WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 49 |

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Cf – про– странство, которое получается в результате приклеивания X I к Y по отображению f Y X {0} = X - Y (рис. 92). Пространство Cf называют цилиндром отображения f. f(x) Тождественное отображение Cf Cf гомотопно отображению g : Cf Y Cf, приРис. 92. Цилиндр отобрачём гомотопия тождественна на Y. Поэтому жения пространства Cf и Y гомотопически эквивалентны.

i Отображение f представляется в виде композиции отображений X g i - Cf - Y, где i – естественное вложение X = X {1} Cf. Гомомор– физмы i g и g – изоморфизмы, поэтому i – изоморфизм.

– – Запишем точную последовательность пары (Cf, X):

p i i... n (X) - n (Cf) - n (Cf, X) - n-1 (X) - n-1 (Cf)...

196 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Покажем, что n(Cf, X) = 0. Действительно, Ker p = Im i = n (Cf), поэтому p = 0. Кроме того, Im = Ker i = 0, поэтому = 0, т. е.

n (Cf, X) = Ker. Но Ker = Im p = 0.

Согласно теореме 14.8 пространство X является деформационным ретрактом Cf, т. е. тождественное отображение Cf Cf гомотопно отображению r : Cf X Cf, причём гомотопия неподвижна на X. Положим f = rj : Y X. Тогда f f = rjgi r(idC )i = idX и ff = girj g(idC ) j = f f = idY.

Глава V Многообразия § 15. Определение и основные свойства Топологическое пространство X со счётной базой называют топологическим многообразием, если оно хаусдорфово и любая точка x X обладает открытой окрестностью, гомеоморфной открытому множеству в Rn. (Пример на с. 132 показывает, что бывают нехаусдорфовы пространства, любая точка которых обладает открытой окрестностью, гомеоморфной открытому множеству в евклидовом пространстве.) Из теоремы Брауэра об инвариантности размерности (теорема 4.на с. 72) следует, что размерность локально евклидова пространства определена однозначно. Действительно, предположим, что U x и V x – открытые множества в X, гомеоморфные открытым подмно– жествам в Rn и в Rm, соответственно, причём n = m. Тогда открытое множество U V гомеоморфно как открытому множеству в Rn, так и открытому множеству в Rm, а это противоречит теореме об инвариантности размерности.

Пусть Mn – топологическое многообразие размерности n. Пару – (U, ), где U Mn – связное открытое множество и : U (U) – – – гомеоморфизм на открытое подмножество в Rn, будем называть картой, или локальной системой координат. Если при этом (x) = 0, то будем говорить, что (U, ) – локальная система координат с началом – в точке x.

Гладкая структура на топологическом многообразии M – это се– мейство A локальных систем координат {(U, ) | A}, обладающее следующими свойствами:

1) множества U покрывают M;

2) если U U =, то -1 – гладкое отображение;

– 3) семейство A максимально в том смысле, что если (U, ) – локаль– ная система координат и все отображения -1 и -1 (U U = ) гладкие, то (U, ) A.

Чтобы задать гладкую структуру на M, достаточно задать произвольное семейство A0 локальных систем координат, обладающее свойствами 198 Глава V. Многообразия 1 и 2. Действительно, свойство 3 можно принять за определение множества локальных систем координат, которыми нужно пополнить семейство A0. Набор карт, покрывающих M и обладающих свойством 2, называют атласом.

Топологическое многообразие M с заданной гладкой структурой называют гладким многообразием, или просто многообразием. (Негладкие многообразия встречаются в математике гораздо реже, чем гладкие.) П р и м е р. На топологическом пространстве RPn можно ввести структуру многообразия.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство RPn можно покрыть открытыми множествами Ui = {(x1 :... : xn+1) RPn : xi = 0}, i = 1,..., n + 1.

Определим гомеоморфизм i : Ui Rn формулой x1 xi-1 xi+1 xn+i (x1 :... : xn+1) =,...,,,...,.

xi xi xi xi Требуется доказать, что отображение j-1, определённое на множестве i i (Ui Uj), является гладким. Не теряя общности, можно считать, что i = 1 и j = 2. Тогда множество Ui Uj задаётся неравенством x1x2 = 0.

Пусть x2 x3 xn+1 (x1 :... : xn+1) =,,..., = (y1, y2,..., yn).

x1 x1 xТогда 2-1 (y1, y2,..., yn) = 2 (x1 :... : xn+1) = x1 x3 xn+1 1 y2 yn =,,..., =,,...,.

x2 x2 x2 y1 y1 yПо условию y1 = 0, поэтому отображение 2-1 гладкое.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что пространство CPn является многообразием.

15.1. Многообразия с краем Чтобы получить определение многообразия с краем, нужно считать картами также и гомеоморфизмы : U (U), где (U) – открытое под– множество в топологическом пространстве Rn ={(x1,..., xn) Rn |x1 0}.

+ При определении гладкой структуры на многообразии с краем мы будем предполагать, что свойство 2 таково:

§ 15. Определение и основные свойства 2) если U U =, то существуют взаимно обратные гладкие отоб ражения f и f открытых множеств в Rn, ограничениями которых являются отображения -1 и -1.

Пусть Mn – многообразие с краем. Будем говорить, что x Mn – – – точка края, если у неё есть такая карта : U (U) Rn, что + (x) Rn = {(x1,..., xn) Rn | x1 = 0};

+ здесь имеется в виду гладкая карта, т. е. карта из гладкой структуры.

Краем многообразия Mn будем называть множество всех точек края.

Будем говорить, что x Mn – внутренняя точка, если у неё есть такая – карта : U (U), что (U) – открытое множество в Rn; здесь снова – имеется в виду гладкая карта. Чтобы убедиться в том, что внутренняя точка многообразия не может быть точкой края, нам понадобится следующее утверждение.

Т е о р е м а 15.1 (об обратной функции). Пусть f : U V – глад– кое отображение открытых множеств в Rn, причём в некоторой fi точке x U определитель матрицы Якоби отличен от нуля.

xj Тогда у точки x есть такая окрестность U U, что множество f(U) открыто в Rn и отображение f|U : U f(U) является гомео морфизмом. При этом отображение (f|U)-1 является гладким.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем отображение f в виде f = = (f1,..., fn), где f1,..., fn – функции. Пусть B – некоторое выпуклое – – множество, на котором определено отображение f, и y, z B. Рассмотрим на отрезке [0, 1] функцию i (t) = fi (ty + (1 - t)z). Ясно, что di fi fi (y) - fi (z) = i (1) - i (0) = (ti) = (wi) (yi - zi), (1) dti xj где ti (0, 1) и wi = tiy + (1 - ti)z B.

Рассмотрим теперь функцию от n2 переменных J(w1,..., wn) = fi = det (wi), где w1,..., wn U. Эта функция непрерывна и xj J(x,..., x) = 0. Поэтому существует такое число, что если точки n w1,..., wn принадлежат шару Dx,, то J(w1,..., wn) = 0. Это неравен n ство и формула (1) показывают, что если y, z Dx, и y = z, то f(y) = f(z).

Таким образом, ограничение отображения f на компактное множество n Dx, является взаимно однозначным отображением на некоторое множество в хаусдорфовом пространстве Rn. Такое отображение является гомеоморфизмом.

n Пусть U = int Dx,. Мы уже установили, что отображение f|U : U f(U) является гомеоморфизмом. Докажем теперь, что множество f(U) 200 Глава V. Многообразия открыто в Rn. Пусть u U – произвольная точка. Требуется доказать, что – открытый шар достаточно малого радиуса с центром f(u) целиком лежит n в f(U). На компактном множестве Dx, функция (y) = f(y) - f(u) достигает минимума. Этот минимум положителен, поскольку n f(u) f(Dx,). Поэтому можно выбрать положительное число так, n что f(y) - f(u) > 2 для всех y Dx,. Покажем, что открытый шар радиуса с центром f(u) принадлежит f(U). Действительно, пусть n f(u) - z <. Тогда если y Dx,, то f(y) - z f(y) - f(u) - f(u) - z > 2 - =.

n Поэтому на множестве Dx, гладкая функция (w) = f(w) - z 2 достигает минимума во внутренней точке (на границе значение этой функции больше 2, а в точке u значение меньше 2). Пусть a – точка минимума – n функции на множестве Dx,. Тогда fi 0 = = 2 (a) (fi (a) - zi).

xj xj fi n Как мы уже знаем, если a Dx,, то J(a,..., a) = det (a) = 0. По xj этому z = f(a) f(U), что и требовалось.

Остаётся проверить последнее утверждение: отображение (f|U)- fi является гладким. Если y U, то det (y) = 0, поэтому на открытом xj множестве U отображение f-1 имеет гладкие частные производные.

Из этого следует, что отображение f-1 на множестве U гладкое.

С л е д с т в и е. Точка многообразия Mn с краем является внутренней тогда и только тогда, когда она не является точкой края.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если точка многообразия Mn одновременно является как внутренней, так и точкой края, то существуют гладкие взаимно обратные отображения f : U V и f : V U открытых множеств в Rn, причём выполняются следующие свойства:

1) 0 U, 0 V и f(0) = g(0) = 0;

2) в U есть такое открытое подмножество U, содержащее точку 0, что f(U ) Rn.

+ Из того, что у отображения f в окрестности точки 0 есть гладкое fi обратное отображение, следует, что det (0) = 0. Поэтому у точки xj есть такая окрестность U U, что множество f(U) открыто в Rn и отображение f|U : U f(U) является гомеоморфизмом. Следователь но, f(U U ) – открытая Rn окрестность точки 0. Но это противоречит – тому, что f(U U ) f(U ) Rn.

+ § 15. Определение и основные свойства З а м е ч а н и е. Можно доказать более сильное утверждение: открытая в Rn окрестность точки 0 не гомеоморфна открытому + в Rn множеству. Для n = 2 это доказано при доказательстве теоремы 11.1 на с. 155. В общем случае для доказательства этого утверждения требуется многомерный аналог теоремы Жордана.

Компактное многообразие без края называют замкнутым.

Подмножество N Mn называют k-мерным подмногообразием, если для любой точки x N найдётся такая карта (U, ), что U N = = -1 Rk (U), где Rk стандартно вложено в Rn (т. е. рассматриваются точки, последние n - k координат которых равны 0).

У п р а ж н е н и е 2. а) Пусть Mn – многообразие без края. Докажи– те, что его подмногообразие является многообразием без края.

б) Пусть Mn – многообразие с краем. Докажите, что его подмногооб– разие может быть либо многообразием с краем, либо многообразием без края.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что край многообразия является многообразием без края.

З а д а ч а 15.1. Пусть Mn – связное многообразие, Nn – его под– – многообразие (размерности многообразий одинаковые). Докажите, что если многообразие Nn замкнутое, то Nn = Mn.

15.2. Отображения многообразий Пусть Mm и Nn – многообразия с гладкими структурами A = – = {(U, )} и B = {(V, )}. Отображение f : Mm Nn называют гладким, если все отображения f-1 являются гладкими. Отображе ние f-1 определено на открытом множестве -1 (U f-1(V)) Rm;

оно является отображением в Rn.

Если f : Mm Nn и g : Nn Mm – гладкие взаимно обратные отоб– ражения, то отображение f называют диффеоморфизмом, а многообразия Mm и Nn называют диффеоморфными. Из теоремы об обратной функции следует, что если многообразия Mm и Nn диффеоморфны, то m = n.

Пусть f : Mm Nn – гладкое отображение многообразий без края, – x Mm. Выбрав локальные системы координат в точках x и f(x), можно fi рассмотреть матрицу Якоби (x). Ранг этой матрицы не зависит xj от выбора локальных систем координат. Этот ранг называют рангом отображения f в точке x; мы будем обозначать его rank f(x).

Пусть f : Mm Nn – гладкое отображение. Если rank f(x) = m, – то отображение f называют иммерсией, или погружением, в точке x, 202 Глава V. Многообразия а если rank f(x) = n, то отображение f называют субмерсией. Отображение f, которое во всех точках x Mm является иммерсией (субмерсией), называют иммерсией (субмерсией). Отображение f, которое является погружением и гомеоморфно отображает Mm на f(Mm) Nn называют вложением.

Т е о р е м а 15.2. а) Гладкое отображение f : Mm Nn, являющееся иммерсией в некоторой точке a, в окрестности этой точки устроено как стандартное вложение Rm Rm Rn-m. Чтобы привести иммерсию локально к такому виду, достаточно изменить систему координат в образе, т. е. в окрестности точки f(a).

б) Гладкое отображение f : Mm Nn, являющееся субмерсией в некоторой точке a, в окрестности этой точки устроено как стандартная проекция Rn Rm-n Rn. Чтобы привести субмерсию локально к такому виду, достаточно изменить систему координат в прообразе, т. е. в окрестности точки a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (Ua, ) и (Vf(a), ) – локальные си– стемы координат с началами в точках a Mm и f(a) Nn; при этом будем считать, что f(Ua) Vf(a). Запишем отображение f в локальных координатах, т. е. рассмотрим отображение f = f-1. Для отображения f мож f i но рассмотреть матрицу Якоби J = (x). Если f – иммерсия, то ранг – xj матрицы J в начале координат равен m, а если f – субмерсия, то ранг – равен n. Поэтому для иммерсии можно выбрать i1,..., im {1,..., n}, а для субмерсии можно выбрать j1,..., jn {1,..., m} так, что в начале координат f f f f 1 i1 i...

...

xj1 xjn.x1 xm.

det............... = 0 или det............... = 0.

f f f f n n im im......

xj1 xjn x1 xm Не теряя общности, будем считать, что ik = k (соответственно, jk = k).

Матрицу Якоби J можно дополнить до квадратной матрицы вида J1 J2 J1 или, где I – единичная матрица порядка |n - m|.

– 0 I J2 I Существует отображение F, матрица Якоби которого как раз и является такой матрицей. А именно, в случае иммерсии полагаем F (x1,..., xm, y1,..., yn-m) = = (f (x),..., f (x), f (x) + y1,..., f (x) + yn-m), 1 m m+1 n § 15. Определение и основные свойства а в случае субмерсии полагаем F (x1,..., xm, y1,..., ym-n) = (f (x, y), y1,..., ym-n);

сокращённо эти отображения можно записать в виде F (x, y) = f (x) + (0, y) и F (x, y) = (f (x, y), y).

В начале координат определитель матрицы Якоби отображения F отличен от нуля, поэтому согласно теореме об обратной функции в некото рой окрестности начала координат у отображения F есть гладкое обрат ное отображение F-1.

В случае иммерсии заменим отображение на F-1 (иными словами, мы изменяем локальную систему координат в образе отображения f).

В новых локальных координатах отображение f устроено следующим образом:

f- x - f (x) = F (x, 0) F-1 (x, 0).

-- В случае субмерсии заменим отображение на F (иными словами, мы изменяем локальную систему координат в прообразе отображения f).

В новых локальных координатах отображение f устроено следующим образом:

(f (x, y), y) F-1(x, y) f-1 f (x, y), т. е. (x, y) x, где x = f (x, y). Остаётся заметить, что в малой окрестности начала координат при фиксированном y отображение x f (x, y) локально эпиморфно, поскольку определитель матрицы Якоби этого отображения отличен от нуля.

С помощью теоремы 15.2 легко доказывается следующее утверждение.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.