WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 49 |

224 Глава V. Многообразия 16.3. Риманова метрика Риманова метрика на многообразии Mn – это гладкое задание в ка– сательном пространстве TxMn скалярного произведения (u, v). Гладкость означает, что функция f : TMn R, заданная формулой f(v) = (v, v), является гладкой. Эквивалентное определение гладкости таково: для любых гладких векторных полей X и Y на Mn функция (X, Y) является гладкой функцией на Mn.

Т е о р е м а 16.2. На любом многообразии Mn существует риманова метрика.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покроем Mn счётным набором карт i : Ui Rn и построим гладкое разбиение единицы {fi}, для которого supp fi Ui.

Для x Ui определим скалярное произведение (·, ·)i в TxMn следующим образом. Пусть векторы v, w TxMn имеют в локальной системе координат (Ui, i) координаты (v1,..., vn) и (w1,..., wn). Тогда положим (v, w)i = v1w1 +... + vnwn.

Пусть теперь x – произвольная точка Mn и v, w TxMn. Положим – (v, w) = fi (x) (v, w)i.

i=Эта сумма имеет следующий смысл: если значение (v, w)i не определено, то x Ui, а значит, fi (x) = 0; в таком случае мы полагаем fi (x) (v, w)i = 0.

При фиксированном x получается выражение вида 1A1 +... + kAk, где i > 0, i = 1 и Ai – положительно определённая симметрическая – билинейная форма. Сумма форм такого вида тоже положительно определена.

16.4. Дифференциальные формы и ориентируемость Кокасательным пространством в точке x Mn называют пространство линейных функций на пространстве TxMn; кокасательное про странство обозначают Tx Mn. На множестве T Mn = Tx Mn структура xMn многообразия задаётся аналогично тому, как это делается для TMn.

Действительно, пусть (U, ) – локальная система координат с началом – в точке x, v TxMn и l Tx Mn. В этой локальной системе координат вектор v имеет координаты (v1,..., vn) и при этом l(v) = l1v1 +... + lnvn, где числа l1,..., ln одни и те же для всех векторов. Будем считать, что (l1,..., ln) – координаты ковектора l в данной системе координат.

– Дальше действуем точно так же, как и для TMn.

§ 16. Касательное пространство Гладкое отображение f : Mm Nn индуцирует отображение касательных расслоений df : TMm TNn, которое переносит касательные векторы в том же направлении, в котором действует отображение f. Для кокасательных расслоений индуцированное отображение f действует в про тивоположном направлении, т. е. f : T Nn T Mm. Действительно, зададим отображение f формулой f(l) (v) = l(df(v)). Эта формула пока зывает, что если l Tf Nn T Nn, то f(l) Tx Mm T Mm.

(x) Пусть kMn – k-я внешняя степень пространства Tx Mn. На множеx – стве kMn = kMn естественным образом вводится структура мноx xMn гообразия. Дифференциальной k-формой на многообразии Mn называют гладкое сечение канонической проекции p : kMn Mn, т. е. такое n гладкое отображение s : Mn kMn, что ps = idM.

В локальной системе координат форма kMn имеет вид = ai...ikdxi... dxi, 1 1 k i1<...

Многообразие Mn называют ориентируемым, если существует набор карт {U, | A}, покрывающий Mn и обладающий тем свойством, что определитель матрицы Якоби отображения -1 положителен для любых, A. Такой набор карт будем называть ориентирующим атласом.

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что произведение двух ориентируемых многообразий ориентируемо.

З а д а ч а 16.6. Пусть f – диффеоморфизм многообразия Mn = – = {x Rn | 0 < x < 1} на себя, заданный формулой f(tu) = (1 - t)u, где u – единичный вектор и 0 < t < 1. Докажите, что f изменяет ориен– тацию.

Т е о р е м а 16.3. Многообразие Mn ориентируемо тогда и только тогда, когда на нём есть n-форма, не обращающаяся в нуль ни в какой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что многообразие Mn ориентируемо. Пусть {U, } – ориентирующий атлас на многооб– разии Mn. Пространство n-форм на n-мерном многообразии одномерно;

базисная форма в Rn имеет вид = dx1... dxn. Рассмотрим на U форму = ().

Если f : Rn Rn – гладкое отображение, то ( f) = J(x), где J(x) – – – определитель матрицы Якоби отображения f. Поэтому (-1) =, где – положительная функция на (U U). Следовательно, – 226 Глава V. Многообразия (-1)() =, а значит, = () = () () =, где (x) = ( (x)) – положительная функция на U U.

– Можно считать, что покрытие {U} не более чем счётно. Пусть f – – такое разбиение единицы, подчинённое покрытию {U}, что supp f U для всех. Положим = f. Ясно, что форма нигде не обращается в нуль.

Предположим теперь, что n-форма на многообразии Mn нигде не обращается в нуль. Пусть {U, } – произвольный атлас, = dx–... dxn – базисная форма в Rn. Форма (), определённая на U, – пропорциональна, поэтому () = µ, где µ – некоторая функция – на U. Функция µ не обращается в нуль, поэтому µ > 0 или µ < на всём множестве U (мы предполагаем, что множество U связно).

Если µ < 0, то заменим отображение на отображение, которое является композицией отображения и отображения Rn Rn, заданного формулой (x1, x2,...) (x2, x1,...). Ясно, что () = ()dx1 dx2... dxn = = ()dx2 dx1... dxn = -µ =, где = -µ > 0.

После таких замен получаем ориентирующий атлас, так как (-1) = (-1)() = (-1) (µ) = µ-1µ.

Точно так же, как строилась риманова метрика на многообразии Mn, можно построить скалярное произведение в каждом пространстве nMn.

x Пусть Mn – множество векторов единичной длины в nMn. Простран– ство nMn одномерно, поэтому из точки x выходят ровно два вектора едиx ничной длины. Из этого следует, что естественная проекция p : Mn Mn является двулистным накрытием. Это накрытие называют ориентирую щим накрытием многообразия Mn, а многообразие Mn называют ориентирующей накрывающей. Происхождение такого названия проясняет следующее утверждение.

Т е о р е м а 16.4. а) Многообразие Mn связно тогда и только тогда, когда многообразие Mn неориентируемо.

б) Многообразие Mn ориентируемо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Если многообразие Mn связно, то каждая компонента связности представляет собой n-форму, нигде не обращающуюся в нуль. Наоборот, если n-форма нигде не обращается в нуль, то множество точек (x) (x) представляет собой одну из компонент / связности многообразия Mn.

§ 17. Вложения и погружения б) Каждая точка x Mn по определению является n-формой (x) в точке p(x) Mn. Накрытие p : Mn Mn индуцирует изоморфизм кокасательных пространств, поэтому форму (x) можно рассматривать как форму на Mn.

У п р а ж н е н и е 7. Докажите, что если 1 (Mn) = 0, то многообразие Mn ориентируемо.

Точки многообразия Mn можно рассматривать как пары (точка x Mn, ориентация пространства TxMn).

Поднятие пути Mn в накрывающее многообразие Mn соответствует переносу ориентации вдоль пути. Перенос ориентации вдоль пути имеет следующий геометрический смысл. Покроем путь конечным числом карт i : Ui Rn так, чтобы каждое множество Ui было связно. Карта i позволяет задать во всех пространствах TxMn для x Ui ориентации согласованным образом. Поэтому если [a, b] Ui, то ориентацию, заданную в точке a, можно перенести в точку b.

У п р а ж н е н и е 8. Дайте определение ориентирующего накрытия, основываясь на геометрическом определении переноса ориентации вдоль пути.

§ 17. Вложения и погружения Вложения и погружения мы определяли для многообразий без края, поэтому будем предполагать, что рассматриваемые многообразия не имеют края. Для компактных многообразий есть достаточно простая конструкция, позволяющая вложить n-мерное многообразие в R2n+1. Эту конструкцию мы изложим в п. 17.1. Затем с помощью вложений мы в п. 17.2 докажем, что любое замкнутое компактное многообразие триангулируемо.

Для некомпактных многообразий требуется совсем другая конструкция. Она основана на том, что если n 2m, то любое гладкое отображение Mm Rn можно сколь угодно малым шевелением превратить в погружение. Поэтому в п. 17.3 мы обсудим погружения многообразий, а затем в п. 17.4 докажем, что любое многообразие размерности n вкладывается в R2n+1 в качестве замкнутого подмногообразия.

Все эти теоремы о вложениях и погружениях доказал Уитни [144].

Более тонкие рассуждения, тоже принадлежащие Уитни, показывают, что любое n-мерное многообразие, где n 2, можно погрузить в R2n-1, а любое компактное n-мерное многообразие можно вложить в R2n. Современное изложение доказательств этих утверждений приведено в [24].

228 Глава V. Многообразия 17.1. Вложения компактных многообразий Здесь мы докажем, что компактное многообразие Mn можно вложить в R2n+1. Конструкция состоит из двух шагов. Сначала мы докажем, что Mn можно вложить в RN, где N достаточно велико. Затем докажем, что если Mn можно вложить в RN, где N > 2n + 1, то Mn можно вложить и в RN-1.

Т е о р е м а 17.1. Компактное многообразие Mn можно вложить в RN, где N достаточно велико.

Д о к а з а т е л ь с т в о. На компактном многообразии Mn существует конечный набор карт i : Ui Rn, i = 1,..., k, обладающий следующими свойствами:

1) множество i (Ui) является открытым шаром радиуса 2 с центром в начале координат;

2) прообразы открытых единичных шаров при отображениях i покрывают Mn; эти прообразы будем обозначать Vi.

Построим гладкую функцию : Rn R, для которой 1 при y 1;

(y) = 0 при y 2;

кроме того, 0 < (y) < 1 при 2 > y > 1. Для этого сначала рассмотрим функцию 0 при x 0;

(x) = e-1/x при x > 0.

Затем положим (t) = (x - 1)(2 - x); функция положительна на интервале (1, 2). Наконец, положим, 2 () = (t)dt (t)dt и (y) = ( y ).

Пусть i (x) = (i (x)). Отображение i (x)i (x) определено на всём многообразии Mn (если x Ui, то i (x) = 0). Легко проверить, что отображение f : Mn R(n+1)k, заданное формулой x 1 (x), 1 (x)1 (x),..., k (x), k (x)k (x), взаимно однозначно. Действительно, пусть x1 Ui. Если x2 Ui, то i (x1) = i (x2) = 1, поэтому равенство i (x1)i (x1) = i (x2)i (x2) эквивалентно равенству i (x1) = i (x2), т. е. x1 = x2. Если же x2 Ui, то i (x1) = 1, а i (x2) < 1.

§ 17. Вложения и погружения Ограничение на Ui отображения x i (x)i (x) является погружением. Действительно, если x Ui, то i (x) = 1, а отображение x i (x) является локальным диффеоморфизмом. Поэтому отображение f : Mn R(n+1)k является погружением. Остаётся заметить, что взаимно однозначное отображение компактного пространства Mn в хаусдорфово пространство R(n+1)k является гомеоморфизмом на свой образ.

Т е о р е м а 17.2. а) Пусть f : Mn RN – погружение. Тогда если – N > 2n, то композиция отображения f и проекции на некоторую гиперплоскость RN-1 RN является погружением.

б) Пусть Mn – компактное многообразие и f : Mn RN – вложе– – ние. Тогда если N > 2n + 1, то композиция отображения f и проекции на некоторую гиперплоскость RN-1 RN является вложением.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Ядро проекции пространства RN на гиперплоскость RN-1, ортогональную вектору v, состоит из векторов, проv порциональных v. Поэтому композиция отображения f и проекции на гиперплоскость RN-1 является иммерсией в точке x Mn тогда и только v тогда, когда вектор v не принадлежит образу отображения df TxMn - Tf(x)RN RN.

= Чтобы исключить нулевой вектор, будем рассматривать SN-1 вместо RN. Отображение df переводит пропорциональные векторы в пропорциональные, а любой ненулевой вектор оно переводит в ненулевой вектор.

Поэтому можно ввести на Mn риманову метрику и построить отображение g : T1Mn SN-1, где T1Mn – множество касательных векторов единич– ной длины.

Легко проверить, что T1Mn – многообразие размерности 2n - 1. Дей– ствительно, сопоставим касательному вектору квадрат его длины. В реn зультате получим гладкое отображение TM R, которое в точке 1 R является иммерсией. При этом T1Mn – прообраз точки 1 R.

– Построенное нами отображение g гладкое, поэтому если 2n - 1 < < N - 1, то его образ имеет меру нуль. В частности, найдётся вектор v SN-1, не принадлежащий образу отображения g. Композиция отображения f и проекции на гиперплоскость RN-1 является иммерv сией.

б) Мы уже доказали, что если N > 2n, то для почти всех v SN-1 композиция отображения f и проекции на гиперплоскость RN-1 является имv мерсией. Покажем, что если N > 2n + 1, то для почти всех v SN-1 композиция отображения f и проекции на гиперплоскость RN-1взаимно одv 230 Глава V. Многообразия нозначна. Рассмотрим для этого отображение g : (Mn Mn) \ SN-1, заданное формулой f(x) - f(y) g(x, y) =.

f(x) - f(y) Здесь = {(x, y) Mn Mn | x = y} – диагональ. Отображение g – определено корректно, поскольку если x = y, то f(x) = f(y) по усло вию. Размерность многообразия (Mn Mn) \ равна 2n, поэтому если N > 2n + 1, то образ отображения g имеет меру нуль. Ясно также, что если вектор v SN-1 не принадлежит образу отображения g, то композиция отображения f и проекции на гиперплоскость RN-v взаимно однозначна.

Остаётся заметить, что взаимно однозначное непрерывное отображение компактного пространства Mn в хаусдорфово пространство RN-v является гомеоморфизмом на свой образ.

17.2. Триангуляция замкнутого многообразия Пусть Mn – компактное многообразие без края. Докажем, следуя [45], – что Mn триангулируемо, т. е. существует гомеоморфизм Mn|K |, где K – – некоторый симплициальный комплекс. Чтобы построить триангуляцию, вложим Mn в RN. Для точки x Mn в RN определены два аффинных подпространства, проходящих через точку x, а именно, касательное подпространство TxMn и нормальное подпространство NxMn, являющееся ортогональным дополнением пространства TxMn. Будем говорить, что сфера радиуса r с центром y касается Mn в точке x, если y NxMn и y - x = r.

Л е м м а. Для замкнутого многообразия Mn RN можно выбрать число r > 0 так, что ни одна сфера радиуса меньше r, касающаяся Mn, не содержит точек Mn, отличных от точки касания.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для начала рассмотрим ситуацию, соответствующую вложению M1 R2. Пусть график гладкой функции y = f(x) пересекает окружность x2 + (y - r)2 = r2 в точке (x0, r - r2 - x0) и при этом в начале координат график касается окружности, т. е. f (0) = 0.

Предположим, что max f (t) = C. Тогда f () = f (t)dt C (при t[0,x] t [0, x]) и xCxr - r2 - x0 = f(x0) = f () d.

§ 17. Вложения и погружения Несложные алгебраические преобразования показывают, что если x (0, r], то r - r2 - x1, поэтому C.

2r r xЭто означает, что если радиус r мал, то на отрезке [0, r] есть точка, в которой вторая производная функции f велика, а именно, она не меньше 1 r.

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.