WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 49 |

матрицу............, строками которой служат координаты вектоvk1... vkn ров vi. Матрице A GLk (R) сопоставляется набор векторов (w1,..., wk), координатами которых служат строки матрицы W = AV.

Легко проверить, что та же самая топология на G(n, k) получится и в том случае, когда рассматриваются не все наборы линейно независимых векторов, а только ортонормированные. Действительно, если набору линейно независимых векторов сопоставить набор векторов, полученных § 15. Определение и основные свойства ортогонализацией Грама–Шмидта, то такое отображение будет непре– рывно.

Такой подход к определению топологии пространства G(n, k) имеет следующее преимущество: пространство G(n, k) получается как факторпространство компактного пространства по действию компактной группы O(k). Из этого, в частности, следует, что пространство G(n, k) компактно и хаусдорфово.

По-другому доказать хаусдорфовость пространства G(n, k) можно, например, так. Фиксируем точку x Rn и рассмотрим на G(n, k) функцию dx, равную расстоянию от точки x до подпространства G(n, k).

Эта функция непрерывна. Ясно также, что если k-мерные подпространства 1 и 2 различны, то точку x можно выбрать так, что x 1 и x 2.

В таком случае dx (1) = 0 и dx (2) = 0.

Т е о р е м а 15.7. Топологическое пространство G(n, k) является многообразием (без края) размерности k(n - k).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в подпространстве G(n, k) линейно независимые векторы v1,..., vk и рассмотрим прямоугольную матрицу V = V(), строками которой служат координаты этих векторов.

Для каждого мультииндекса I = {i1,..., ik}, где 1 i1 <... < ik n, можно рассмотреть квадратную матрицу VI, образованную столбцами матрицы V с номерами i1,..., ik. Из линейной независимости векторов v1,..., vk следует, что найдётся мультииндекс I, для которого det VI = 0.

Рассмотрим прямоугольную матрицу (VI)-1V. Столбцы этой матрицы с номерами i1,..., ik образуют единичную матрицу порядка k.

В подпространстве можно выбрать другие линейно независимые векторы w1,..., wk. При этом W = AV, где A GLk(R), и WI = AVI.

Следовательно, (WI)-1W = (VI)-1A-1AV = (VI)-1V. Это означает, что прямоугольная матрица (VI)-1V зависит только от пространства и мультииндекса I; обозначим эту матрицу I. Для любого мультииндекса J можно рассмотреть квадратную матрицу I. Выше было отмечено, J что I – единичная матрица. Элементы всех остальных столбцов матри– I цы I могут быть произвольными.

Для любого мультииндекса I рассмотрим множество UI G(n, k), состоящее из тех подпространств G(n, k), для которых det VI = 0.

Множества UI покрывают всё пространство G(n, k). Ясно также, что каждое множество UI открыто. Действительно, если det VI = 0, то при достаточно малом изменении элементов матрицы V получается матрица V, для которой det VI = 0.

Сопоставим подпространству UI матрицу I, а затем этой матрице сопоставим набор из n - k её столбцов, номера которых не входят в мультииндекс I. В результате получим гомеоморфизм I : UI Rk(n-k).

212 Глава V. Многообразия Остаётся проверить, что если I и J – два мультииндекса, то отображе– ние J -1, определённое на открытом множестве I (UI UJ), является I гладким.

Отображение J -1 устроено следующим образом. Точке x Rk(n-k) I сопоставим матрицу I, у которой n - k столбцов заполнены координатами вектора x, а остальные столбцы (соответствующие мультииндексу I) образуют единичную матрицу. Матрице I сопоставим матрицу V, для которой (VI)-1V = I. Наконец, матрице V сопоставим матрицу J = (VJ)-1V = (VJ)-1VII. Чтобы устранить неоднозначность выбора матрицы V, будем полагать, что VI – единичная матрица. В таком случае – матрице X = I сопоставляется матрица (XJ)-1X, а затем берутся её столбцы, которые не входят в мультииндекс J. По условию на всей области определения матрица XJ невырожденная, поэтому полученное в результате отображение гладкое.

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что сопоставление подпространству его ортогонального дополнения индуцирует диффеоморфизм G(n, k) G(n, n - k).

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что G(n, 1) RPn-1.

Если в пространстве Rn фиксирован базис, то k-мерному подпро n странству можно сопоставить чисел xI, называемых координаk тами Плюккера. Это делается следующим образом. Выберем в линейно независимые векторы v1,..., vk и рассмотрим матрицу V, строками которой служат координаты этих векторов. Для каждого мультииндекса I n рассмотрим число xI = det VI. Количество мультииндексов равно, k n поэтому получаем чисел.

k Координаты Плюккера определены однозначно с точностью до пропорциональности. Действительно, если в выбрать другой базис, то матрица V заменится на матрицу AV, где A GLk (R). При этом каждая координата Плюккера умножится на det A.

Т е о р е м а 15.8 (вложение Плюккера). Координаты Плюккера n -k задают вложение i : G(n, k) RP.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего проверим, что i гомеоморфно отображает G(n, k) на i(G(n, k)). Для этого достаточно проверить, что отображение i инъективно, поскольку взаимно однозначное непрерывное отображение компактного пространства на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.

Пусть v1,..., vk Rn – переменные линейно независимые векторы, – c1,..., cn-k Rn – постоянные линейно независимые векторы. Рассмот– § 15. Определение и основные свойства V рим квадратную матрицу, строками которой служат координаты C этих векторов. Согласно теореме Лапласа V det = aI det VI, C V где aI – константа, зависящая от матрицы C. Ясно также, что det = – C = 0 тогда и только тогда, когда пересечение подпространств, порождённых векторами v1,..., vk и c1,..., cn-k, отлично от нуля. Таким образом, координаты Плюккера k-мерного подпространства удовлетворяют уравнению aIxI = 0 тогда и только тогда, когда пересечение с подпространством, порождённым векторами c1,..., cn-k, отлично от нуля.

Остаётся заметить, что для двух различных k-мерных подпространств в Rn можно выбрать (n - k)-мерное подпространство так, чтобы его пересечение с одним подпространством было равно нулю, а пересечение с другим подпространством было отлично от нуля.

Проверим теперь, что i – погружение. Рассмотрим карту UI и введём – на ней координаты так, как это было объяснено выше. Чтобы избежать запутанных обозначений, ограничимся простым примером, когда UI со 1 0 0 x1 xстоит из матриц I вида 1 0 x2 x5. Отображение i сопостав0 0 1 x3 xляет матрице I набор определителей всех её подматриц порядка k = 3.

Если мы рассмотрим только подматрицы, образованные k - 1 столбцами единичной матрицы и ещё одним каким-то столбцом, то получим, что в карте UI отображение i имеет вид 1 0 0 x1 x0 1 0 x2 x5 (1, ±x1, ±x2, ±x3, ±x4, ±x5, ±x6,...).

0 0 1 x3 xОдна из координат образа равна 1. Это означает, что образ карты UI целиком лежит в стандартной карте проективного пространства, т. е. мы получаем отображение евклидовых пространств. Очевидно, что ранг этого отображения равен размерности многообразия G(n, k).

n -k З а м е ч а н и е. Образ G(n, k) в RP при вложении Плюккера можно явно задать системой уравнений, называемых соотношениями Плюккера. Подробности см. в [15, § 30].

214 Глава V. Многообразия Помимо многообразия k-мерных подпространств в Rn можно рассмотреть многообразие k-мерных комплексных подпространств в Cn.

Чтобы различать эти многообразия, мы будем говорить о вещественных и о комплексных многообразиях Грассмана. Кроме того, в вещественном случае можно рассмотреть ориентированное многообразие Грассмана G+ (n, k), точками которого служат ориентированные k-мерные подпространства. В этом случае наборы векторов считаются эквивалентными лишь в том случае, когда они не только порождают одно и то же k-мерное подпространство, но и задают в нём одну и ту же ориентацию.

У п р а ж н е н и е 7. Докажите, что многообразие G+ (n, k) двулистно накрывает G(n, k).

У п р а ж н е н и е 8. Докажите, что координаты Плюккера задают n -k вложение G+ (n, k) S.

З а д а ч а 15.2. а) Докажите, что многообразие G+ (n, k) всегда ориентируемо.

б) Докажите, что вещественное многообразие Грассмана G(n, k) ориентируемо тогда и только тогда, когда n чётно.

З а д а ч а 15.3. Докажите, что G+ (4, 2) S2 S2.

З а д а ч а 15.4. Докажите, что квадрика в CPn-1, заданная урав2 нением z1 +... + zn = 0, диффеоморфна G+ (n, 2). Более того, при этом диффеоморфизме комплексное сопряжение соответствует изменению ориентации плоскости.

Опишем теперь клеточное строение многообразия Грассмана. Для каждого k-мерного подпространства Rn рассмотрим последовательность чисел ai = dim( Ri), i = 0, 1,..., n. Здесь предполагается, что Ri состоит из векторов вида (x1,..., xi, 0,..., 0). Ясно, что ai+1 = ai или ai + 1; при этом a0 = 0 и an = k. Поэтому последовательности ai можно сопоставить символ Шуберта = (1,..., k), где j числа 1 1 <... < k n определяются условиями dim( R ) = j j и dim( R -1) = j - 1.

Л е м м а. Подпространство имеет имеет символ Шуберта тогда и только тогда, когда в нём можно выбрать векторы v1,..., vk так, что матрица, строками которой служат их координаты, имеет следующий вид:

... 1 0... 0 0 0... 0 0 0... 0 0 0...

... 0... 1 0... 0 0 0... 0 0 0...

... 0... 0 0... 1 0... 0 0 0... ;

..................................................................

... 0... 0 0... 0... 1 0...

§ 15. Определение и основные свойства здесь столбцы из нулей и одной единицы имеют номера 1,..., k;

элементы могут быть произвольными. При этом векторы v1,..., vk определены однозначно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Одномерное пространство R порожде1-но вектором v1 = (x1,..., x, 0,..., 0). Из условия dim( R ) = следует, что x = 0. Поэтому можно считать, что x = 1; в таком случае 1 вектор v1 определён однозначно.

В двумерном пространстве R вектор v1 можно дополнить до ба2-зиса вектором v2 = (y1,..., y, 0,..., 0). Из условия dim( R ) = следует, что y = 0. Поэтому можно считать, что y = 1. В таком случае 2 вектор v2 определён с точностью до замены его на вектор вида v2 + v1.

У этого вектора координата с номером 1 равна y +. Подходящим образом выбрав, можно добиться того, что эта координата обратится в нуль. Теперь вектор v2 определён однозначно. Дальнейшие рассуждения аналогичны.

Множество всех подпространств с заданным символом Шуберта называют открытой клеткой Шуберта и обозначают e(). Множество e() G(n, k) является образом открытого шара размерности d() = (1 - 1) + (2 - 2) +... + (k - k) при некотором гомеоморфизме.

Открытые клетки Шуберта попарно не пересекаются и покрывают всё многообразие Грассмана.

Множество e() характеризуется тем, что в принадлежащих ему подпространствах существуют базисы v1,..., vk, для которых vi = = (vi1,..., vi, 0,..., 0), где vi > 0. Поэтому замыкание e() этого i i множества характеризуется тем, что в принадлежащих ему подпространствах существуют базисы v1,..., vk, для которых vi = (vi1,..., vi, i 0,..., 0), где vi 0. Отметим, что базис v1,..., vk можно при этом i считать ортонормированным.

Наша цель заключается в том, чтобы построить непрерывное отображение : Dd() e() G(n, k), обладающее следующими свойствами:

– ограничение на int Dd() является гомеоморфизмом на открытую – клетку Шуберта e();

– множество (Dd()) содержится в объединении открытых клеток – Шуберта e(), для которых d() < d().

Применим индукцию по k. База индукции: k = 1. В этом случае символ Шуберта состоит из одного элемента 1 и d() = 1 - 1. Множество e() состоит из 1-мерных подпространств, порождённых ненулевыми векторами вида (v11,..., v1, 0,..., 0), где v1 0. Определим отобра1 жение : Dd() e() следующим образом. Отождествим шар Dd() 2 с полусферой x1 +... + x = 1, x 0, и сопоставим точке (x1,..., x ) 1 1-мерное подпространство, натянутое на вектор (x1,..., x, 0,..., 0).

216 Глава V. Многообразия Ясно, что ограничение отображения на int Dd() является гомеоморфизмом на e() и множество (Dd()) состоит из подпространств, натянутых на ненулевые векторы вида (x1,..., x, 0,..., 0); после умно1-жения на ненулевое число любой такой вектор можно привести к виду (x1,..., x, 0,..., 0), где x = 1 и 1 < 1.

1 Чтобы построить отображение при k 2, нам понадобится вспомогательное собственное ортогональное преобразование пространства Rn, переводящее данный единичный вектор u в другой единичный вектор v и оставляющее на месте все векторы, ортогональные u и v. Такое преобразование R(u, v) существует при u = -v; это преобразование един ственно. Легко проверить, что преобразование (u + v, x) R(u, v)x = x - (u + v) + 2(u, x)v 1 + (u, v) обладает требуемыми свойствами (в плоскости, натянутой на u и v, оно является вращением, поскольку переводит u в v, а v – в вектор, сим– метричный u относительно v). Таким образом, точка R(u, v)x непрерывно зависит от u, v, x. Ясно также, что если u, v, то проекции векторов x и R(u, v)x на совпадают.

Предположим, что требуемое отображение : Dd() e() построено для любого символа Шуберта = (1,..., k) длины k. Рассмотрим символ Шуберта = (1,..., k, k+1) длины k + 1 (как обычно, 1 1 < 2... < k < k+1 n). Вместо отображения : Dd( ) e( ) мы будем строить отображение (даже гомеоморфизм) : e() Dd( )-d() e( ). При этом отображение является композицией отображений id Dd( ) Dd() Dd( )-d() --- e() Dd( )-d() - e( );

- здесь d( ) - d() = k+1 - k - 1.

В подпространстве e() можно выбрать ортонормированный базис v1,..., vk, для которого vi = (vi1,..., vi, 0,..., 0), где vi 0.

i i Пусть e1,..., en – канонический базис пространства Rn. Положим – R = R(e, vk)... R(e, v2) R(e, v1).

k 2 Легко проверить, что R e = vi для всех i = 1,..., k. Действительно, i преобразования R(e, v1),..., R(e, vi-1) оставляют вектор e непо1 i-1 i движным, поскольку он ортогонален векторам v1,..., vi-1 и e,..., e. Преобразование R(e, vi) переводит e в vi. А преобразования i-1 i i R(e, vi+1),..., R(e, vk) оставляют вектор vi неподвижным, поскольi+1 k ку он ортогонален векторам vi+1,..., vk и e,..., e.

i+1 k § 16. Касательное пространство k+1-k-Отождествим шар D с множеством единичных векторов w = (w1,..., w, 0,..., 0), для которых w 0 и w = 0 при k+1 k+1 i i = 1,..., k. Отображение : e() Dd( )-d() e( ) определим следующим образом. Точке (v1,..., vk, w) сопоставим точку (v1,..., vk, R w).

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.