WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 49 |

/ Перейдём теперь к общему случаю Mn RN. Компактное многообразие Mn можно покрыть конечным числом открытых множеств Ui так, что для любой точки x Ui ортогональная проекция pi,x : Ui Tx Mn явi ляется диффеоморфизмом на Ui = pi,x (Ui), а кроме того, множество Ui,x является графиком гладкого отображения i,x : Ui Nx Mn. Если сфера,x i радиуса r, касающаяся Mn в точке x Ui, пересекает Ui в точке, отличной от x, то из доказанной выше оценки C 1 r следует определённая оцен/ ка для вторых частных производных отображений i,x. Пользуясь этой оценкой, для каждой области Ui можно оценить снизу радиус касательной сферы, пересекающей Ui. Если радиус касательной сферы меньше минимальной из этих оценок радиусов и она касается Mn в точке x Ui, то она не пересекает Ui, но может пересекать Uj, j = i.

Предположим, что существует последовательность сфер с радиусами r1, r2,..., которые касаются Mn в точках x1, x2,... и пересекают Mn в других точках y1, y2,... и при этом rk 0. Перейдя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что x1, x2,... Ui и xk x Ui. Кроме того, можно считать, что все радиусы rk меньше упомянутой выше минимальной оценки радиуса, поэтому каждая точка yk лежит вне Ui. При этом yk x Ui; с другой стороны, все предельные точки последовательности yk принадлежат замкнутому множеству Mn \ Ui.

Для каждого > 0 можно выбрать точки a1,..., am Mn так, чтобы открытые множества n (ak, ) = Mn {y Rn | ak - y < } покрывали Mn. Выберем число r, как в условии леммы 17.2, а затем выберем число < r 2 столь малым, что каждое множество n (ak, ) / гомеоморфно int Dn и любая прямая, содержащая две точки множества n (ak, ), образует с подпространством Ta Mn угол не больше 4. То/ k гда, в частности, ортогональная проекция множества n (ak, ) на Ta Mn k является гомеоморфизмом на свой образ.

n Множества ck = {x Mn | x - ak x - ai, i = 1,..., m} покрыn вают Mn. При этом ck n (ak, ), поскольку если x Mn и x - ak >, 232 Глава V. Многообразия n то x - ai < для некоторого i. Множество ck представляет собой пересечение многообразия Mn с выпуклым подмножеством RN, заданным неравенствами x - ak x - ai, i = 1,..., m. Рассмотрим гиперплоскость Lki, заданную уравнением x - ak = x - ai. Если Lki пересекает Na Mn в некоторой точке y, то сфера радиуса y - ak с центром y k касается Mn в точке ak и пересекает Mn в точке ai, поэтому y - ak > r > 2. (1) Пусть – луч в пространстве Ta Mn с началом ak. Этот луч и под– k пространство Na Mn порождают полупространство H размерности k N - n + 1. Полупространство H пересекает n (ak, ) Mn по некоторой кривой ; проекция на Ta Mn лежит на луче. Кривая переk секает по крайней мере одну из гиперплоскостей Lki. Покажем, что пересечение с Lki состоит ровно из одной точки, причём не касается Lki.

(Если бы кривая пересекала Lki в двух точках, n то множество ck могло бы иметь такой вид, как на рис. 94.) Предположим, что касается Lki или пересекает в двух точках. Пусть l – каса– Рис. 94. Плохое мно« » тельная или прямая, проходящая через две точn жество ck ки пересечения. Обе точки пересечения принадлежат n (ak, ), поэтому по условию прямая l образует с Ta Mn угол 4 (для касательных это утверждение / k доказывается предельным переходом). Прямая l пересекает n (ak, ), поэтому расстояние от точки ak до прямой l не превосходит. Учитывая, что 4, получаем (см. рис. 95):

/ ak - y cos cos( 4) = 2.

/ / / Но это противоречит неравенству (1).

Na Mn k ak Ta Mn k l Рис. 95. Сечение полуплоскостью, принадлежащей H § 17. Вложения и погружения Таким образом, каждая кривая пересекает Lki не более чем в одной n точке. Это свойство позволяет построить гомеоморфизм ck на выпуклый многогранник в Ta Mn, заданный теми k же гиперплоскостями Lki, которые задаn ют ck. (Отметим, что гиперплоскость Lki, n пересекающая ck, не может быть параллельна Ta Mn; иначе она пересекала k бы Na Mn в такой точке y, что ak - y.

k n Тем более, точки пересечения Lki с ck и с Ta Mn не могут быть расположены k по разные стороны от точки ak.) Указанный n Рис. 96. Множество ck и выn гомеоморфизм переносит на ck комбинапуклый многогранник торную структуру выпуклого многогранниn ка, причём i-мерные грани ck определяются инвариантным образом исn ходя из пересечений гиперплоскостей Lki. После этого все множества ck можно триангулировать, сначала триангулировав 2-мерные грани, затем 3-мерные и т. д.

Триангуляцию компактного многообразия Mn с краем Mn можно построить тем же самым методом. Рассмотрим для этого замкнутое ком пактное многообразие Mn, которое получается из двух экземпляров Mn отождествлением соответствующих точек краёв. Вложим Mn в RN. При меним лемму 17.2 к Mn и к Mn и выберем число r > 0 так, чтобы условие леммы выполнялось для обоих многообразий. Затем выберем числа 1 < r 2 и 2 < r 2 так, чтобы исходя из них можно было три/ / ангулировать Mn и Mn, соответственно. Положим = min{1, 2} и для этого выберем сначала точки a1,..., am Mn, а затем эту систему точек дополним точками am+1,..., am+k Mn Mn.

17.3. Погружения Здесь мы займёмся доказательством следующего утверждения: любое многообразие Mn (не обязательно компактное) можно погрузить в R2n;

более того, если 2m n, то любое гладкое отображение f : Mm Rn с любой степенью точности аппроксимируется погружением.

Первый шаг доказательства состоит в вычислении размерности множества матриц данного ранга. Пусть Mn,m – множество всех матриц – a11... a1m.............. с вещественными коэффициентами; такие матрицы an1... anm соответствуют линейным отображениям Rm Rn. Множество Mn,m 234 Глава V. Многообразия естественным образом отождествляется с Rmn. Рассмотрим в Mn,m = Rmn подмножество Mn,m,k, состоящее из всех матриц ранга k.

Т е о р е м а 17.3. Если k min(m, n), то Mn,m,k – многообразие – размерности k(m + n - k).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный элемент множества Mn,m,k. Не теряя общности, можно считать, что этот элемент имеет A0 Bвид, где A0 – невырожденная матрица порядка k. Если число – C0 D > 0 достаточно мало, то любая матрица A порядка k, для которой абсолютные величины всех элементов матрицы A - A0 меньше, является невырожденной. Легко проверить, что в таком случае A B Mn,m,k D = CA-1B.

C D Действительно, A B Ik 0 A B rank = rank = C D -CA-1 In-k C D A B = rank.

0 D - CA-1B Ранг последней матрицы совпадает с рангом матрицы A тогда и только тогда, когда D - CA-1B = 0.

A0 BВыберем у точки Mn,m,k Rmn достаточно малую C0 Dокрестность U и рассмотрим отображение : U Rmn, заданное формулой A B A B.

C D C D - CA-1B Это отображение обратимо; обратное отображение имеет вид A B A B.

C X C X + CA-1B Кроме того, U Mn,m,k = -1 Rk(m+n-k) (U) где подпространство, A B Rk(m+n-k) Rmn состоит из матриц вида.

C Рассмотрим теперь локальную ситуацию, когда Mm – открытое под– множество пространства Rm. Напомним, что выражение почти все означает все, кроме множества меры нуль.

Т е о р е м а 17.4. Пусть U Rm – открытое множество, f : U – Rn – гладкое отображение. Тогда если n 2m, то для почти всех – § 17. Вложения и погружения линейных отображений A: Rm Rn отображение g : U Rn, заданное формулой g(x) = f(x) + Ax, является иммерсией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение Fk : Mn,m,k U Mn,m, заданное формулой Fk(X, x) = X - df(x). Согласно теореме 17.размерность многообразия Mn,m,k U равна k(n + m - k) + m. При фиксированных m и n функция k(n + m - k) монотонно возрастает при k < (m + n) 2 3m 2 > m. Поэтому если k m - 1, то / / k(n + m - k) + m (m - 1) (n + 1) + m = (2m - n) + mn - 1.

По условию 2m n, поэтому dim(Mn,m,k U) < dim Mn,m. В таком случае мера образа отображения Fk равна нулю. Это означает, что линейные отображения вида X - df(x), X Mn,m,k (k = 1,..., m - 1), образуют множество меры нуль, т. е. для почти любого линейного отображения A ранг матрицы A + df(x) равен m при всех x U.

Теперь мы готовы к доказательству основного утверждения.

Т е о р е м а 17.5. Пусть f : Mm Rn – гладкое отображение – и n 2m. Тогда для любого > 0 существует такое погружение g : Mm Rn, что f(x) - g(x) < при всех x Mm.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим счётный набор открытых множеств Ui,1 Ui,2 Ui,3 так, что множества {Ui,1} покрывают Mm и Ui,k = m m m = -1 (Dk ), где Dk = {x Rm | x k} и i : Ui,3 D3 Rm – гладкая – i карта; кроме того, покрытие {Ui,3} локально конечно. Требуемое отображение g мы будем строить последовательно, заменяя на i-м шаге отображение fi-1 на отображение fi так, что:

1) fi (x) - fi-1 (x) < 2i для всех x Mm;

/ 2) ранг отображения fi на множестве Ui,1 равен m;

3) вне множества Ui,2 отображение fi-1 не изменяется;

i- 4) во всех точках множества Ci = Ui,2 Uj,1 ранг отображеj=ния fi равен m.

Если положить f0 = f и g(x) = lim fi (x), то в результате получим i требуемое отображение; гладкость отображения g следует из локальной конечности покрытия {Ui,3}.

Приступим к построению отображения fi. Для этого нам потребуется такая гладкая функция : Rm R, обладающая следующими свой ствами:

1 при y 1;

(y) = 0 при y 2.

(Построение такой функции описано на с. 228.) Будем искать отображение fi вида fi (x) = fi-1(x) + (i (x))Ai (x). Для отображения такого 236 Глава V. Многообразия вида свойство 3 очевидным образом выполняется. Кроме того, можно работать в локальной системе координат, заданной картой i : Ui,3 Rm.

m Иными словами, можно считать, что fi – отображение из D3 Rm в Rn – m и fi (y) = fi-1 (y) + (y)Ay. Если x Ui,1, то y = i (x) D1, поэтому (y) = 1. В таком случае fi (y) = fi-1(y) + Ay. Согласно теореме 17.4 для почти всех A ранг отображения fi во всех точках равен m. Это позволяет добиться выполнения свойств 1 и 2. Остаётся добиться выполнения свойства 4.

i- Множество Ci = Ui,2 Uj,1 компактно и во всех его точках ранг j=отображения fi-1 равен m. Поэтому если все элементы матрицы A достаточно малы, то ранг отображения fi (y) = fi-1 (y) + (y)Ay равен m для всех y Ci (функция a(y) = min max |aij| достигает на множеA : rank fi (y) m стве Ci минимума).

17.4. Вложения некомпактных многообразий Здесь мы покажем, что n-мерное многообразие можно вложить в R2n+1 в качестве замкнутого подмногообразия. Доказательство годится как для компактных, так и для некомпактных многообразий. Но для компактных многообразий мы уже привели достаточно простой способ доказательства.

Погружение f : Mm Nn будем называть взаимно однозначным, если отображение Mm f(Mm) взаимно однозначно. Если многообразие Mm компактно, то взаимно однозначное погружение является вложением. Но для некомпактных многообразий это неверно (см. рис. 97).

Т е о р е м а 17.6. Пусть f : Mm Rn – погру– жение и n 2m + 1. Тогда для любого > 0 существует такое взаимно однозначное погружение Рис. 97. Взаимно однозначное по- g : Mm Rn, что f(x) - g(x) < при всех x Mm.

гружение, но не Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и при доказательстве вложение теоремы 17.5, требуемое отображение g будем строить последовательными приближениями. Точно так же определим открытые множества Ui,1 Ui,2 Ui,3 и гладкую функцию : Rm R. Дополнительно потребуем, чтобы ограничение отображения f на Ui,3 было взаимно однозначно (погружение f локально взаимно однозначно). На этот раз отображение fi будем искать среди отображений вида fi-1 (x) + (i (x))vi, где vi Rn – постоянный вектор. Мы хотим, – чтобы вектор vi был достаточно мал, а именно, vi < 2i.

/ § 17. Вложения и погружения Отображения fi и fi-1 различаются только на компактном множестве Ui,2, поэтому если отображение fi-1 является иммерсией и вектор vi достаточно мал, то отображение fi тоже является иммерсией.

Равенство fi (x) = fi (y) эквивалентно равенству fi-1 (x) + (i (x))vi = = fi-1 (y) + (i (y))vi. Если (i (x)) = (i (y)), то получим fi-1 (x) - fi-1 (y) vi = -. (1) (i (x)) - (i (y)) Рассмотрим в Mm Mm открытое подмножество N, состоящее из таких пар (x, y), что (i (x)) =(i (y)), и рассмотрим отображение N Rn, заданное выражением в правой части равенства (1). Размерность многообразия N равна 2m < n, поэтому образ этого отображения имеет меру нуль. Это означает, что можно выбрать сколь угодно малый вектор vi так, что равенство (1) не будет выполняться ни при каких (x, y) N. В таком случае из равенства fi (x) = fi (y) следуют равенства fi-1 (x) = fi-1 (y) и (i (x)) = (i (y)). В частности, если x Ui,и fi (x) = fi (y), то (i (x)) = (i (y)) = 1, а значит, y Ui,1. Но ограничение отображения fi-1 на Ui,1 взаимно однозначно, поэтому x = y. Эти i рассуждения показывают, что ограничение отображения fi на Uj,j=взаимно однозначно.

Как мы сейчас убедимся, препятствие к тому, чтобы взаимно однозначное погружение было вложением, связано с тем, что последовательность {f(xn)} может сходиться даже в том случае, когда последовательность {xn} не имеет предельных точек. Множество пределов таких последовательностей {f(xn)} будем обозначать L(f).

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что если f – отображение компакт– ного многообразия, то L(f) =.

Т е о р е м а 17.7. Взаимно однозначное погружение f : Mm Rn является вложением тогда и только тогда, когда L(f) f(Mm) =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Взаимно однозначное погружение f : Mm Rn является вложением тогда и только тогда, когда отображение f-1 : f(Mm) Mm непрерывно.

Предположим сначала, что отображение f-1 непрерывно. Тогда если lim f(xk) = y и y f(Mm), то lim xk = f-1 (y). Поэтому L(f) f(Mm) =.

k k Предположим теперь, что отображение f-1 не непрерывно. Тогда существует такая точка y f(Mn) и существует такая последовательность yk y, что последовательность {xk = f-1 (yk)} не сходится. Последовательность {xk} не может иметь предельных точек, отличных от x = f-1 (y).

Действительно, если xk x = x, то yk f(x ) = y. Поэтому из после i i 238 Глава V. Многообразия довательности {xk} можно выбрать подпоследовательность, не имеющую предельных точек.

Теперь мы готовы к доказательству основного утверждения.

Т е о р е м а 17.8. Для любого многообразия Mm существует вложение f : Mm Rn, где n = 2m + 1. Более того, существует такое вложение, что множество f(Mm) замкнуто в Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала покажем, что существует гладкая функция f1 : Mm R, для которой L(f1) =.

Возьмём множества Ui,1 Ui,2 Ui,3 и гладкую функцию : Rm R такие же, как в доказательстве теоремы 17.5; карты i : Ui,3 Rm тоже возьмём такие же. Положим f1(x) = i(i (x)). Если x Ui,1, i=то (i (x)) = 1, поэтому f(x) 1. Из локальной конечности покрытия {Ui,3} следует, что функция f1 гладкая, поскольку если x Ui,3, то (i (x)) = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.