WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 49 |

Т е о р е м а 15.3. Пусть f : Mm Nn – гладкое отображение, – Xk Nn – подмногообразие. Предположим, что отображение f – является субмерсией в каждой точке множества f-1 (Xk). Тогда f-1(Xk) – подмногообразие в Mm размерности k + m - n.

– Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a f-1 (Xk). В окрестности точки f(a) можно выбрать локальные координаты x = (u, v), где u Rk и v Rn-k, так, что в этой окрестности множество Xk задаётся уравнением v = 0.

В точке a отображение f является субмерсией, поэтому согласно теореме 15.2 в окрестности точки a можно выбрать локальные координаты (x, y), где x Rn и y Rm-n, так, что в локальных координатах, выбранных в точках a и f(a), отображение f запишется в виде (x, y) x, т. е.

(u, v, y) (u, v). При этом множество f-1 (Xk) в выбранной координатной окрестности задаётся уравнением v = 0. Следовательно, множество f-1(Xk) является подмногообразием размерности k + m - n.

204 Глава V. Многообразия С помощью теоремы 15.3 можно доказывать, что некоторые подмножества многообразия являются подмногообразиями и тем самым доказывать, что они являются многообразиями.

П р и м е р. Сфера Sn является многообразием.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение f : Rn+1 R1, за2 данное формулой f(x1,..., xn+1) = x1 +... + xn+1. В любой точке множества f-1 (1) ранг матрицы Якоби J = (2x1,..., 2xn+1) равен 1, поэтому множество f-1 (1) = Sn является подмногообразием в Rn+1.

15.3. Гладкие разбиения единицы Пусть {U, A} – открытое покрытие многообразия Mn. Разбиение – единицы {, B}, подчинённое этому покрытию, называют гладким, если все функции гладкие.

Т е о р е м а 15.4. а) Для любого открытого покрытия {U, A} многообразия Mn существует подчинённое ему гладкое разбиение единицы {, B}.

б) Если множество индексов A не более чем счётно, то можно считать, что B = A и supp U для любого A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Начнём с того, что построим открытые множества Xk Mn (k = 1, 2,...) так, что множества Xk компактны, Xk Xk+1 и Mn = Xk. Для этого рассмотрим произвольную счётную k=базу пространства Mn и выберем в ней те открытые множества, замыкания которых компактны. Выбранные множества обозначим W1, W2,...

Эти множества покрывают всё многообразие Mn. Действительно, у любой точки x Mn есть окрестность U(x), замыкание которой компактно.

Множество U(x) можно представить в виде объединения множеств базы;

ясно, что замыкания всех этих множеств компактны. Поэтому x Wi для некоторого i.

Положим X1 = W1. Компактное множество X1 покрыто открытыми множествами {Wi}, поэтому X1 Wi... Wi, где i1 < i2 <... < ip.

1 p Положим X2 = W1 W2 Wi... Wi. Множества X3, X4,... строятся 1 p аналогично.

Построим теперь открытые множества V,1 V,2 V,3 следующим n образом. Пусть Dr = {x Rn | x < r}. Для каждой точки z Xk \ Xk-выберем открытое множество Vz,3 так, что Vz,3 U для некоторого, n Vz,3 Xk+1 и Vz,3 Xk-2 = ; кроме того, существует карта z : Vz,3 D3.

-1 n Открытые множества Vz,1 = z (D1) покрывают компактное множество Xk Xk+1, поэтому существует конечный набор множеств Vz,1, покрывающий Xk Xk+1. Рассмотрим объединение по k всех таких наборов § 15. Определение и основные свойства и обозначим полученные множества {V,1}; рассмотрим также соответствующие им множества V,2 и V,3. Отметим, что множество индексов {} не более чем счётно; кроме того, множества {V,1} покрывают Mn и при этом покрытие {V,3} локально конечно и вписано в покрытие {U}.

Легко проверить, что функция, которая равна e-1/t при t > 0 и 0 при t 0, является гладкой. Поэтому функция e-1/(1-t) при t < 1;

(t) = 0 при t тоже является гладкой, а значит, функция = ( x 2 4) является (x) / гладкой функцией в Rn; эта функция положительна во всех точках n открытого шара D2 и равна нулю вне его.

Положим (x)) для x V,3;

( g (x) = 0 для x V, и рассмотрим функцию h(x) = g (x). Функция h гладкая, потому что покрытие {V,3} локально конечно. Множества {V,1} покрывают всё многообразие Mn и g (x) > 0, если x V,1. Поэтому h(x) > 0 для любой точки x Mn. Функции = g h образуют требуемое разбиение едини/ цы, поскольку supp V,3 U.

б) Рассмотрим открытое покрытие U1, U2,... Мы построили разбиение единицы 1, 2,... так, что supp i Uj для некоторого j = j(i).

Определим как сумму тех k, для которых supp k Ui и supp k Uj i при j < i. Тогда каждая функция k входит в качестве слагаемого ровно в одну функцию и supp Ui.

i i 15.4. Теорема Сарда Чтобы сформулировать теорему Сарда, нам понадобится понятие множества меры нуль. Говорят, что множество X Rn (n 1) имеет меру нуль, если для любого > 0 существует покрытие X счётным множеством кубов, сумма объёмов которых меньше. Кубы могут быть как открытыми, так и замкнутыми; вместо кубов можно брать шары или параллелепипеды. Будем считать, что в R0 меру нуль имеет только пустое множество.

Пусть Mn – многообразие. Говорят, что множество X Mn имеет ме– ру нуль, если существует покрытие многообразия Mn счётным множеством карт i : Ui Rn, для которого каждое множество i (X Ui) Rn 206 Глава V. Многообразия имеет меру нуль. Корректность этого определения вытекает из следующих двух лемм.

Л е м м а 1. Объединение счётного набора множеств меры нуль в Rn является множеством меры нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X = Xi Rn и каждое множеi=ство Xi имеет меру нуль. Покроем Xi счётным множеством кубов, сумма объёмов которых меньше 2i. В результате X будет покрыто счётным / множеством кубов, сумма объёмов которых меньше (1 2 + 1 4 + 1 8 + / / / +...) =.

Л е м м а 2. Пусть f : Rn Rn – гладкое отображение, X – Rn – множество меры нуль. Тогда f(X) Rn – множество меры – – нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство Rn можно представить в виде счётного объединения кубов, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда множество X содержится в кубе In. Напомним, что fi f(u) - f(v) max (x) u - v xj x[u,v] fi (это следует из равенства (1) на с. 199). Пусть K = max (x). Тогда xj xIn если u, v In, то f(u) - f(v) K u - v. Поэтому образ при отображении f шара радиуса r, расположенного в In, содержится в шаре радиуса Kr. Это означает, что если множество X покрыто шарами, сумма объёмов которых меньше, то множество f(X) можно покрыть шарами, сумма объёмов которых меньше Kn.

У п р а ж н е н и е 4. а) Пусть m < n и Mm Nn – подмногообразие.

– Докажите, что множество Mm Nn имеет меру нуль.

б) Пусть m < n и f : Mm Nn – гладкое отображение. Докажите, что – множество f(Mm) Nn имеет меру нуль.

При доказательстве теоремы Сарда нам понадобится следующее утверждение.

Т е о р е м а 15.5 (Фубини). Пусть C Rn – такое компактное – множество, что любое его сечение гиперплоскостью вида xn = a имеет меру нуль. Тогда C имеет меру нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если n = 1, то по определению C =. Поэтому будем считать, что n 2. Множество C компактно, поэтому C Rn-1 [a, b]. Для t [a, b] определим множество Ct Rn-1 следующим образом:

Ct {t} = C (Rn-1 {t}) = C {(x1,..., xn) Rn | xn = t}.

§ 15. Определение и основные свойства По условию множество Ct Rn-1 имеет меру нуль. Фиксируем > и покроем Ct открытыми (n - 1)-мерными кубами Itn-1, Itn-1,..., сумма,1, объёмов которых меньше. Множество Jtn-1 = Itn-1 открыто, поэто,j j=му множество C \ (Jtn-1 [a, b]) замкнуто, а значит, оно компактно. Это позволяет выбрать = (t) > 0 так, что для всех (t -, t + ) = It множество C покрыто множеством Jtn-1 It. Действительно, функция |xn - t| достигает на C \ (Jtn-1 It) своего минимума ; этот минимум положителен, поскольку для x C функция |xn - t| обращается в нуль лишь в том случае, когда x Ct. Число обладает требуемым свойством, так как если It и x C, то |xn - | <, поэтому x C \ (Jtn-1 [a, b]), а значит, x (Jtn-1 [a, b]) C Jtn-1 It.

Открытые множества It покрывают отрезок [a, b]. Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие It,..., It и заменим каждое открытое 1 k множество It = (, ) на отрезок Ii = [, ] [a, b]. Кубы Itn-1 Ii поi,j i крывают множество C, причём сумма их объёмов не превосходит L, где L – сумма длин отрезков Ii.

– Л е м м а 3. Пусть отрезок I = [a, b] покрыт конечным числом отрезков Ii = [ai, bi] I. Тогда существует подпокрытие, сумма длин отрезков которого меньше 2(b - a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что покрытие отрезками I1,..., In минимально, т. е. после выбрасывания любого отрезка Ii оставшиеся отрезки уже не покрывают I. Упорядочим отрезки I1,..., In так, что a1 a2... an. Тогда из минимальности следует, что b1 b2... bn. Далее, из этих неравенств и минимальности следует, что bk < ak+2, поскольку иначе отрезки [ak, bk] и [ak+2, bk+2] полностью покрывали бы отрезок [ak+1, bk+1]. Следовательно, как сумма длин отрезков I1, I3,..., так и сумма длин отрезков I2, I4,... меньше b - a.

Лемма 3 показывает, что покрытие отрезка [a, b] отрезками I1,..., Ik можно выбрать так, что L < 2(b - a). Это завершает доказательство теоремы Фубини.

Пусть f : Mm Nn – гладкое отображение. Точку x Mm называют – критической, если rank f(x) < min(m, n). В противном случае точку x называют регулярной. Точку y Nn называют критическим значением, если y = f(x), где x – некоторая критическая точка.

– Т е о р е м а 15.6 (Сард [118]). Множество критических значений любого гладкого отображения многообразий имеет меру нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуемое утверждение достаточно доказать для гладкого отображения f : U Rn, где U Rm – открытое множе– 208 Глава V. Многообразия ство. Применим индукцию по m. При m = 0 утверждение очевидно: если n = 0, то множество критических значений пусто, а если n 1, то подмножество Rn, состоящее из одной точки, имеет меру нуль. Будем предполагать, что теорема Сарда верна для гладких отображений V Rn, где V Rm-1.

Пусть C – множество критических точек отображения f : U Rn, – Ci – множество всех точек x U, в которых обращаются в нуль все – частные производные отображения f порядка не выше i. Ясно, что C C1 C2...

Ш а г 1. Множество f(C \ C1) имеет меру нуль.

Если n = 1, то C1 = C. Поэтому будем считать, что n 2. Пусть fi c C \ C1. Тогда (c) = 0 для некоторых i, j. Можно считать, что xj i = j = 1. Рассмотрим отображение h: U Rm, заданное формулой h(x1,..., xm) = (f1 (x), x2,..., xm).

f(c), xЯсно, что матрица Якоби отображения h в точке c равна 0 I где I – единичная матрица. Поэтому в точке c к отображению h примени– ма теорема об обратной функции. Это означает, что существует окрестность V точки c, ограничение на которую отображения h является гомеоморфизмом (рис. 93). Положим g = fh-1; тогда g(x1,..., xm) = (x1, g2 (x),..., gn (x)).

В частности, g отображает множество ({t} Rm-1) h(V) в {t} Rn-1;

пусть gt – ограничение отображения g на это множество. Легко про– верить, что точка множества ({t} Rm-1) h(V) является критической x1 yg h-f h V Rm Rn Рис. 93. Построение отображения g § 15. Определение и основные свойства точкой отображения gt тогда и только тогда, когда она является критической точкой отображения g. Действительно, 1 gi t = gi.

xj xj Согласно предположению индукции множество критических точек отображения gt имеет меру нуль в {t} Rn-1. Поэтому возникает желание применить теорему Фубини и показать, что мера множества h(V C) равна нулю (а это означает, что мера образа множества V C при отображении f равна нулю). Непосредственно применить теорему Фубини нельзя, потому что множество f(V C) не компактно. Но множество V C можно представить в виде объединения счётного объединения компактных множеств, поэтому множество f(V C) тоже можно представить в виде объединения счётного объединения компактных множеств.

К каждому из этих множеств можно применить теорему Фубини и получить желаемый результат.

Итак, у каждой точки c C \ C1 есть такая окрестность V, что множество f((C \ C1) V) f(C V) имеет меру нуль. Множество C \ C1 можно покрыть счётным набором таких окрестностей, поэтому мера множества f(C \ C1) равна нулю.

Ш а г 2. Множество f(Ck \ Ck-1) имеет меру нуль при любом k 1.

Доказательство аналогично шагу 1. Пусть c Ck \ Ck-1. Тогда k+1 fi (c) = 0 для некоторых i, j1,..., jk+1. Можно считать, что xj1... xjk+k fi = j1 = 1. Пусть w(x) = (x). Тогда w(c) = 0, поскольку xj2... xjk+c Ck, и w k+1 fi (c) = (c) = 0.

x1 xj1... xjk+Рассмотрим отображение h: U Rm, заданное формулой h(x1,..., xm) = (w(x), x2,..., xm).

Дальше действуем точно так же, как и на шаге 1. Здесь нужно будет воспользоваться тем, что любая точка множества h ((Ck \ Ck+1) V) ({t} Rm-1) является критической точкой для отображения g, а значит, и для отображения gt.

Ш а г 3. Множество f(Ck) имеет меру нуль при достаточно большом k (например, при k > (m n) - 1).

/ 210 Глава V. Многообразия Достаточно рассмотреть случай, когда U = (0, 1)m, причём гладкое отображение f определено в некоторой окрестности куба [0, 1]m. Действительно, любое открытое множество U можно покрыть счётным набором открытых кубов, обладающих таком свойством.

Пусть c Ck U. В таком случае в разложении Тейлора для f(c + h) отсутствуют члены порядка ниже k + 1. Поэтому существует такая константа K, что если c + h U, то f(c + h) - f(c) K h k+1.

Разобьём открытый куб U = (0, 1)m на lm кубов с ребром 1 l и рас/ смотрим лишь те из них, которые пересекаются с Ck. Образ при отображении f любого такого куба содержится в шаре радиуса Kdk+1, где d = n l – максимальное расстояние между точками куба. Поэтому / – множество f(U Ck) можно покрыть шарами, сумма объёмов кото рых не превосходит K lm (dk+1)n = K lm-(k+1)n. Если m < (k + 1)n, т. е.

k > (m n) - 1, то lim lm-(k+1)n = 0.

/ l 15.5. Важный пример: многообразия Грассмана Рассмотрим множество G(n, k), элементами которого служат k-мерные подпространства в Rn. Топология на этом множестве вводится следующим образом. Пусть v1,..., vk Rn – линейно независимые векторы.

– Наборы (v1,..., vk) образуют открытое подмножество X в Rn...

... Rn = Rnk. На множестве X топология вводится естественным образом. Множество G(n, k) получается из множества X факторизацией по следующему отношению эквивалентности: два набора векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда подпространства, порождённые векторами этих наборов, совпадают. Топология на G(n, k) вводится как топология факторпространства. Иными словами, множество U G(n, k) открыто тогда и только тогда, когда открыто множество всех базисов k-мерных подпространств, входящих в U.

Факторизацию множества X можно описать и как факторизацию по действию группы GLk А именно, сопоставим набору (v1,..., vk) (R).

v11... v1n.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.