WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 49 |

p i... - n (S1) - n (S3) - n (S2) - n-1 (S1) -...

Если n 3, то n (S1) = n-1 (S1) = 0, поэтому p : n (S3) n(S2) – – изоморфизм.

Обсудим теперь более подробно, как геометрически устроено расслоение Хопфа; в частности, как расположены его слои в S3. Представим CP1 в виде объединения двух 2 замкнутых множеств D1 U1 и D2 U2, - = заданных неравенствами a b и a b.

2 = Гомеоморфизмы hi : p-1(Di ) Di Sзададим теми же самыми формулами.

Пространство расслоения S3 получается в результате склейки двух полното2 Рис. 84. Меридиан и параллель рий D1 S1 и D2 S1 по гомеоморфизму их краёв. Меридиан полнотория D1 S1 задаётся уравнением = const, параллель задаётся уравнением - = const (рис. 84); здесь предполагается, что меридиан и параллель § 14. Расслоения и гомотопические группы расположены на крае, т. е. a b = 1. Слой расслоения задаётся уравнени/ ями - = const, a b = const.

/ Полноторие D1 S1 можно преобразовать так, чтобы его меридианы по-прежнему задавались уравнениями = const, а параллели задавались уравнениями = const. Для этого нужно разрезать полноторие меридиональной плоскостью, а затем повернуть на 2 верхнюю часть разреза, оставляя нижнюю часть разреза неподвижной (рис. 85). Правильно выбрав направление поворота, получим гомеоморфизм полнотория на себя, после применения которого параллели будут задаваться уравнениями = const (рис. 86).

При этом слои окажутся зацепленными так, как показано на рис. 87.

Для второго полнотория D2 S1 Рис. 85. Гомеоморфизм полнотория построим аналогичный гомеомор2 физм. Края полноторий D1 S1 и D2 S1 после этого нужно склеить, отождествив точки с одинаковыми координатами и. При этом меридианы одного полнотория отождествляются с параллелями другого полнотория (рис. 88).

З а м е ч а н и е. Для выяснения взаимного расположения слоёв расслоения Хопфа можно также воспользоваться тем, что слои представляют собой сечения сферы S3 комплексными прямыми z = w, где, C.

З а д а ч а 14.10. Рассмотрим в пространстве вещественных матриц x1 x2 2 2 сферу, заданную уравнением x1 + x2 + x3 + x4 = 1. Докажите, x3 xчто вырожденные матрицы разбивают эту сферу на два полнотория.

= - = = Рис. 86. Образ параллели Рис. 87. Зацепле- Рис. 88. Склейка при гомеоморфизме ние Хопфа полноторий 190 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

З а д а ч а 14.11. Пусть p : S3 CP1 – расслоение Хопфа. Докажи– те, что D4 p CP1 = CP2 (здесь подразумевается, что S3 = D4).

З а д а ч а 14.12. Докажите, что не существует ретракции r : CP CP1. (Здесь подразумевается, что CP1 вложено в CP2 естественным образом.) Расслоение Хопфа S3 S2 со слоем S1 имеет многомерные обобщения. Одно из этих обобщений таково. Представим S2n+1 как единичную сферу в R2n+2 Cn+1 и отождествим точки (z1,..., zn+1) S2n+= для всех C, || = 1. В результате получим отображение S2n+1 CPn, которое является расслоением со слоем S1. Кроме того, вместо комплексных чисел можно взять кватернионы H. Тогда получим расслоение S4n+3 HPn со слоем S3. Например, при n = 1 получим расслоение S7 S4 со слоем S3. Все эти расслоения тоже называют расслоениями Хопфа.

14.4. Относительные гомотопические группы Для пары пространств X A с отмеченной точкой a0 A при n можно определить n-мерный относительный сфероид как отображение f : (Dn, Dn, s0) (X, A, a0); здесь имеется в виду отображение троек пространств, т. е. предполагается, что f(Dn) A и f(s0) = a0. Относительные сфероиды f0 и f1 называют гомотопными, если существует связывающая их гомотопия ft, для которой ft (Dn) A и ft (s0) = a0.

Множество n (X, A, a0), n 1, состоит из классов эквивалентности n-мерных относительных сфероидов. На множестве 1 (X, A, a0) нельзя задать структуру группы. Дело в том, что элементы множества 1 (X, A, a0) представляются путями с началом a0 и концом a A. Из двух таких путей нельзя естественным образом составить путь с началом a(рис. 89). Хотя 1 (X, A, a0) не группа, в этом множестве есть выделенный элемент – класс постоянного отображения. Этот элемент мы будем – называть нулевым.

xA aa0 aX xРис. 89. Элементы мно- Рис. 90. Композиция отжества 1 (X, A, a0) носительных сфероидов § 14. Расслоения и гомотопические группы При n 2 на множестве n(X, A, a0) можно задать структуру группы.

Для этого удобно использовать описание относительных сфероидов как отображений куба In = {(x1,..., xn) | 0 xi 1}. Но при этом Dn мы отождествим не с самим кубом In, а с факторпространством In (In \ In-1), где In-1 задаётся уравнением xn = 0. Тогда относитель/ ный сфероид – это отображение f : In X, для которого f(In) A – и f(In \ In-1) = a0.

Зададим композицию относительных сфероидов f, g : In X следующей формулой:

f(2x1, x2,..., xn) при 0 x1 ;

fg(x1, x2,..., xn) = g(2x1 - 1, x2,..., xn) при 1 x1 1.

На рис. 90 жирной линией изображено множество точек, которые отображение fg переводит в отмеченную точку a0 (для n = 2).

При n = 2 нельзя воспользоваться той конструкцией, которая применялась при доказательстве коммутативности группы n (X), потому что относительный сфероид f : I2 X не обязательно отображает I1 I2 в отмеченную точку (на рис. 90 множество I1 изображено пунктиром). Но при n 3 эту конструкцию можно применить, воспользовавшись тем, что относительный сфероид f : In X отображает In-1 в отмеченную точку.

Следующее утверждение часто используется при работе с относительными гомотопическими группами.

Т е о р е м а 14.4. Относительный сфероид f : (Dn, Dn, s0) (X, A, a0) представляет нулевой элемент группы n (X, A, a0) тогда и только тогда, когда существует гомотопия ht, связывающая отображение h0 = f с отображением h1, для которого h1 (Dn) A, и при этом образы точек Sn-1 неподвижны при гомотопии.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует указанная го мотопия ht. Рассмотрим гомотопию gt (s) = h1 (1 - t)s + ts0. Эта гомотопия связывает h1 с постоянным отображением Dn a0. Условие gt (Sn-1) A выполняется, потому что h1 (Dn) A.

Предположим теперь, что существует гомотопия ft : (Dn, Dn, s0) (X, A, a0), связывающая отображение f0 = f с постоянным отображением Dn a0. Требуется построить гомотопию ht, неподвижную на Sn-1.

Положим s f при 0 s < 1 - t 2;

/ t 1 - t / ht (s) = s f при 1 - t 2 s 1.

/ 2-2 s s 192 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Ясно, что h0 = f0 = f; h1 (Dn) A; если s Sn-1, то ht (s) = f0 (s).

Вложение i : AX индуцирует гомоморфизм i : n (A, a0) n (X, a0).

Абсолютный сфероид (Dn, s0) (X, a0) можно рассматривать как относительный сфероид (Dn, Sn-1, s0) (X, A, a0), потому что Sn-1 отображается в a0 A. При этом гомотопным абсолютным сфероидам соответствуют гомотопные относительные сфероиды, поэтому получаем гомоморфизм p : n (X, a0) n (X, A, a0). Наконец, можно определить гомоморфизм : n (X, A, a0) n-1 (A, a0), сопоставив относительному сфероиду (Dn, Sn-1, s0) (X, A, a0) его ограничение на (Sn-1, s0); непосредственно из определения гомотопии относительных сфероидов видно, что гомотопным относительным сфероидам сопоставляются гомотопные абсолютные сфероиды.

Т е о р е м а 14.5 (точная последовательность пары). Последовательность гомоморфизмов p i... n (A, a0) - n (X, a0) - n (X, A, a0) - n-1 (A, a0)...

точна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Im i Ker p. Согласно теореме 14.4 относительный сфероид, для которого f(Dn) A, представляет нулевой элемент группы n (X, A, a0).

2) Ker p Im i. Пусть для отображения f : In X, которое переводит In-1 в A и переводит In \ In-1 в a0, существует гомотопия F : In I X в классе относительных сфероидов, связывающая его с постоянным отображением в a0. Сечение куба In+1 = In I гиперплоскостью txn + (1 - t)xn+1 = 0, t [0, 1], гомеоморфно In. Рассмотрим ограничение отображения F на это сечение. В результате получим гомотопию абсолютных сфероидов. При t = 0 получаем грань xn+1 = 0, ограничение на которую совпадает с f. При t = 1 получаем грань xn = 0, которая по условию отображается в A.

3) Im p Ker. Абсолютный сфероид f : Dn X отображает Dn в a0.

4) Ker Im p. Рассмотрим относительный сфероид f : In X, для которого ограничение на In-1 гомотопно постоянному отображению в a(в классе отображений In-1 A). Пусть gt : In-1 A – гомотопия, свя– зывающая отображение f|In-1 с постоянным отображением. Рассмотрим гомотопию ft : In X, которая совпадает с gt на In-1 и отображает In \ In-1 в a0. Согласно лемме Борсука эту гомотопию можно продолжить до гомотопии отображения f. В результате получим гомотопию в классе относительных сфероидов, которая связывает f с относительным сфероидом, отображающим In в a0.

§ 14. Расслоения и гомотопические группы 5) Im Ker i. Если абсолютный сфероид f : In-1 A получается из относительного сфероида g : In X ограничением на In-1 = = In-1 {0} In, то g можно рассматривать как гомотопию gt : In-1 X сфероида f в пространстве X, связывающую его с постоянным отображением.

6) Ker i Im. Гомотопию gt : In-1 X сфероида g0 : In-1 A в сфероид g1 : In-1 a0 можно рассматривать как относительный сфероид g : In X, ограничение которого на In-1 совпадает с g0.

З а д а ч а 14.13. Докажите, что n-1 (X) n(CX, X) при n 2.

= Следующее утверждение показывает, что точная последовательность расслоения является частным случаем точной последовательности пары.

Т е о р е м а 14.6. Пусть p : E B – локально тривиальное рас– слоение, e0 E – произвольная точка, b0 = p(e0) и F = p-1 (e0). Тогда – отображение p : n (E, F, e0) n (B, b0) является изоморфизмом при всех n 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h: Dn E – относительный сфероид, – для которого абсолютный сфероид h = ph представляет нулевой элемент группы n (B, b0). Тогда существует гомотопия H : Dn I B, связывающая отображение h с постоянным отображением (в классе отображений, переводящих Sn-1 в b0). Согласно теореме о накрывающей гомотопии существует гомотопия H : Dn I E, которая одновременно накрывает гомотопию H и продолжает го мотопию H : {s0} I e0 E. Гомотопия H связывает относительный сфероид h с постоянным отображением в классе относительных сфероидов. Поэтому p – мономорфизм.

– Пусть h: Sn B – сфероид. Его – можно рассматривать как гомотопию H : Sn-1 I B, связывающую постоянные отображения Sn-1 b0 B (снова обратитесь к рис. 82 на с. 186). Пусть Рис. 91. Гомотопия как относительный сфероид H : Sn-1 I E гомотопия, которая — одновременно накрывает гомотопию H и про должает гомотопию H : {s0} I e0 E. Гомотопию H можно рассматривать как относительный сфероид h : Dn E (рис. 91). При этом h = ph, а значит, p – эпиморфизм.

– 14.5. Теорема Уайтхеда Теорема Уайтхеда утверждает, что отображение связных CW -комплексов X Y, индуцирующее изоморфизм всех гомотопических групп, 194 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

является гомотопической эквивалентностью. Доказательство теоремы Уайтхеда мы начнём с частного случая, когда пространство Y состоит из одной точки. В общем случае теорема Уайтхеда легко выводится из относительного варианта этого частного случая.

Т е о р е м а 14.7. Пусть X – CW -комплекс, x0 – его вершина.

– – Предположим, что n(X, x0) = 0 для всех n 0. Тогда X – стягива– емое пространство.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f0 = idX и f0 – ограничение f0 на X– (0-мерный остов X). Равенство 0 (X, x0) = 0 означает, что для каждой вершины x X0 существует путь из x в x0. Формула F0(x) = (t) задаёт гомотопию, связывающую отображение f0 с постоянным отображением X0 x0. Согласно лемме Борсука эту гомотопию можно продолжить до гомотопии F0 (x, t) всего пространства X. Эта гомотопия связывает тождественное отображение F0(x, 0) = f0 (x) с отображением F0(x, 1) = f1 (x), которое переводит X0 в x0.

Пусть f1 – ограничение f1 на X1. Из равенства 1 (X, x0) = 0 следует, – что существует гомотопия F1, связывающая отображение f1 с постоянным отображением X1 x0. Продолжив эту гомотопию на X, получим гомотопию F1, связывающую отображение f1 с отображением f2, которое переводит X1 в x0.

Аналогично, воспользовавшись равенством n (X, x0) = 0, можно построить гомотопию Fn, связывающую отображения fn и fn+1, причём fn+переводит Xn в x0.

Если dim X <, то доказательство завершено. Если же dim X =, то гомотопию F, связывающую отображение idX с отображением X x0, 2n - можно построить следующим образом. Пусть при tn = отображе2n ние F(x, tn) совпадает с fn (x), а между tn и tn+1 отображение F устроено как Fn. Ясно, что ограничение F на Xn I непрерывно при всех n, поэтому отображение F непрерывно.

Пространство A X называют деформационным ретрактом X, если существует гомотопия ft : X X, t [0, 1], обладающая следующими свойствами: ft|A = idA для всех t, f0 = idX и f1 (X) A. Отображение r = f1 : X A обладает при этом следующими свойствами:

ri = idA и отображение ir гомотопно idX (здесь i : A X – естественное – вложение подмножества в множество). Ясно, что деформационный ретракт A пространства X гомотопически эквивалентен X. Действительно, рассмотрим отображения r : X A и i : A X. Тогда ir idX и ri = idA.

З а д а ч а 14.14. Пусть m 1 и n 1. Докажите, что пространство Sm Sn = (Sm {x0}) ({y0} Sn), где x0 Sn и y0 Sm, является де§ 14. Расслоения и гомотопические группы формационным ретрактом пространства, которое получается из Sm Sn выкалыванием одной точки, не принадлежащей Sm Sn.

Теорема 14.7 имеет следующий относительный вариант.

Т е о р е м а 14.8. Пусть X – линейно связный CW -комплекс, A – – – его подкомплекс, a0 – вершина A. Предположим, что n (X, A, a0) = – = 0 для всех n 1. Тогда A – деформационный ретракт X.

– Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что n 1 и gn : X X – – отображение, для которого gn (Xn-1) A и gn|A = idA. Согласно теореме 14.4 из равенства n (X, A, a0) = 0 следует, что существует гомотопия, неподвижная на A, которая связывает отображение gn|Xn A с отображением gn+1 : Xn A A. Продолжая эту гомотопию на всё пространство X, получим отображение gn+1.

Отображение g1 строится следующим образом. Соединим вершину x X0 \ A0 путём с вершиной a0 и положим g1 (x) = a0. Ясно, что отоб ражение g1 : X0 A X гомотопно отображению idX0. Продолжив эту A гомотопию на X, получим требуемое отображение g1.

Теперь можно приступить непосредственно к доказательству теоремы Уайтхеда.

Т е о р е м а 14.9 (Уайтхед). Пусть X и Y – связные CW -комплек– сы, x0 X и y0 Y – их вершины. Предположим, что отображение – f : (X, x0) (Y, y0) индуцирует изоморфизмы f : n (X, x0) n (Y, y0) для всех X n 1. Тогда f – гомотопическая эквива– x лентность.

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.