WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 49 |

Это наблюдение приводит к следующей конструкции пространства X. Пусть задано линейно связное пространство X с отмеченной точкой x0 X, и в группе 1 (X, x0) задана подгруппа H. Рассмотрим множество всех путей в X с началом в точке x0. Будем считать пути 1 и 2 эквива- лентными, если класс петли 12 лежит в H. Точками пространства X будем считать классы эквивалентных путей; топология в пространстве X будет определена чуть позже. Проекция p : X X сопоставляет пути его конец.

Из линейной связности пространства X следует, что отображение p сюръективно.

Предложенная конструкция не всегда приводит к желаемому результату. Но если пространство X локально линейно связно и локально односвязно, т. е. для любой точки x X и для любой окрестности U x существует линейно связная односвязная окрестность V U, то эта конструкция даёт нужный результат. В дальнейшем мы будем предполагать, что пространство X локально линейно связно и локально односвязно.

Кроме того, под окрестностью точки пространства X будем подразумевать односвязную линейно связную окрестность. Ясно, что такие окрестности образуют базу топологии пространства X.

§ 12. Накрытия Топология пространства X. Чтобы определить топологию про странства X, достаточно задать базу открытых множеств. Пусть точка x X и окрестность U X таковы, что px U. Точка x является классом эквивалентных путей. Пусть – один – из путей (с началом в точке x0), лежащих в этом классе. Сопоставим па ре U, x множество (U, x) X, состоя щее из классов эквивалентности продол жений пути путями, целиком лежащими в U. Ясно, что множество (U, x) не зависит от выбора пути. Кроме того, это множество не зависит от выбора точки x в следующем смысле: если x (U, x ), 2 то (U, x ) = (U, x ). Чтобы доказать это, 2 Рис. 72. Путь 1-рассмотрим точки x1 = px и x2 = px.

1 Соединим точки x1 и x2 путём, лежащим в U (рис. 72). Предположим, что 1 – продолжение пути 1, соединяю– щего x1 с x0, некоторым путём, лежащим в U. Ему можно сопоставить путь 1-1, который является продолжением пути 1, соединяющего x0 с x2, путём -1, лежащим в U. Пути 1 и 1-1 гомотопны, поэтому сопоставление 1 1-1 задаёт взаимно однозначное соответствие между (U, x ) и (U, x ).

1 В качестве базы топологии пространства X выберем все множества вида (U, x). Нужно проверить, что непустое пересечение двух множеств базы содержит непустое множество базы. Предположим, что x U V, где U = (U, x ) и V = (V, x ). Пусть W = U V и W = (W, x). Тогда 1 W = U V и W – множество базы.

– Непрерывность проекции p. Прообраз окрестности U (связной и односвязной) состоит из набора базисных открытых множеств, поэтому он открыт.

Линейная связность пространства X. Пусть x – произвольная – точка пространства X, т. е. некоторый класс эквивалентных путей. Выберем в этом классе эквивалентности произвольный путь (t) в пространстве X. Рассмотрим семейство путей s (t) = (st), где 0 s, t 1.

Пути s соответствует некоторая точка x (s) X. В результате получаем путь в пространстве X, соединяющий точки x (0) = x и x (1) = x.

– Проекция – локальный гомеоморфизм. Пусть p : (U, x) U – – ограничение отображения p на множество (U, x), где U – связная – 168 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

односвязная окрестность. Линейная связность U влечёт сюръективность отображения p, а односвязность U влечет инъективность отображения p. Чтобы доказать непрерывность отображения p, рассмотрим произвольную связную односвязную окрестность V U. Прообразом этой окрестности является открытое множество (U, x).

Образ группы i (X, x0) при отображении p совпадает с H.

Пусть – петля в X с началом и концом в точке x0, – поднятие этой – – петли с началом в точке x. Подгруппа p1 (X, x ) состоит из гомотопи0 ческих классов тех петель, для которых путь замкнут. По построению путь замкнут тогда и только тогда, когда класс эквивалентности пути соответствует точке x, т. е. гомотопический класс петли лежит в H.

12.3. Единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой Для доказательства единственности накрывающего пространства с заданной группой p1 (X, x ) 1 (X, x0) не нужна локальная односвязность пространства X; нужна лишь его локальная линейная связность. Доказательство единственности опирается на следующую лемму.

Л е м м а. Пусть q : Y Y – накрытие, f : X Y – некоторое – – (непрерывное) отображение, причём пространство X линейно связно и локально линейно связно. Тогда если f1 (X, x0) q1 (Y, y ), то существует единственное поднятие f : X Y отображения f (имеется в виду, что q f = f и f (x0) = y ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный путь в пространстве X, соединяющий точку x0 с некоторой точкой x. При отображении f он переходит в путь f. Пусть – поднятие пути f с началом – в точке 0. Положим f (x) =, где y – конец пути. Нужно проверить, – что y не зависит от выбора пути. Иными словами, если 1 и 2 – – пути из x0 в x, а – петля, составленная из путей 1 и 2, то поднятие – петли f с началом y должно быть замкнутым путём в Y. Это означает, что класс петли f должен лежать в q1 (, 0). Иными словами, f1(X, x0) q1 (Y, 0). Это выполняется по условию.

Остается доказать непрерывность отображения f. Для этого нам понадобится локальная линейная связность пространства X. Пусть x X и = f (x). Для точки y = q() выберем линейно связную окрестность U, участвующую в определении накрытия. Пусть U – линейно связная – компонента множества p-1 (U), содержащая точку. Из непрерывности отображения f следует, что f-1(U) содержит некоторую окрестность V точки x. Пространство X локально линейно связно, поэтому можно § 12. Накрытия считать, что окрестность V линейно связна. В таком случае f (V) U, - т. е. V f (U). В самом деле, любую точку x1 V можно соединить с точкой x путём, лежащим в V. Образ f пути лежит в U, поэтому путь f поднимается до пути, целиком лежащего в U. Это означает, что f (y) = U.

С помощью этой леммы легко доказать единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой. А именно, пусть pi : Xi X (i = 1, 2) – накрытия линейно связного и локально линейно – связного пространства X, причём (p1)1 (X1, x ) (p2)1 (X2, x ). Тогда 1 существует такой гомеоморфизм h: X1 X2, что p2h = p1 и h(x ) = x.

1 Отображение h строится как поднятие отображения p1, а отображение h-1 строится как поднятие отображения p2.

Из доказательства леммы видно, что поднятие f существует и единственно для любого линейно связного пространства X. Но если X не является локально линейно связным, то отображение f не обязательно непрерывно. Это показывает следующий пример.

П р и м е р (Зиман). Пусть топологическое пространство X R2 состоит из окружности, дуги AB и бесконечного набора отрезков I1, I2,..., один конец которых находится в точке A, а другой конец стремится к точ ке B (рис. 73). Топологические пространства X1 и X2 устроены так, как показано на том же рисунке. Накрытия pi : Xi X устроены следую щим образом. Окружность пространства Xi дважды обматывается вокруг окружности пространства X, отрезки отображаются изометрично, а дуги отображаются гомеоморфно. Тогда (p1)1 (X1) = (p2)1 (X2) = 2Z Z = 1 (X), но у отображения p1 нет непрерывного поднятия h, для которого p2h= p1.

Рис. 73. Пример Зимана 170 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

В самом деле, поднятие h существует и единственно (если задан образ одной точки при отображении h), но отображение h разрывно в точках -P и Q, лежащих в p1 (B).

З а д а ч а 12.2. Докажите, что mn-листное накрытие p : X X можно представить в виде композиции p1 p X - Y - X, где p1 – некоторое m-листное накрытие и p2 – некоторое n-листное на– – крытие, тогда и только тогда, когда прообраз p-1 (x) некоторой точки x X можно разбить на m-элементные множества I1,..., In так, что для любого замкнутого пути в X все его поднятия, начинающиеся в одном и том же множестве Ii, заканчиваются в одном и том же множестве Ij.

Используя технику накрытий, с помощью теоремы Борсука–Улама – можно доказать следующее утверждение, из которого сама теорема Борсука–Улама легко выводится.

– Т е о р е м а 12.1. Пусть m > n 1. Тогда не существует отображения g : RPm RPn, индуцирующего изоморфизм фундаментальных групп.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть pm : Sm RPm и pn : Sn RPn – – двулистные накрытия. Построим отображение f : Sm Sn, для которого gpm = pn f. Фиксируем точку x0 Sm, выберем из двух точек множества -pn g(x0) одну точку y0, соединим точку x0 с точкой x Sm путём, рассмотрим поднятие пути gpm с началом y0 и положим g(x) = y, где y – конец этого поднятия. Корректность этого определения следует – из того, что в Sm любая петля стягиваема, поскольку m 2.

Из равенства gpm = pn f следует, что f(-x) = ±f(x). Знак выясняется следующим образом. Пусть m и n – образующие групп 1 (RPm) – и 1 (RPn) (здесь мы пользуемся тем, что 1 (RP1) = Z и 1(RPm) = Zпри m 2). Пусть, далее, gm = kn (здесь k Z2 при n 2 и k Z при n = 1). Тогда f(-x) = (-1)k f(x), поскольку kn – образ дуги, соеди– няющей точки x и -x, при отображении gpm.

Итак, если существует отображение g : RPm RPn, для которого gm = ±n, то существует отображение f : Sm Sn, для которого f(-x) = -f(x).

Отметим, что если существует отображение f : Sm Sn, для которого f(-x) = -f(x), то можно рассмотреть отображение g : RPm RPn, заданное формулой {x, -x} {f(x), -f(x)}. Для этого отображения выполняется равенство gm = kn, где k нечётно. Если n 2, то n Z2, поэтому g – изоморфизм. Если же n = 1, то g является ненулевым – § 12. Накрытия гомоморфизмом Z2 Z, чего не может быть. Это рассуждение даёт новое доказательство теоремы Борсука–Улама для отображений S2 R2.

– 12.4. Локальные гомеоморфизмы Отображение f : X Y называют локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки x X есть окрестность U, для которой множество f(U) открыто в Y и ограничение отображения f на U является гомеоморфизмом.

Любое накрытие является локальным гомеоморфизмом. При некоторых ограничениях верно и обратное. Мы будем рассматривать только ситуацию, соответствующую конечнолистным накрытиям. Назовём отображение f : X Y собственным, если прообраз любого компактного множества компактен.

Т е о р е м а 12.2 (см. [71]). Пусть X и Y – хаусдорфовы про– странства, причём пространство Y линейно связно. Тогда любой сюръективный собственный локальный гомеоморфизм f : X Y является конечнолистным накрытием.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y Y – произвольная точка. Отоб– ражение f является локальным гомеоморфизмом, поэтому множество f-1(y) дискретно. Из того, что отображение f собственное, следует, что множество f-1 (y) конечно. Пусть f-1(y) = {x1,..., xn}. В хаусдорфовом пространстве X для точек xi и xj (i = j) можно выбрать непересекающи еся окрестности Uij xi и Uji xj. Положим Ui = Uij. Тогда xi Ui j=i и Ui Uj = при i = j.

Для каждой точки xi выберем окрестность Vi, для которой множество f(Vi) открыто в Y и ограничение отображения f на Vi является гомеоморфизмом. Окрестности Wi = Ui Vi попарно не пересекаются и f гомеоморфно отображает Wi на окрестность точки y.

n Положим W = f(Wi). Чтобы доказать, что f – накрытие, доста– i=1 n точно убедиться, что прообраз множества W целиком лежит в f(Wi).

i=Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что число n не зависит от точки y, т. е. прообразы всех точек пространства Y содержат одно и то же число точек. Воспользуемся линейной связностью пространства Y. Пусть y1, y2 Y – произвольные точки, : [0, 1] Y – непре– – рывный путь с концами (0) = y1 и (1) = y2. Докажем, что ограничение f на прообраз пути является накрытием. Рассмотрим компакт ное топологическое пространство = ([0, 1]) Y. Пусть X = f-1 (Y ) и f – ограничение отображения f на X. Топологические пространства Y – 172 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

и X хаусдорфовы и отображение f является сюръективным собственным локальным гомеоморфизмом. Поэтому для любой точки y Y можно построить открытые множества Wi точно так же, как строились открытые множества Wi для точки y Y. Положим n n W = f (Wi) \ f X \ Wi.

i=1 i= Чтобы доказать, что f – накрытие, достаточно проверить, что W – (от– – n - крытая) окрестность точки и f W Wi.

n i=1 n - По построению y f (Wi) и f (y) Wi, поэтому y W.

i=1 i=n n Если f (x) W, то x X \ Wi, т. е. x Wi.

i=1 i= Наконец, докажем, что множество W открыто, т. е. множество n f X \ Wi замкнуто. Пространство компактно, а отображение f i= -собственное, поэтому пространство X = f (Y ) компактно. Следовательn но, множество X \ Wi тоже компактно как замкнутое подмножество i=1 n компактного пространства. Множество f X \ Wi является комi=пактным подмножеством хаусдорфова пространства Y, поэтому оно замкнуто.

С помощью теоремы 12.2 можно получить критерий, позволяющий выяснить, в каком случае локальный гомеоморфизм является глобальным гомеоморфизмом.

Т е о р е м а 12.3 (см. [72]). Пусть X и Y – линейно связные хаус– дорфовы пространства. Локальный гомеоморфизм f : X Y является (глобальным) гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f собственное и гомоморфизм f : 1 (X, x0) 1 (Y, f(x0)) является эпиморфизмом для некоторой точки x0 X.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В одну сторону утверждение очевидно. Докажем, что при указанных условиях локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом. Для этого достаточно проверить, что отображение f взаимно однозначно.

Ш а г 1. Отображение f сюръективно.

Пусть y0 f(X), y1 Y – произвольная точка, : I = [0, 1] Y – – – путь, соединяющий точки y0 и y1. Отображение f собственное, поэтому множество f-1((I)) компактно, а значит, множество f(X) (I) = § 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа = f f-1 ((I)) замкнуто в (I). С другой стороны, из того, что f – ло– кальный гомеоморфизм, следует, что множество f(X) открыто в Y, а значит, множество f(X) (I) открыто в (I). Следовательно, f(X) (I) = = (I). В частности, y1 f(X).

Ш а г 2. Отображение f инъективно.

Согласно теореме 12.2 отображение f является накрытием. Поэтому гомоморфизм f : 1 (X, x0) 1 (Y, f(x0)) мономорфен и число элементов слоя равно индексу подгруппы f1 (X, x0) в группе 1 (Y, f(x0)). По условию отображение f эпиморфно. Следовательно, накрытие f однолистное, т. е. f – гомеоморфизм.

– С л е д с т в и е. Пусть X и Y – линейно связные хаусдорфовы – пространства, причём 1 (Y) = 0. В таком случае локальный гомеоморфизм f : X Y является (глобальным) гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f – собственное отображение.

– § 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа 13.1. Род графа Графы K3,3 и K5 нельзя вложить в плоскость (теорема 1.3 на с. 21).

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.