WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 49 |

Пусть M2 – двумерное псевдомногообразие; v – число его вершин, e – – – – число рёбер, f – число граней. Эйлеровой характеристикой псевдом– ногообразия M2 называют число (M2) = v - e + f.

Т е о р е м а 11.4. Любая замкнутая двумерная поверхность Mгомеоморфна mT или nP2. Числа m и n определяются при этом соотношениями (M2) = 2 - 2m и (M2) = 2 - n.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [126]). Рёбра псевдомногообразия Mобразуют граф. В этом графе мы будем последовательно уничтожать рёбра; после уничтожения ребра примыкающие к нему грани сливаются в одну область, которую мы тоже будем называть гранью. Уничтожать рёбра мы будем так, чтобы граф оставался связным и число его вершин не изменялось. При уничтожении ребра число граней либо не изменяется, либо уменьшается на 1. В конце концов остаётся максимальное дерево, которое содержит v вершин и v - 1 рёбер; число граней при этом равно 1.

При таких уничтожениях рёбер величина число вершин - число рёбер + число граней не возрастает, а в конце она оказывается равной 2, поэтому v - e + f 2.

Предположим, что существует замкнутая двумерная поверхность, которая служит контрпримером к утверждению теоремы. Среди всех таких поверхностей выберем те, для которых число 2 - v + e - f 0 минимально. Затем среди них выберем те, для которых число v минимально. На160 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Рис. 68. Край полученной поверхности конец, среди этих поверхностей выберем ту, для которой минимальная степень вершины минимальна. Выбранную поверхность обозначим M2.

Пусть A – вершина M2 минимальной степени p; AA1A2, AA2A3, –..., AApA1 – инцидентные с ней грани. Если p = 3, то либо M2 – по– – верхность тетраэдра, либо существует замкнутая двумерная поверхность M2, которая получается из M2 выбрасыванием вершины A и заменой трёх её граней AA1A2, AA2A3 и AA3A1 одной гранью A1A2A3. Если M2 – – поверхность тетраэдра, то M2 S2 и (M2) = 2. Таким образом, оба варианта противоречат выбору поверхности M2, поэтому p 4.

Предположим, что для некоторого i вершины Ai и Ai+2 не соединены ребром. Тогда M2 можно преобразовать, удалив ребро AiAi+1 и добавив ребро AiAi+2. В результате получим поверхность с теми же самыми числами 2 - v + e - f и v, но с меньшей минимальной степенью вершины.

Это противоречит выбору поверхности M2, поэтому вершины Ai и Ai+соединены ребром.

Поверхность M2 имеет рёбра AA1, A1A3 и AA3, но грани AA1A3 у неё быть не может, поскольку p 4. Разрежем M2 по AA1, A1A3 и AA3. В результате получим поверхность, краем которой служит граф с 6 рёбрами и 6 вершинами, причём каждая вершина имеет степень 2. В этом графе нет двойных рёбер, поэтому он либо состоит из двух треугольников, либо представляет собой шестиугольник (рис. 68).

Приклеим к краю полученной поверхности либо два треугольника, либо шестиугольник (предварительно триангулировав его). В результате получим двумерную поверхность M2. При этом в первом случае f = f + 2, = e + 2 и = v + 3, поэтому - e + f = v - e + f + 2; (1) § 11. Двумерные поверхности во втором случае v - + f = v - e + f + 1. (2) В обоих случаях величина 2 - v + e - f уменьшается при переходе от M к M2, поэтому из минимальности этой величины для M2 следует, что для M2 утверждение теоремы верно, а значит, M2 m T или M2 n P2. (3) Поверхность M2 получается из M2 достаточно простым преобразова2 нием. В первом случае M2 M2 # T или M2 M2 # K (приклеивается либо ручка, либо перекрученная ручка). Во втором случае M2 M2 # P2.

Во всех случаях M2 mT или M2 nP2. (4) Легко проверить, что если (M2) = 2 - 2m или (M2) = 2 - n (здесь числа m и n определяются равенством (3)), то (M2) = 2 - 2m или (M2) = 2 - n (здесь числа m и n определяются равенством (4)). Для этого нужно воспользоваться равенствами (1) и (2), а также тем, что (M2 # T ) = (M2 # K2) = (M2) - 2 и (M2 # P2) = (M2) - 1.

11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей Чтобы завершить классификацию замкнутых двумерных поверхностей, остаётся доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а 11.5. Поверхности S2, mT, m = 1, 2,..., и nP2, n = = 1, 2,..., попарно не гомеоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M2 и M2 – замкнутые двумерные – 1 поверхности, h: M2 M2 – гомеоморфизм. Покажем, что в таком слу– 1 чае (M2) = (M2).

1 На M2 есть два графа, а именно, граф G2, образованный рёбрами M2, 2 и граф G1 – образ графа, состоящего из рёбер M2. Пусть v1, e1 и f1 – – – число вершин, рёбер и граней для графа G1 на поверхности M2; v2, e2 и f2 – аналогичные числа для графа G2. Оставляя эти числа неизмен– ными, граф G1 можно изменить так, чтобы он стал кусочно-линейным и его рёбра трансверсально пересекали рёбра графа G2. Рассмотрим граф G = G1 G2. Пусть v, e и f – число вершин, рёбер и граней для графа G – на поверхности M2. Покажем, что v - e + f = v2 - e2 + f2. Рассмотрим для этого произвольную грань графа G2 (т. е. 2-симплекс псевдомногообразия M2). Пусть v, e и f – число вершин, рёбер и граней графа G, – принадлежащих этой грани. Согласно формуле Эйлера v - e + f = (в формуле Эйлера вместо 1 стоит 2, но в ней учитывается ещё и неограниченная область, которая в нашем случае отсутствует). Запишем v 162 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

и e в виде v = v + v и e = e + e, где v и e – число вершин – и рёбер, принадлежащих краю рассматриваемой грани, v и e – число – внутренних вершин и рёбер. Ясно, что v = e, поэтому v - e + f = 1.

Это означает, что если мы уничтожим все внутренние вершины, рёбра и грани, то эйлерова характеристика не изменится. А из равенства v = e следует, что можно также уничтожить все вершины, лежащие на рёбрах графа G2; эйлерова характеристика при этом тоже не изменится. Таким образом, v - e + f = v2 - e2 + f2. Граф G можно рассматривать и как граф на поверхности M2, поэтому v - e + f = v1 - e1 + f1, а значит, v1 - e1 + f1 = v2 - e2 + f2, т. е. (M2) = (M2).

1 Итак, эйлерова характеристика двумерной поверхности не зависит от выбора триангуляции, поэтому можно рассмотреть простейшие триангуляции и убедиться, что (S2) = 2, (T ) = 0 и (P2) = 1. Легко также проверить, что (M2 # N2) = (M2) + (N2) - 2. Следовательно, (mT ) = 2 - 2m и (nP2) = 2 - n. Одинаковые эйлеровы характеристики имеют лишь поверхности mT и 2mP2. Поэтому остаётся доказать, что эти поверхности не гомеоморфны (при m 1).

Поверхности S2 и T с простейшими триангуляциями являются ориентируемыми псевдомногообразиями, поэтому поверхность mT с некоторой триангуляцией является ориентируемым псевдомногообразием.

С другой стороны, поверхность P2 с простей шей триангуляцией является неориентируемым псевдомногообразием. А именно, на поверхно сти P2 есть замкнутый путь abca, изображённый на рис. 69 пунктиром, при обходе вдоль которого изменяется ориентация (2-симплексы с общей стороной 23 приобрели несогла сованные ориентации). На поверхности nP2, n 1, с некоторой триангуляцией есть такой же замкнутый путь (состоящий из 6 звеньев), трансверсально пересекающий рёбра 6 симплексов и изменяющий ориентацию. Это ознаРис. 69. Путь на проекчает, что nP2 (n 1) – неориентируемое псев– тивной плоскости, медомногообразие.

няющий ориентацию Остаётся лишь проверить, что понятие ориентируемости двумерной поверхности инвариантно относительно гомеоморфизмов, т. е. понятие ориентируемости двумерной поверхности можно определить, не обращаясь к триангуляциям.

Пусть M2 – замкнутая двумерная поверхность, : I = [0, 1] M2 – – – некоторый путь. Покроем M2 открытыми множествами Ui, гомеоморф§ 11. Двумерные поверхности ными R2. Задав ориентацию в одной точке x Ui, мы задаём тем самым ориентацию во всех точках множества Ui; под ориентацией мы здесь подразумеваем направление обхода вокруг точки x.

Связные компоненты множеств -1 (Ui) образуют открытое покрытие компактного множества I. Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие W1,..., Wn. Мы будем предполагать, что 0 W1, Wj Wj+1 = и 1 Wn. Если в точке x (Wj) задана ориентация, то эту ориентацию можно распространить на все точки множества (Wj). Учитывая, что (Wj) (Wj+1) =, эту ориентацию можно распространить и на все точки множества (Wj+1). Так можно перенести вдоль пути ориентацию из точки (0) в точку (1). Результат переноса не зависит от того, какое именно конечное подпокрытие мы выбираем из покрытия {-1 (Ui)}. Действительно, отождествим одну из областей Ui с R2 и рассмотрим часть кривой, расположенную в Ui = R2. Множество Uj Ui представляет собой открытое подмножество в R2. Перенос ориентации вдоль связной компоненты множества (Uj Ui) при посредстве Uj даёт тот же самый результат, что и перенос ориентации вдоль в R2.

Назовём двумерную поверхность M2 ориентируемой, если перенос ориентации вдоль любого замкнутого пути не изменяет ориентацию, т. е. перенесённая вдоль замкнутого пути ориентация совпадает с исходной. Ясно, что псевдомногообразие, гомеоморфное двумерной поверхности, ориентируемо тогда и только тогда, когда ориентируема эта поверхность. Это означает, в частности, что неориентируемое псевдомногообразие nP2 не может быть гомеоморфно ориентируемому псевдомногообразию mT.

У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что поверхности nT и mP2 можно получить из 4n-угольника и 2m-угольника, отождествляя их стороны так, как показано на рис. 70.

З а д а ч а 11.1. а) Докажите, что на поверхности nP2 существует замкнутая кривая, после разрезания вдоль которой поверхность становится ориентируемой.

- - - - - - Рис. 70. Склеивание поверхностей из многоугольников 164 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

б) Докажите, что если n чётно, то окрестность кривой гомеоморфна цилиндру, а если n нечётно – то листу Мёбиуса.

– З а д а ч а 11.2. Пусть M2 и M2 – негомеоморфные двумерные по– 1 верхности с краем. Могут ли пространства M2 I и M2 I быть гомео2 морфными 11.4. Риманово определение рода поверхности Риман определял род замкнутой ориентируемой двумерной поверхности M2 следующим образом. Предположим, что на поверхности M2 можно расположить p несамопересекающихся замкнутых кривых C1,..., Cp так, чтобы они попарно не пересекались и множество M2 \ (C1... Cp) было связно, но любые p + 1 такие кривые разбивают M2 на части. Тогда род поверхности M2 равен p.

Покажем, что так определённое число p действительно совпадает с родом g поверхности M2. Несложно привести пример, показывающий, что p g (см. рис. 71). Остаётся доказать, что если на поверхности Mрасположены кривые C1,..., Cp, не разбивающие M2 на части, то p g.

Проведём разрезы по кривым C1,..., Cp. В результате получим связную ориентируемую поверхность, край которой содержит 2p связных компонент. Заклеим каждую компоненту диском. В результате получим замкнутую ориентируемую поверхность M2, эйлерова характеристика ко торой равна (M2) + 2p = 2 - 2g + 2p. Но (M2) 2, поэтому p g.

Рис. 71. Кривые на двумерной поверхности З а д а ч а 11.3. Докажите, что на замкнутой неориентируемой поверхности nP2 можно расположить n попарно непересекающихся листов Мёбиуса, но нельзя расположить n + 1 попарно непересекающихся листов Мёбиуса.

§ 12. Накрытия Фундаментальную группу и накрытия мы подробно рассматривали только для одномерных комплексов, но определили их для произволь§ 12. Накрытия ных линейно связных топологических пространств. При доказательстве свойств фундаментальной группы и накрытий мы почти нигде не пользовались специальными свойствами одномерных комплексов.

Исключение составляют лишь существование и единственность поднятия пути с данным началом и теорема о существовании и единственности накрытия, соответствующего данной подгруппе фундаментальной группы базы.

Для накрытий произвольных линейно связных пространств существование и единственность поднятия пути не столь очевидны, как для накрытий одномерных комплексов, но доказываются достаточно просто. Для каждой точки пути нужно выбрать окрестность, участвующую в определении накрытия. Из компактности отрезка следует, что можно выбрать конечное покрытие пути такими окрестностями. С помощью этого конечного набора окрестностей и их прообразов можно построить поднятие пути с заданным началом. Это поднятие, очевидно, единственно.

Ситуация с накрытиями, соответствующими данной подгруппе фундаментальной группы, сложнее. Приведённая в теореме 2.9 на с. 52 конструкция существенно использует структуру одномерного комплекса. Более того, для пространств общего вида соответствующая теорема неверна;

она верна лишь при определённых ограничениях. Прежде чем перейти к формулировке и доказательству этой теоремы, рассмотрим простейший пример – универсальное накрытие замкнутой ориентируемой двумерной – поверхности.

12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей Напомним, что накрытие p : X X называют универсальным, ес ли 1 (X) = 0.

Тор T можно получить, отождествив точки (x + m, y + n) и (x, y) для всех пар целых чисел m, n. Поэтому универсальное накрытие тора имеет вид p : R2 T.

Универсальное накрытие сферы с g ручками, где g 2, проще всего построить с помощью геометрии Лобачевского. Рассмотрим на плоскости Лобачевского H2 правильный 4g-угольник с углом. Пусть G – – 2g группа движений плоскости Лобачевского, порождённая сдвигами, при которых совмещаются пары противоположных сторон рассматриваемого 4g-угольника. Образы 4g-угольника под действием группы G замощают плоскость Лобачевского. Поэтому отображение p : H2 H2 G / M2 является универсальным накрытием сферы с g ручками M2.

g g 166 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

(Необходимые для этой конструкции сведения из геометрии Лобачевского можно найти в книге [18].) Описание геометрического строения универсального накрытия поверхности M2 без использования геометрии Лобачевского приведено g в [81].

З а д а ч а 12.1. а) Докажите, что универсальное накрывающее пространство плоскости R2, из которой выколото несколько точек, гомеоморфно R2.

б) Пусть ij = {(z1,..., zn) Cn | zi = zj} и = Cn \ ij. Докажиi=j те, что для универсальное накрывающее пространство гомеоморфно Cn.

12.2. Существование накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой Пусть H – некоторая подгруппа в группе 1 (X, x0). Прежде чем по– пытаться построить накрытие p : X X, для которого p1 (X, x ) = H, посмотрим, какими свойствами должно обладать пространство X. Пусть 1 и 2 – пути в X из точки x0 в точку x, 1 и 2 – поднятия этих путей – – с началом x. Пути 1 и 2 заканчиваются в одной и той же точке тогда -и только тогда, когда класс петли 12 лежит в H.

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.