WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 49 |

Предположим, что последовательность {xk} не имеет предельных точек. Тогда для любого натурального N можно выбрать k(N) так, что если k k(N), то xk U1,1... UN,1. В таком случае xk Ui,1, где i > N, а значит, f1 (xk) i > N. Поэтому последовательность {f1(xk)} не имеет предельных точек.

Рассмотрим отображение f2 : MmR2m+1, заданное формулой f2(x) = = (f1 (x), 0,..., 0). Согласно теореме 17.5 для любого > 0 существует такое погружение f3 : Mm R2m+1, что f2 - f3 <, а согласно теореме 17.6 существует такое взаимно однозначное погружение f : Mm R2m+1, что f3 - f <.

Покажем, что L(f) = (для всех ). Предположим, что последовательность {xk}, xk Mm, не имеет предельных точек. Тогда для любого натурального N можно выбрать k(N) так, что если k k(N), то f1 (xk) > N.

Поэтому из неравенства f(xk) - f2 (xk) < 2 следует, что последовательность {f(xk)} не имеет предела.

Остаётся проверить, что множество f(Mm) замкнуто. Это вытекает из следующей леммы.

Л е м м а. Множество f(Mm) замкнуто в Rn тогда и только тогда, когда L(f) f(Mm).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что множество f(Mm) замкнуто и y L(f). Тогда y = lim f(xk), где xk Mm, а знаk чит, y f(Mm).

Предположим теперь, что L(f) f(Mm). Пусть точка y принадлежит замыканию множества f(Mm). Тогда существует такая последовательность точек {xk}, xk Mm, что f(xk) y. Если у последовательности {xk} есть предельная точка x, то существует последовательность xk x.

i § 17. Вложения и погружения Поэтому y = lim f(xk ) = f( lim xk ) = f(x) f(Mm). Если же у последоi i i i вательности {xk} нет предельных точек, то y L(f) f(Mm).

Для построенного нами вложения f множество L(f) пусто, поэтому множество f(Mm) замкнуто.

17.5. Невозможность некоторых вложений Здесь мы докажем, что замкнутое неориентируемое многообразие размерности n нельзя вложить в Rn+1. При доказательстве используются достаточно очевидные свойства трансверсальности и общего положения, которые мы не будем строго доказывать. Дадим лишь определение трансверсальности.

Пусть X и Y – гладкие многообразия, W Y – подмногообразие. Го– – ворят, что гладкое отображение f : X Y трансверсально подмногообразию W в точке x X, если выполняется одно из следующих свойств:

а) f(x) W ;

б) f(x) W и Tf(x)W + (df)x (TxX) = Tf(x)Y.

Если отображение f трансверсально W во всех точках x X, то говорят, что f трансверсально W.

П р и м е р. Если dim X + dim W < dim Y, то f : X Y трансверсально W тогда и только тогда, когда f(X) W =.

Т е о р е м а 17.9. Пусть Mn – многообразие без края (не обяза– тельно компактное), f : Mn Nn+1 – такое вложение, что f(Mn) – – – замкнутое множество. Тогда если многообразие Nn+1 односвязно, то многообразие Mn ориентируемо.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [117]). Предположим, что многообразие Mn неориентируемо. Пусть – кривая на Mn, при обходе вдоль – которой изменяется ориентация. Тогда при обходе вдоль вектор нормали к Mn изменяет направление. Если длина переносимого вдоль нормального к Mn вектора постоянна и достаточно мала, то его конец описывает кривую, не пересекающую Mn. С помощью этой незамкнутой кривой легко построить замкнутую гладкую кривую, трансверсально пересекающую Mn в одной точке. Покажем, что на самом деле такой кривой быть не может.

Стягивание кривой в пространстве Nn+1 задаёт отображение g : D2 Nn+1, ограничение которого на D2 совпадает с. Отображе ние g можно считать гладким. Слегка пошевелив f и g, приведём f(Mn) и g(D2) в общее положение. При n 3 в общем положении диск g(D2) несамопересекающийся, поэтому пересечение f(Mn) и g(D2) состоит из замкнутых кривых и дуг кривых, концы которых – разные точки кривой – ; при этом кривые и дуги несамопересекающиеся и попарно не пересе 240 Глава V. Многообразия кающиеся. При n = 2 самопересечения диска могут не устраняться при малом шевелении. Но малым шевелением можно добиться, чтобы точки самопересечения были только двойные и тройные; при этом двойные точки самопересечения заметают некоторые кривые, а тройные точки изолированные. В общем положении f(Mn) не проходит через тройные точки самопересечения диска g(D2). В таком случае пересечение f(Mn) и g(D2) снова состоит из замкнутых кривых и дуг кривых, но теперь эти кривые могут трансверсально пересекаться и иметь трансверсальные точки самопересечения. Но число точек пересечения этих кривых с кривой снова чётно. А только это нам и нужно, чтобы прийти к противоречию, поскольку Mn пересекает ровно в одной точке.

С л е д с т в и е. Замкнутое неориентируемое многообразие размерности n нельзя вложить в Rn+1.

Воспользовавшись тем, что замкнутая двумерная поверхность, вложенная в S3, ориентируема, можно получить полное описание всех замкнутых двумерных поверхностей, которые можно вложить в RP3. Ясно, что в RP3 можно вложить RP2. К поверхности RP2, вложенной в RP3, можно приклеить любое количество ручек. Так можно построить вложение в RP3 любой замкнутой неориентируемой поверхности с нечётной эйлеровой характеристикой.

Т е о р е м а 17.10 (см. [40]). Замкнутую неориентируемую двумерную поверхность с чётной эйлеровой характеристикой нельзя вложить в RP3.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [49]). Предположим, что M2 – замкну– тая неориентируемая поверхность, вложенная в RP3. Мы хотим доказать, что эйлерова характеристика (M2) нечётна. Пусть : S3 S3 – антипо– дальная инволюция, т. е. (x) = -x, p : S3 RP3 = S3 – естественная / – проекция. Фиксируем в S3 экваториальную сферу S2, а в RP3 фиксируем RP2 = p(S2). Слегка пошевелив M2, будем считать, что M2 пересекает RP2 трансверсально. Если M2 RP2 несвязно, то, приклеив к Mнесколько ручек, можно построить новую двумерную поверхность N2, для которой N2 RP2 связно. Ясно, что поверхность N2 неориентируемая и (M2) (N2) (mod 2). Поэтому в дальнейшем будем считать, что M2 RP2 связно.

Покажем, что в таком случае p-1(M2) S2 тоже связно. Поверхность p-1 (M2) вложена в S3, поэтому она ориентируемая (следствие теоремы 17.9). При факторизации p-1(M2) по антиподальной инволюции получается неориентируемая двумерная поверхность, поэтому ограничение на p-1 (M2) обращает ориентацию. С другой стороны, сохраняет ориентацию сферы S3. Поэтому не может переводить связную компоненту S3 \ p-1(M2) в себя. Каждая связная компонента S2 \ p-1(M2) ле§ 18. Степень отображения + MRPMg Рис. 98. Перестройка жит в связной компоненте S3 \ p-1 (M2), поэтому не может переводить связную компоненту S2 \ p-1 (M2) в себя. Значит, количество связных компонент S2 \ p-1 (M2) чётно.

По условию M2 RP2 связно. Поэтому p-1 (M2) S2 состоит из одной или двух компонент связности, т. е. S2 \ p-1(M2) состоит из двух или трёх компонент связности. Но мы доказали, что количество компонент связности S2 \ p-1 (M2) чётно. Поэтому S2 \ p-1 (M2) состоит из двух компонент связности. Значит, p-1 (M2) S2 связно, т. е. p-1 (M2) S2 S1.

Далее нам будет удобнее считать, что RP3 получено из D3 отождествлением диаметрально противоположных точек сферы S2 = D3. Теперь ограничение отображения p : D3 RP3 на D3 \ S2 – гомеоморфизм, – а ограничение p на S2 по-прежнему является двулистным накрытием.

Пусть D3 = DR = {x R3 | x R}. Можно выбрать > 0 так, что 3 пересечение замыкания DR \ DR- с M2 гомеоморфно произведению p-1 (M2) S2 на отрезок [R -, R], т. е. гомеоморфно цилиндру S1 I.

В RP3 этот цилиндр превращается в лист Мёбиуса.

Пусть 2 – сфера DR-; она пересекает M2 по окружности. Раз– режем 2 и M2 по этой окружности и склеим из полученных четырёх кусков две замкнутые поверхности (рис. 98). А именно, приклеим одну половину сферы 2 к листу Мёбиуса; в результате получится RP2.

Другую половину сферы 2 приклеим к оставшейся части M2. В результате получится ориентируемая поверхность, поскольку она вложена в D3 (мы снова пользуемся следствием теоремы 17.9). Пусть эта поверхность имеет g ручек. Тогда (M2) + (2) = (RP2) + 2 - 2g, а значит, (M2) (RP2) 1 (mod 2).

§ 18. Степень отображения 18.1. Степень гладкого отображения Пусть f : Mn Nn – гладкое отображение многообразий одной и той – же размерности n. Мы будем предполагать, что многообразия Mn и Nn 242 Глава V. Многообразия замкнутые, ориентируемые и их ориентации фиксированы. Из теоремы Сарда следует, что у отображения f есть регулярное значение y Nn.

Пусть x f-1 (y). Отображение df(x) : TxMn TyNn является изоморфизмом, поэтому можно выбрать в точках x и y локальные координаты, ориентации которых согласованы с ориентациями многообразий Mn и Nn, и рассмотреть число sgn Jf (x) – знак якобиана отображения f в точке x.

– Назовём степенью отображения f относительно точки y число deg(f, y) = sgn Jf (x).

xf-1 (y) Эта сумма имеет смысл, потому что множество f-1 (y) конечно. Действительно, предположим, что множество f-1 (y) содержит бесконечно много различных точек. Из компактности многообразия Mn следует, что существует последовательность попарно различных точек xi f-1(y), i N, сходящаяся к точке x0. Тогда f(x0) = y и по теореме об обратной функции у точки x0 есть окрестность U, гомеоморфно отображающаяся на окрестность точки y. В частности, (U \ {x0}) f-1 (y) =. Приходим к противоречию.

Мы предполагаем, что если множество f-1 (y) пусто, то deg(f, y) = 0.

П р и м е р. Пусть S1 = {z C | |z| = 1}. Рассмотрим отображение f : S1 S1, заданное формулой f(z) = zn, n Z. Если n = 0, то deg(f, w) = n для любой точки w S1. (Если n = 0, то нужно исключить нерегулярную точку w = 1.) Пусть f, g : Mm Nn – гладкие отображения. Будем говорить, что – отображения f и g гладко гомотопны, если существует такое гладкое отображение F : Mm I Nn, что F(x, 0) = f(x) и F(x, 1) = g(x) для всех x Mm.

Т е о р е м а 18.1. Пусть f, g : Mn Nn – гладко гомотопные от– бражения замкнутых ориентированных многообразий, y Nn – регулярное значение для обоих отображений. Тогда – deg(f, y) = deg(g, y).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f-1 (y) = {x1,..., xk}. Для точек x1,..., xk выберем попарно не пересекающиеся окрестности U1,..., Uk, диффеоморфно отображающиеся на окрестности V1,..., Vk точки y.

Рассмотрим множество V = Vi \ f(M \ Ui). Это множество открыто и содержит точку y. Прообраз каждой точки y V состоит ровно из k точек x1,..., xk, причём sgn Jf (xi) = sgn Jf (x). Поэтому deg(f, y) = = deg(f, y ). Построим аналогичную окрестность точки y для отображения g и рассмотрим пересечение этих двух окрестностей. В результате получим такое открытое множество W y, что любая точка z W явля§ 18. Степень отображения ется регулярной точкой отображений f и g, причём deg(f, y) = deg(f, z) и deg(g, y) = deg(g, z).

Из теоремы Сарда следует, что отображение F : Mn I Nn имеет в открытом множестве W некоторое регулярное значение z. Покажем, что deg(f, z) = deg(g, z). Согласно теореме 15.3 (см.

с. 203) множество F-1(z) является 1-мерным подмногообразием в Mn I. Связные компоненты этого множества являются либо окружностями, либо отрезками; при этом концы отрезков принадлежат либо одному из множеств Mn {0} и Mn {1}, либо разным множествам (рис. 99). Многообразие F-1(z) можно ориентировать следующим образом. Сначала ориентируем многообразие Mn I. Затем выберем положительно ориентированные локальные сиРис. 99. Многостемы координат в точках w F-1(z) и z так, чтобы образие F-1 (z) отображение F в этих локальных координатах имело вид (x1,..., xn, xn+1) (x1,..., xn). Требуемая ориентация многообразия F-1(z) в точке w задаётся направлением координаты xn+1.

Нас будут интересовать только те связные компоненты многообразия F-1(z), которые являются отрезками. Если концы такого ориентированного отрезка принадлежат обоим множествам Mn {0} и Mn {1}, то ориентации в концах отрезка имеют один и тот же знак по отношению к ориентации отрезка I, а если концы принадлежат одному и тому же множеству, то ориентации в концах имеют разные знаки (рис. 100). Знаки n n якобианов отображений f = F|M {0} и g = F|M {1} в точке w F-1 (z) полностью определяются знаком ориентации многообразия F-1 (z) в точке w по отношению к ориентации отрезка I. Поэтому концам ориентированного отрезка соответствуют либо две точки с одинаковыми знаками якобиана, относящиеся к обоим отображениям f и g, либо две точки с разными знаками якобиана, относящиеся к одному и тому же отображению (f или g). Из этого следует, что deg(f, z) = deg(g, z).

Рис. 100. Ориентация многообразия F-1 (z) 244 Глава V. Многообразия n+Рассмотрим ориентированное многообразие W = Mn I. Ориенn+тация многообразия W индуцирует противоположные ориентации многообразий Mn {0} и Mn {1}. Поэтому теорема 18.1 является частным случаем следующего утверждения.

n+Т е о р е м а 18.2. Пусть W – компактное ориентирован– n+ное многообразие с краем W (снабжённым индуцированной ориентацией), Nn – замкнутое ориентированное многообразие, – n+f : W Nn – гладкое отображение, y – регулярное значение – – отображения f|W n+1. Тогда deg(f|W n+1, y) = 0.

Теорема 18.2 доказывается точно так же, как и теорема 18.1. Отмеn+тим, что ориентируемость многообразия W существенна. Рассмотрим, например, проекцию листа Мёбиуса на его серединную окружность. Степень ограничения этого отображения на край отлична от нуля: она равна ±2. Но если рассматривать степень по модулю 2, то теорема 18.2 будет n+верна и для неориентируемого многообразия W.

Т е о р е м а 18.3. Пусть f : Mn Nn – гладкое отображение – замкнутых ориентированных многообразий, причём многообразие Nn связно. Тогда если x, y Nn – регулярные значения отобра– жения f, то deg(f, y) = deg(f, x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h: Nn Nn – диффеоморфизм. Точка – x Nn является регулярным значением отображения f тогда и только тогда, когда точка h(x) является регулярным значением отображения hf. Если диффеоморфизм h сохраняет ориентацию, то непосредственно из определения степени видно, что deg(f, x) = deg(hf, h(x)). Поэтому достаточно доказать, что существует диффеоморфизм h: Nn Nn, обладающий следующими свойствами:

а) h сохраняет ориентацию;

б) h(x) = y;

в) отображение hf гладко гомотопно f.

Действительно, точка y является регулярным значением гомотопных отображений f и hf, поэтому deg(hf, y) = deg(f, y).

Диффеоморфизмы h0 и h1 называют изотопными, если они гладко гомотопны, причём все промежуточные отображения ht тоже являются диффеоморфизмами. Ясно, что любой диффеоморфизм (ориентируемого многообразия), изотопный тождественному диффеоморфизму, сохраняет ориентацию. Поэтому остаётся доказать следующее утверждение.

Л е м м а (об однородности многообразий). Пусть Nn – связное – многообразие без края. Тогда для любых двух точек x, y Nn существует диффеоморфизм h: Nn Nn, который изотопен тождественному и переводит x в y.

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.