WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 49 |

§ 14. Расслоения и гомотопические группы Л е м м а (Борсук). Пусть X – CW -комплекс, X X – его под– – комплекс. Предположим, что задано отображение f : X Y и за дана гомотопия F : X I Y отображения f = f|X. Тогда эту гомотопию можно продолжить до гомотопии отображения f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию по размерности остова. Пусть x0 X0, т. е. x0 – вершина. Если x0 X, то отображение – {x0} I Y задано, а если x0 X, то {x0} I можно отобразить в точку f(x0). Предположим теперь, что гомотопия продолжена на остов Xn, n 0. Тогда для каждой (n + 1)-мерной клетки получаем отображение, которое задано на Sn I и на Dn+1 {0}; это отображение нужно продолжить на Dn+1 I. Для этого расположим цилиндр Dn+1 I в Rn+2 и вы берем точку O на оси цилиндра над его верхним основанием (рис. 77). Пусть x (x) – проекция ци– линдра из точки O на объединение боковой поверхности и нижнего основания. Для точки (x) отображение задано; точку x отобразим в ту же самую Рис. 77. Проекция точку.

цилиндра Рассмотрим теперь случай, когда X = Dn, а расслоение p : E B произвольно. По условию задано отображение H : Dn I B. С помощью этого отображения можно построить индуцированное расслоение p1 : E1 Y = Dn I, где E1 = {(e, y) E Y | p(e) = H(y)} и p1 (x, y) = p(x). Легко проверить, что индуцированное расслоение тоже является локально тривиальным. Кроме того, если на подкомплексе X Dn задана гомотопия H, накрывающая H, то ей соответствует гомо топия H1 : X I E1, заданная формулой H1(y) = (H (y), y); равенство pH (y) = H(y) следует из того, что H накрывает H.

База расслоения p1 гомеоморфна Dn+1. Согласно теореме Фельдбау расслоение над Dn+1 тривиально. Для тривиального расслоения су ществование накрывающей гомотопии H1 : Dn I E1, продолжающей гомотопию H1, уже было доказано. Требуемая накрывающая гомотопия H получается как композиция отображения H1 и естественной проекции E1 E.

Рассмотрим, наконец, последний случай, когда расслоение p : E B и пара (X, X ) произвольны. Применим индукцию по размерности остова.

На 0-мерном остове гомотопия в некоторых точках задана, а в остальных точках её можно определить как постоянное отображение. При переходе 182 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

от (n - 1)-мерного остова к n-мерному нужно продолжить на Dn гомотопию, заданную на Dn. Это мы уже научились делать.

З а д а ч а 14.1. Докажите, что если Y X – стягиваемый подком– плекс, то X Y X.

/ З а д а ч а 14.2. Докажите, что n-связный CW -комплекс гомотопически эквивалентен CW -комплексу, у которого есть ровно одна вершина и нет k-мерных клеток, где 1 k n.

З а д а ч а 14.3. Докажите, что CW -комплекс X с одной вершиной, не имеющий k-мерных клеток, где 1 k n, n-связен.

З а д а ч а 14.4. Пусть A и B – связные CW -комплексы с отме– ченными точками a0 и b0. Докажите, что A B (A B), где A B = = A B A B и A B = ({a0} B) (A {b0}).

/ З а д а ч а 14.5. Пусть X – n-связный CW -комплекс, Y – m-связ– – ный CW -комплекс (оба комплекса конечномерные). Докажите, что:

а) X – (n + 1)-связный комплекс;

– б) X Y – (n + m + 1)-связный комплекс;

– в) X Y – (n + m + 2)-связный комплекс.

– З а д а ч а 14.6. а) Докажите, что (S1 S1) S2 S2 S3.

б) Докажите, что если X и Y – CW -комплексы, то (X Y) – X Y (X Y).

Из теоремы о накрывающей гомотопии следует, что для любого локально тривиального расслоения p : E B путь в базе B, идущий из точки a в точку b, индуцирует отображение слоёв p-1 (a) p-1 (b), которое определено с точностью до гомотопии. Построим сначала само отображение. Введём обозначение Fa = p-1 (a). Чтобы применить теорему 14.2, положим X = Fa, X =, h = idX и H(x, t) = (t). Со гласно теореме 14.2 существует гомотопия H : Fa I E, которая накрывает гомотопию H и продолжает отображение h: Fa {0} E.

Для этой гомотопии pH (x, t) = (t). Значит, pH (x, 1) = (1) = b, т. е.

pH (x, 1) Fb. Искомое отображение задаётся формулой x H (x, 1).

Это отображение зависит от выбора гомотопии H. Покажем, что для лю бых двух гомотопий H0 и H1, построенных по гомотопным путям 0 и 1, отображения x H0 (x, 1) и x H1 (x, 1) гомотопны. Для этого снова воспользуемся теоремой 14.2. Теперь у нас есть два параметра: параметр пути t и параметр гомотопии, поскольку есть семейство путей (t).

Положим X = Fa I, X – объединение Fa {0} и Fa {1}, h(y, ) = y – для всех I и y Fa, H(y,, t) = (t). Наконец, H (y, 0, t) = H0 (y, t) и H (y, 1, t) = H1 (y, t). Согласно теореме 14.2 существует гомотопия H (y,, t), которая накрывает гомотопию H и является продолжением гомотопии H и отображения h: X {0} E. Требуемая гомотопия G : Fa I Fb задаётся формулой G(y, ) = H (y,, 1).

§ 14. Расслоения и гомотопические группы 14.2. Гомотопические группы Гомотопическая группа n (X, x0) – это обобщение фундаментальной – группы 1 (X, x0). Мы сначала определим множество n (X, x0) при n 0, а затем определим на этом множестве структуру группы при n 1.

Фиксируем на сфере Sn отмеченную точку s0 и будем считать два отображения (Sn, s0) (X, x0) эквивалентными, если они гомотопны (здесь имеется в виду такая гомотопия ht : Sn X, что ht (s0) = xдля всех t [0, 1]). Множество n (X, x0) состоит из таких классов эквивалентности. В частности, элементами множества 0 (X, x0) служат компоненты линейной связности пространства X. Отображение (Sn, s0) (X, x0) называют n-мерным сфероидом; его иногда бывает удобно представлять как отображение (In, In) (X, x0) или как отображение (Dn, Dn) (X, x0). При таком представлении мы пользуемся тем, что In In Dn Dn Sn.

/ / Чтобы определить на множестве n (X, x0) структуру группы, нужно по двум отображениям f, g : (Sn, s0) (X, x0) построить отображение fg : (Sn, s0) (X, x0). Это делается посредством конструкции, изображённой на рис. 78 вверху; на том же рисунке внизу изображена та же самая конструкция для отображений (In, In) (X, x0).

При n 2 порядок, в котором берётся произведение отображений f и g, несуществен, поскольку отображения fg и gf гомотопны. Эту гомотопию легко построить, воспользовавшись рис. 79.

Рис. 78. Произведение сфероидов 184 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Рис. 79. Коммутативность гомотопической группы Для отображения f : (In, In) (X, x0) существует такое отображение f : (In, In) (X, x0), что отображение f f гомотопно постоянному.

В качестве f можно взять, например, следующее отображение. Представим куб In в виде In = In-1 [-1, 1] и положим f (x, s) = f(x, -s).

Тогда отображение f f устроено так, что f f (x, s) = = f f (x, -s) (см. рис. 80). Поэтому можно рассмот реть семейство отображений f f (x, s) при |s| t;

- gt (x, s) = f f (x, t) при |s| t.

Рис. 80. Обратный Ясно, что g0 = f f и g1 – постоянное отображение.

– элемент У п р а ж н е н и е 1. а) Докажите, что если f f1 и g g1, то fg f1 g1.

б) Докажите, что f(gh) (fg)h.

При рассмотрении гомотопических групп n (X, x0), n 1, обычно предполагается, что пространство X линейно связно. В таком случае группы n (X, x0) и n (X, x1) изоморфны, но этот изоморфизм не канонический: он зависит от выбора пути из x0 в x1. Для заданного пути, соединяющего точки x0 и x1, изоморфизм n(X, x0) n (X, x1) строится следующим образом. Пусть задано отображение f : (Sn, s0) (X, x0).

Рассмотрим отображение Sn Sn I, при котором экватор переходит в s0 и каждое сечение южного полушария плоскостью, параллельной экватору, переходит в одну точку отрезка I; при этом в качестве южного полюса выбрана отмеченная точка s0 и она переходит в свободный конец отрезка I (рис. 81). Композиция рассматриваемого отображения Рис. 81. Изменение отмеченной точки § 14. Расслоения и гомотопические группы и отображения Sn I X, которое задано на Sn посредством f, а на I посредством, определяет элемент группы n (X, x1). Этот элемент зависит только от гомотопического класса отображения f и от гомотопического класса пути (имеется в виду гомотопия с неподвижными концами).

Легко также проверить, что пути и -1 индуцируют взаимно обратные отображения. В частности, если – петля с началом и концом в точке x0, – то индуцирует автоморфизм группы n (X, x0). Этот автоморфизм зависит только от элемента группы 1 (X, x0), представленного петлёй.

Если каждый элемент группы 1 (X, x0) индуцирует тождественный автоморфизм группы n (X, x0), то пространство X называют гомотопически n-простым.

Если пространство X гомотопически n-просто, то группы n (X, x) для всех x X канонически изоморфны, поэтому можно использовать обозначение n (X).

З а д а ч а 14.7. Пусть X – CW -комплекс, Xn – его n-мерный остов.

– – Докажите, что вложение i : Xn X индуцирует изоморфизм i : k (Xn, x0) k (X, x0) при k < n и эпиморфизм при k = n.

При решении следующих двух задач нужно предполагать известным, что n (Sn) = Z при всех n N (см. с. 256).

З а д а ч а 14.8. Докажите, что при n 2 группа n (Sn S1, x0) является свободной абелевой группой с бесконечным (счётным) набором образующих.

З а д а ч а 14.9. Докажите, что пространство Sn S1 не является гомотопически n-простым.

14.3. Точная последовательность расслоения Пусть p : E B – локально тривиальное расслоение с линейно – связной базой B. Выберем отмеченную точку b0 B. Отображение p индуцирует гомоморфизм p : n (E, e0) n (B, b0), где e0 p-1(b0).

Пусть i : F E – композиция гомеоморфизма F p-1 (b0) и вложения – p-1 (b0) E. Отображение i индуцирует гомоморфизм i : n (F, e0) n (E, e0); слой F здесь и далее мы отождествляем с p-1 (b0).

Можно также определить третий гомоморфизм : n (B, b0) n-1 (F, e0). Делается это следующим образом. Отображение f : (Sn, s0) (B, b0) можно представить как гомотопию t : (Sn-1, s0) (B, b0), связывающую постоянные отображения 0, 1 : Sn-1 b(рис. 82). Согласно теореме о накрывающей гомотопии существует гомотопия : Sn-1 E, для которой (Sn-1) = e0, (s0) = e0 и p = t t 0 t t (рис. 83). Ясно, что (Sn-1) p-1 (b0) = F, поскольку 1 (Sn-1) = b0.

В качестве f мы берём гомотопический класс отображения 186 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Рис. 82. Представление отображения в виде гомотопии : (Sn-1, s0) (F, e0). Нужно лишь проверить, что это определение корректно, т. е. гомотопным отображениям f и f соответствуют гомотоп ные отображения и. Это легко сделать, применив ещё раз теорему о накрывающей гомотопии.

Напомним, что последовательность гомоморфизмов групп i-i... - Gi - Gi-1 - Gi-2 -...

называют точной, если Ker i-1 = Im i, где Ker i-1 = {g Gi-1 | i-1 (g) = 0} (ядро гомоморфизма i-1) и Im i = {i (g) | g Gi} (образ гомоморфизма i).

Т е о р е м а 14.3. Последовательность го моморфизмов p i... - n (F, e0) - n(E, e0) p - n (B, b0) - n-1 (F, e0) -...

является точной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать шесть включений типа Im i Ker p, Ker p Im i и т. п. Каждое из этих шести включений мы докажем отдельно. В тех случаях, когда не возникает недоразумений, для краткости Рис. 83. Поднятие мы не будем упоминать об отмеченных точках гомотопии и не будем различать элемент гомотопической группы и представляющий его сфероид.

1) Im i Ker p. У сфероида, лежащего в Im i, есть представитель f : Sn E, образ которого лежит в F. В таком случае pf – постоянное – отображение, поэтому f Ker p.

§ 14. Расслоения и гомотопические группы 2) Ker p Im i. У сфероида, лежащего в Ker p, есть представитель f : Sn E, для которого сфероид pf : Sn B стягиваем. Для гомотопии H : Sn I B, связывающей отображение pf с постоянным отоб ражением, существует накрывающая гомотопия H : Sn I E, связывающая отображение f с некоторым отображением f1. При этом отображение pf1 постоянно, т. е. образ отображения f1 лежит в F. Это означает, что f1 Im i.

3) Im p Ker. Если f = p f, где f : Sn E – некоторый сфероид, – то сфероид f представлен как гомотопия. Поэтому – постоянное t 1 – отображение, а значит, f = 0.

4) Ker Im p. Пусть сфероид f : Sn B представлен как гомотопия t : Sn-1 B. Рассмотрим накрывающую гомотопию и предполоt жим, что отображение : Sn-1 F гомотопно постоянному. Пусть t – – гомотопия в F отображения в постоянное отображение. Рассмотрим гомотопию при t 0, ;

2t = t при t 1 1.

, 2t- Гомотопии соответствует сфероид g : Sn-1 F, для которого сфероид t g = p g гомотопен f. Поэтому f Im p.

5) Im Ker i. Пусть сфероид f : Sn+1 B представлен как гомотопия t : Sn B и – поднятие этой гомотопии. Отображение t – постоянно, поэтому гомотопию можно рассматривать как отображеt ние Dn+1 B. Следовательно, отображение : Sn F гомотопно в E постоянному отображению.

6) Ker i Im. Пусть f : Sn F – сфероид, стягиваемый в E. Про– екцию гомотопии сфероида f в постоянное отображение можно рассматривать как сфероид g : Sn+1 B. При этом g = f.

З а м е ч а н и е. Если пространство расслоения E линейно связно, то множества 0 (E, e0) и 0 (B, b0) состоят из одного элемента. Множество 0 (F, e0) в этом случае находится во взаимно однозначном соответствии с множеством смежных классов 1 (B, b0) Im p (подгруппа / Im p 1(B, b0) не обязательно нормальна, поэтому множество смежных классов может не быть группой).

П р и м е р. n (S1) = 0 при n 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим накрытие R S1. Любое накрытие является расслоением с дискретным слоем F и n-1 (F) = 0 при n 2. Поэтому из точной последовательности расслоения следует, что n (S1) = n (R1) = 0 при n 2.

П р и м е р. 2 (S2) = Z и n (S2) = n (S3) при n 3.

188 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в пространстве C2 с координатами z и w сферу S3, заданную уравнением |z|2 + |w|2 = 1. На S3 действует группа S1 = {ei} (обе координаты z и w умножаются на ei).

Факторпространство по этому действию гомеоморфно проективному пространству CP1 с однородными координатами (z : w). Покажем, что проекция p : S3 S3 S1 CP1 является локально тривиальным расслоением / (расслоение Хопфа).

Покроем CP1 открытыми множествами U1 и U2, которые получаются из CP1 выкалыванием точек (1 : 0) и (0 : 1). Покажем, что над каждым из этих множеств отображение p является тривиальным расслоением со слоем S1. Каждую точку сферы S3 можно представить в виде (aei, bei), где a и b – неотрицательные числа, для кото– рых выполняется равенство a2 + b2 = 1. В качестве гомеоморфизмов hi : p-1 (Ui) Ui S1, согласованных с проекцией, можно взять a b h1 (aei, bei) = ei(-), ei, h2 (aei, bei) = ei(-), ei.

b a Запишем точную последовательность расслоения Хопфа:

p i... - 2 (S3) - 2 (S2) - 1 (S1) - 1 (S3) -...

Мы уже знаем, что k (Sn) = 0 при k < n (теорема 8.8 на с. 120). Поэтому 2(S2) = 1 (S1) = Z.

Рассмотрим теперь другой участок точной последовательности расслоения Хопфа:

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.