WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 49 |

Нужно проверить, что пространство, порождённое векторами v1,..., vk, R w, действительно принадлежит e( ). Векторы w и R w имеют одинаk ковые проекции на ортогональное дополнение пространства R, поэтому R w = (,...,, w +1,..., w, 0,..., 0). Линейная независимость k k+векторов v1,..., vk, R w следует из того, что (vi, R w) = (R e, R w) = i = (e, w) = w = 0 и (R w, R w) = (w, w) = 1.

i i Сюръективность отображения следует из того, что обратное отображение -1 задаётся формулой -1 (v1,..., vk, vk+1) = (v1,..., vk, R-1vk+1).

Здесь ортонормированный базис v1,..., vk, vk+1 выбирается точно так же, как и для k-мерного подпространства с данным символом Шуберта;

ортогональное преобразование R строится по векторам v1,..., vk точно так же, как и выше. Легко проверить, что вектор w = R-1vk+1 обладает всеми требуемыми свойствами. А именно:

w = (w1,..., w, 0,..., 0), где w = vk+1, 0;

k+1 k+1 k+w = (e, w) = (R e, R w) = (vi, vk+1) = 0 при i = 1,..., k;

i i i (w, w) = (R-1vk+1, R-1vk+1) = (vk+1, vk+1) = 1.

Отображение -1 непрерывно, поэтому из индуктивного предположения о том, что гомеоморфно отображает int Dd() на d(), следует, что гомеоморфно отображает int Dd( ) на d( ), поскольку int(e() Dd( )-d()) = e() int Dd( )-d().

§ 16. Касательное пространство Касательный вектор в точке x Mn легко определить в локальной системе координат, но при переходе к другой системе координат возникают некоторые трудности. Поэтому используется несколько определений касательного вектора, которые бывают полезны в разных ситуациях.

Одно из наиболее естественных определений таково. Касательный вектор в точке x Mn – это некий объект, которому в каждой локальной – системе координат (U, ) с началом в точке x соответствует определённый вектор v = (v1,..., vn) Rn; при этом в локальной системе координат (V, ) тому же самому касательному вектору соответствует вектор w = (w1,..., wn), где (-1)i wi = (0)vj. (1) xj 218 Глава V. Многообразия Иными словами, w – образ вектора v под действием матрицы Якоби – отображения перехода -1. Корректность этого определения следует из того, что матрица Якоби композиции двух отображений является произведением матриц Якоби этих отображений.

Основной недостаток этого определения – зависимость от выбора си– стемы координат. Чтобы получить инвариантное определение, можно поступить разными способами.

Касательный вектор как класс эквивалентных кривых. Вектору v Rn можно сопоставить семейство всех гладких кривых : (-1, 1) d Rn, для которых (0) = 0 и (0) = v. Если (U, ) – локальная систе– dt ма координат с началом в точке x M, то кривой (t) можно сопоставить кривую = -1 на многообразии Mn; при этом = x. Поэтому каса (0) тельный вектор в точке x M можно определить как класс эквивалентности гладких кривых : (-1, 1) Mn, для которых = x. Кривые (0) и 2 считаются эквивалентными, если для некоторой системы координат (U, ) с началом в точке x выполняется равенство d( (t)) d( (t)) 1 =.

dt dt t=0 t=Если (V, ) – другая система координат с началом в точке x, то – d( (t))i d(-1 (t))i (-1)i d( (t)) j = = (0).

dt dt xj dt t=0 t=0 t=j Поэтому, во-первых, эквивалентность кривых не зависит от выбора локальных координат, а во-вторых, координаты касательного вектора d( (t))i при переходе к другой системе координат действительно dt t=преобразуются по требуемому закону (1).

Касательный вектор как оператор дифференцирования. Пусть (U, ) – локальная система координат с началом в точке x Mn, v Rn – и f – гладкая функция, определённая в некоторой окрестности точки x.

– (f-1) Функции f можно сопоставить число (0)vi, которое мы будем xi i называть производной функции f по направлению векторного поля v. При переходе к другой системе координат (V, ) вектор v заменится (-1)i на вектор w с координатами wi = (0)vj, поэтому функции f xj j § 16. Касательное пространство в новой системе координат будет сопоставлено число (f-1) (-1)i (f-1) (0) (0)vj = (0)vj.

xi xj xj i,j j Таким образом, число, сопоставляемое функции f, не зависит от выбора системы координат.

Касательному вектору v в точке x Mn мы сопоставили линейный оператор v : C (Mn) R (вместо C (Mn) можно взять C (U), где U – – некоторая окрестность точки x; число v(f) зависит только от поведения функции f в сколь угодно малой окрестности точки x). При этом выполняются следующие свойства:

1) (v + µw) (f) = v(f) + µw(f);

2) v(fg) = f(x)v(g) + g(x)v(f).

(fg) f g Второе свойство следует из того, что = g + f.

xi xi xi У п р а ж н е н и е 1. Выведите из свойства 2, что v(c) = 0, если c – – постоянная функция.

Свойства 1 и 2 вместе с линейностью оператора v можно взять за определение линейного пространства касательных векторов в точке x Mn. Но при этом нужно проверить, что не появится лишних « » операторов, т. е. если v : C (Rn) R – линейный оператор, облада– f ющий свойством v(fg) = f(0)v(g) + g(0)v(f), то v(f) = (0)vi для xi i некоторых v1,..., vn Rn. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Л е м м а. Пусть f C (U), где U Rn – выпуклая окрестность – начала координат, и f(0) = 0. Тогда существуют такие функции f g1,..., gn C (U), что f(x) = xi gi (x) и gi (0) = (0).

xi Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что 1 df(tx) f(tx) f(x) = f(x) - f(0) = dt = xi dt, dt xi 0 f(tx) поэтому можно положить gi (x) = dt.

xi Из этой леммы требуемое утверждение следует очевидным образом.

Действительно, f(x) - f(0) = xi gi (x), поэтому f v(f) = 0 · v(gi) + gi (0)v(xi) = (0)vi, xi где vi = v(xi).

220 Глава V. Многообразия Касательные векторы в точке x Mn образуют линейное пространство. Это пространство называют касательным пространством в точке x и обозначают TxMn.

У п р а ж н е н и е 2. Пусть J = {f C (Rn) | f(0) = 0}, J2 = fi gi | fi, gi J (сумма конечная), (J J2) – пространство линейных функций / – на J J2, V – касательное пространство в точке 0 Rn.

/ – а) Докажите, что если v V и f J2, то v(f) = 0. Таким образом, касательному вектору v сопоставляется элемент пространства (J J2).

/ б) Пусть l (J J2). Положим vl (f) = l(f(x) - f(0)). Докажите, что / оператор vl обладает свойством 2 для точки x = 0.

в) Докажите, что построенные в пп. а и б отображения V (J J2) / и (J J2) V взаимно обратны.

/ 16.1. Дифференциал отображения Пусть f : Mm Nn – гладкое отображение, v TxMm – касательный – – вектор. Тогда можно определить вектор df(v) Tf(x)Nn. Например, если вектор v задан кривой (t), то вектор df(v) задаётся кривой f( (t)).

А если вектор v задан как линейный оператор на гладких функциях, то вектор df(v) задаётся как оператор df(v) () = v(f); действительно, если C (Uf(x)), то f C (Vx).

Отображение df : TxMm Tf(x)Nn линейно; это отображение называют дифференциалом отображения f в точке x.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что d(f g) = df dg.

Условие, что f – иммерсия (субмерсия) в точке x, эквивалентно тому, – то дифференциал отображения f в точке x – мономорфное (эпиморфное) – отображение. В такой форме иногда бывает удобнее проверять, что f – – иммерсия (субмерсия).

П р и м е р. Рассмотрим отображение из пространства Rn всех матриц порядка n в пространство Rn(n+1)/2 симметрических матриц, заданное формулой f(X) = XT X. Тогда во всех точках множества f-1(In), где In – – единичная матрица, отображение f является субмерсией. (Поэтому согласно теореме 15.3 топологическое пространство f-1 (In) = O(n) является многообразием.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U O(n), т. е. UT U = In. Рассмотрим в пространстве всех матриц гладкую кривую (t) + U + tA. При отображении f она переходит в кривую In + t(UAT + AUT) + o(t), поэтому вектор A переходит в вектор UAT + (UAT)T. Ясно, что любую симметрическую матрицу можно представить в виде X + XT и любую матрицу X § 16. Касательное пространство можно представить в виде X = UAT. Поэтому в точке U дифференциал отображения f эпиморфен.

У п р а ж н е н и е 4. Докажите, что пространство унитарных матриц U(n) является многообразием.

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что отображение f : U(n) S1, заданное формулой f(U) = det(U), является субмерсией. В частности, f-1(1) = SU(n) – многообразие.

– 16.2. Векторные поля На множестве TMn = TxMn можно ввести структуру многообраxMn зия следующим образом. Пусть (U, ) – локальная система координат – на многообразии Mn. Сопоставим касательному вектору в точке x Mn пару ((x), v), где v = (v1,..., vn) – координаты этого касательного век– тора в данной системе координат. В результате получим взаимно однозначное отображение T : TU = TxMn (U) Rn R2n.

xU Множества TU покрывают TMn. Потребовав, чтобы все отображения T были гомеоморфизмами, мы зададим на TMn структуру топологического пространства. Карты (TU, T ) задают на этом топологическом пространстве структуру многообразия. Многообразие TMn называют касательным расслоением многообразия Mn.

З а д а ч а 16.1. Докажите, что многообразие TSn гомеоморфно подмножеству в комплексном пространстве Cn+1, заданному уравнением 2 z1 +... + zn+1 = 1.

Сопоставив касательному вектору v TxMn точку x, получим проекцию p : TMn Mn. При этом отображение p гладкое.

Гладкое отображение f : Mm Nn индуцирует гладкое отображение df : TMm TNn (дифференциал отображения f).

Векторным полем на многообразии Mn называют гладкое сечение n проекции p, т. е. такое гладкое отображение s : Mn TMn, что ps = idM.

Отображение s сопоставляет точке x Mn вектор v TxMn. Гладкость отображения s означает, что в любой локальной системе координат (U, ) векторное поле имеет вид ai, где ai – гладкая функция на множе– xi стве (Ui).

Точку x Mn называют особой точкой векторного поля s : Mn TMn, если s(x) = 0.

222 Глава V. Многообразия П р и м е р. На сфере S2n+1 существует векторное поле без особых точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Гладкой кривой (t) = x + ty +... на сфере Sm соответствует вектор y Rm+1, для которого выполняется равенство (x, y) = 0. Действительно, из равенства (t) = 1 следует, что x 2 + t(x, y) +... = 1, поэтому (x, y) = 0. Размерность пространства, образованного такими векторами, совпадает с размерностью касательного пространства, поэтому любому вектору y Rm+1, для которого выполняется равенство (x, y) = 0, соответствует касательный вектор в точке x Sm.

Сфера размерности 2n + 1 расположена в пространстве размерности 2n + 2. Это означает, что координаты вектора x можно разбить на пары:

x = (u1, v1,..., un+1, vn+1). Положим y = (-v1, u1,..., -vn+1, un+1).

В результате получим векторное поле без особых точек на сфере S2n+1.

З а д а ч а 16.2. Докажите, что на сфере S4n+3 существуют три векторных поля, линейно независимых в каждой точке x S4n+3.

З а д а ч а 16.3. а) Докажите, что отображения f, g : S2n+1 S2n+1, заданные формулами f(x) = x и g(x) = -x, гомотопны.

б) Докажите, что отображения f, g : S2n S2n, заданные формулами f(x) = -x и g(x0, x1,..., x2n) = (-x0, x1,..., x2n), гомотопны.

Т е о р е м а 16.1. На сфере S2n не существует векторного поля без особых точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [96]). Предположим, что v(x) – вектор– ное поле без особых точек на сфере Sm, т. е. v : Sm Rm+1 – такое глад– кое отображение, что v(x) = 0 и (x, v(x)) = 0 для всех x Sm. Заменив v(x) на v(x) v(x), получим векторное поле, состоящее из векторов еди/ ничной длины.

Продолжим отображение v на Rm+1 \ {0}, положив v(rx) = rv(x) для r > 0, x Sm. Для t R рассмотрим отображение ft : Rm+1 \ {0} Rm+1, заданное формулой ft (x) = x + tv(x). Если x = r, то ft (x) = 1 + t2 r, m m m т. е. f(Sr ) S, где Sr – сфера радиуса r с центром в начале ко– 1+t2 r ординат.

Матрица Якоби отображения ft (x) имеет вид I + tJ(x), где I – единич– ная матрица, J(x) – матрица Якоби отображения v(x). В частности, при – малых t к отображению ft можно применить теорему об обратной функm m ции. Поэтому при малых t множество f(Sr ) открыто в S. С другой 1+t2 r m m стороны, множество f(Sr ) компактно, а значит, оно замкнуто в S.

1+t2 r m m m Из связности пространства S следует, что f(Sr ) = S.

1+t2 r 1+t2 r § 16. Касательное пространство Пусть 0 < a < b. Рассмотрим множество A = {x Rm+1 | a x b}.

Если t достаточно мало, то ft (A) = x Rm+1 | 1 + t2 a x 1 + t2 b.

Поэтому, в частности, отношение объёмов множеств ft (A) и A равно m+1 + t2.

К вычислению отношения объёмов множеств ft (A) и A можно подойти и по-другому. Прежде всего покажем, что при достаточно малых t отображение ft на множестве A взаимно однозначно. На компактном множестве A все частные производные отображения v(x) равномерно ограничены, поэтому существует такая константа c, что v(x) - v(y) c x - y для любых x, y A. Пусть x, y A и ft (x) = ft (y). Тогда x - y = t(v(x) - v(y)), а значит, x - y c|t| · x - y. При |t| < c-1 получаем x = y.

Определитель матрицы Якоби отображения ft (x) равен det(I + tJ(x)) = = 1 + t1 (x) +... + tm+1m+1 (x), где 1,..., m+1 – гладкие функции.

– При достаточно малых t этот определитель положителен и ft гомеоморфно отображает A на ft (A), поэтому объём множества ft (A) равен a0 + a1t +... + am+1tm+1, где a0 – объём множества A и – ak =... k (x) dx1... dxm+1.

a x b В итоге получаем, что ( 1 + t2)m+1 – многочлен от t степени m + 1.

– Это возможно лишь в том случае, когда число m + 1 чётно. Но мы рассматриваем случай, когда m = 2n, т. е. число m + 1 нечётно.

З а м е ч а н и е. Теорема о том, что на сфере S2n не существует векторного поля без особых точек, имеет много разных доказательств. Мы сейчас привели весьма нестандартное доказательство этой теоремы. Более стандартное доказательство можно получить с помощью теоремы Пуанкаре–Хопфа (теорема 18.6 на с. 250); для этого нужно восполь– зоваться также теоремой 19.4 на с. 267 и примером 19.3 на с. 273.

З а д а ч а 16.4. а) Пусть f : S2n S2n – гладкое отображение. До– кажите, что существует такая точка x S2n, что f(x) = ±x.

б) Пусть f : RP2n RP2n – гладкое отображение. Докажите, что – у этого отображения есть неподвижная точка.

З а д а ч а 16.5.* [25] Алгеброй с делением называют конечномерное вещественное пространство K с билинейным умножением µ: K K K без делителей нуля (т. е. если v = 0 и w = 0, то µ(v, w) = 0) и с двусторонней единицей e (т. е. µ(e, v) = v = µ(v, e) для всех v K).

Докажите, что если dim K 2, то K содержит подалгебру, изоморфную C.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.