрица, U – ортогональная мат– рица с положительным определителем. Для преобразования S можно выбрать базис, в котором его матрица имеет диагональный вид с положительными элементами на диагонали. Для преобразования U можно выбрать базис, в котором его матрица имеет блочно-диагональный вид cos sin с элементами 1 и на диагонали. Изотопия преобра- sin cos зований S и U в тождественные преобразования строится очевидным образом.

Перейдём к доказательству леммы 1. Предположим сначала, что диффеоморфизм f : Rn Rn сохраняет ориентацию. Пусть ft – изотопия, – связывающая отображение f и тождественное отображение. Индекс особой точки ft (y0) векторного поля dft (w) не зависит от t, поэтому 248 Глава V. Многообразия индекс при t = 1 равен индексу при t = 0. Но это как раз и есть требуемое утверждение.

Предположим теперь, что диффеоморфизм f изменяет ориентацию.

Пусть s(x1, x2,..., xn) = (-x1, x2,..., xn) – симметрия относительно – гиперплоскости x1 = 0. Тогда диффеоморфизм sf сохраняет ориентацию.

Поэтому достаточно убедиться, что индексы векторных полей w и ds(w) в точках x0 и s(x0) совпадают. Если w(x) = (w1, w2,..., wn), то ds(w(s(x))) = (-w1, w2,..., wn) = sw(x).

Поэтому отображению W : Sn-1 Sn-1, заданному формулой W(x) = = w(x) w(x), соответствует отображение W = sWs-1. При этом / deg s = -1 и deg W = (deg s)2 deg W = deg W.

З а д а ч а 18.8 (Пуанкаре). Предположим, что интегральные траектории векторного поля v на плоскости касаются некоторой окружности C в i точках внутренним образом и в e точках внешним образом, причём внутри C расположена единственная особая точка. Докажите, что индекс этой особой точки равен 1 + (i - e) 2.

/ З а д а ч а 18.9. Пусть f – гладкая функция на плоскости. Докажите, – что индекс изолированной особой точки векторного поля v = grad f может принимать значения 1, 0, -1, -2,... и не может принимать других значений.

Предположим, что многообразие Mn вложено в RN и : U Mn RN – диффеоморфизм области U Rn на область (U) Mn. Пусть – x = (x1,..., xn) U. Тогда векторы ei (x) = (x) образуют базис проxi странства T(x)Mn, поэтому v((x)) = vi (x)ei (x), где vi – гладкие функ– ции. Вектор ej (x) задаётся кривой (x1,..., xj + t,..., xn). Отображе ние v переводит её в кривую vi (..., xj + t,...)ei (..., xj + t,...). Касательный вектор к этой кривой равен vi ei (x)ei (x) + vi (x) (x).

xj xj i i В частности, если (x) – особая точка векторного поля v, то этот – касательный вектор лежит в пространстве, порождённом векторами e1 (x),..., en (x). Это означает, что отображение dv переводит касательное пространство в особой точке векторного поля v само в себя.

Особую точку y векторного поля v называют невырожденной, если линейный оператор dv : TyMn TyMn невырожден.

Т е о р е м а 18.4. Невырожденная особая точка y векторного поля v является изолированной и её индекс равен ±1; знак индекса совпадает со знаком определителя оператора dv : TyMn TyMn.

§ 18. Степень отображения Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем локальные координаты с началом в точке y и будем рассматривать v как отображение из Rn в Rn. По условию в начале координат якобиан этого отображения не равен нулю, поэтому по теореме об обратной функции существует окрестность U начала координат, которая диффеоморфно отображается на свой образ. (Из этого, в частности, следует, что особая точка в U ровно одна.) Отождествив окрестность U и её образ с Rn, получим диффеоморфизм v : Rn Rn.

Этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда det(dv) > 0. Согласно лемме 2 на с. 247 диффеоморфизм v : Rn Rn, сохраняющий ориентацию, изотопен тождественному диффеоморфизму.

В таком случае индекс особой точки равен 1. Если же диффеоморфизм v изменяет ориентацию, то он изотопен симметрии относительно гиперплоскости. Степень отображения Sn-1 Sn-1 в таком случае равна -1, поэтому индекс особой точки тоже равен -1.

Одно из важнейших свойств векторных полей на замкнутых многообразиях заключается в том, что сумма индексов особых точек постоянна.

Для доказательства этого нам потребуется следующее утверждение, которое используется и при доказательстве многих других теорем.

Т е о р е м а 18.5 (о трубчатой окрестности). Пусть Mn – замкну– тое многообразие, f : Mn Rm – произвольное вложение. Пусть, – далее, M – множество точек Rm, удалённых от f(Mn) не более – чем на. Тогда число > 0 можно выбрать так, что каждая точка y M однозначно представляется в виде y = x +, где x Mn и TxMn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть N – множество пар (x, ), где x Mn – и – вектор, ортогональный TxMn Rm. На множестве N можно ввести – структуру многообразия размерности m следующим образом. Введём на многообразии Mn локальные координаты (u1,..., un) и в каждой точке x этой локальной системы координат выберем ортонормированную систему векторов 1,..., m-n, ортогональных TxMn; мы предполагаем, что вектор i гладко зависит от x. Паре (x, ) сопоставим набор координат (u1,..., un, 1,..., m-n), где = 11 +... + m-nm-n. В этих координатах отображение, заданное формулой (x, ) x +, имеет вид (u1,..., un, 1,..., m-n) x(u1,..., un) + 11 +... + m-nm-n Rm, где x(u1,..., un) Mn Rm – точка многообразия, имеющая локальные – координаты (u1,..., un). Матрица Якоби этого отображения равна k k e1 + k,..., en + k, 1,..., m-n, u1 un x где ei =, i = 1,..., n,– векторы, образующие базис пространства – ui 250 Глава V. Многообразия TxMn. В этой записи матрицы Якоби подразумевается, что каждый вектор записывается как столбец его координат.

Векторы e1,..., en образуют базис пространства TxMn, а векторы 1,..., m-n образуют базис ортогонального дополнения этого пространства. Поэтому при = 0 отображение (x, ) x + локально взаимно однозначно. Компактность многообразия Mn позволяет выбрать > так, что ограничение отображения F на множество N = {(x, ) N | } взаимно однозначно. Отображение F : N Rm является взаимно однозначным погружением компактного многообразия, поэтому F – – вложение. В частности, M = F(N) – компактное многообразие с кра– ем. При этом каждая точка y M однозначно представляется в виде y = x +, где x Mn и TxMn.

Т е о р е м а 18.6 (Пуанкаре–Хопф). Сумма индексов особых то– чек для всех векторных полей с изолированными особыми точками на замкнутом многообразии Mn одна и та же.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольное вложение f : Mn Rm. Предположим сначала, что v – векторное поле на Mn – с невырожденными особыми точками (случай вырожденных особых точек мы обсудим в конце доказательства). Воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 18.5. Продолжим векторное поле v на M следующим образом. Представим точку y M в виде y = x + и положим (y) = v(x) +. Ясно, что v(x) и = 0 тогда и только тогда, когда y Mn. Поэтому векторное поле v имеет те же самые особые точки, что и векторное поле v. Теорема 18.4 показывает, что индексы особых точек векторного поля v такие же, как и для особых точек векторного поля v (оператор dv получается из dv добавлением в качестве прямого слагаемого тождественного отображения).

Л е м м а. Сумма индексов особых точек векторного поля v равна степени отображения M Sm-1, заданного формулой y = x +. В частности, эта сумма не зависит от.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Касательное пространство Ty (M), где y = x +, представляет собой гиперплоскость, ортогональную вектору.

Вектор v(x) лежит в этой гиперплоскости, поэтому ( (y), ) = (, ) > 0.

Для t [0, 1] и y M положим wt (y) = tv (y) + (1 - t). Тогда (wt (y), ) = t( (y), ) + (1 - t) (, ) > 0; в частности, wt (y) = 0. Сле довательно, степень отображения M Sm-1, заданного формулой y wt (y) wt (y), не зависит от t. Таким образом, нужно доказать, что / степень отображения M Sm-1, заданного формулой y v (y) v (y), (1) / равна сумме индексов особых точек векторного поля (y).

§ 18. Степень отображения m m Вырежем из многообразия M шары D1,..., Dk малого радиуса, содержащие особые точки. В результате получим многообразие M с кра m-1 m-1 m-ем M S1... Sk. При этом ориентация сферы Si, индуцированной ориентацией многообразия M, противоположна ориентации, m индуцированная ориентацией шара Di. Это означает, что если сфера m-Si ориентирована как край многообразия M, то степень отображения m-1 m-Si Si, заданного формулой (1), равна индексу i-й особой точки, взятому с противоположным знаком.

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.