WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 49 |

После перенумерации векторов vi точку y из рассматриваемой вы пуклой оболочки можно представить в виде y = ivi, где i 0 при 0 i k, k+1 = 0, i 0 при k + 2 i 2k + 2 и |i| = 1. Предположим, что точка y, > 0, тоже принадлежит одной из рассматриваемых выпуклых оболочек. Тогда y = ivi, где |i| = 1 и среди чисел i не более k + 1 положительных и не более k + 1 отрицательных. Ясно, что 2k+ i y i - vi = y - = 0, i=поэтому все числа i - i равны одному и тому же числу, т. е.

/ i = (i - ). Если > 0, то 0... k+1 = - < 0, а если < 0, то 2k+2... k+1 = - > 0. Это противоречит тому, что среди чисел i не более k + 1 положительных и не более k + 1 отрицательных.

Значит, = 0, т. е. i = i. По условию > 0 и |i| = |i| = 1, поэтому = 1.

Таким образом, каждый луч {e | > 0} пересекает рассматриваемое множество ровно в одной точке. Значит, оно гомеоморфно S2n+1. Кроме того, мы доказали, что представление точки в виде ivi, где |i| = и среди точек i не более n + 1 положительных и не более n + 1 отрицательных, единственно. Это означает, что рассматриваемые (2n + 1)-мерные симплексы не имеют общих внутренних точек.

Приведём ещё одно вычисление взрезанных джойнов.

Т е о р е м а 10.3 (см. [119]). Jjp (n) Jn+1 (skj-2 p-1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если n = 0, то n = (одна точка) и симплексы комплекса Jjp (n) имеют вид (1,..., p), где не более j - симплексов i состоят из одной точки, а все остальные симплексы – – пустые множества. Это и есть skj-2 p-1 = J1 (skj-2 p-1).

Легко проверить, что если A и B – произвольные симплициальные – комплексы, то Jjp (A B) Jjp (A) Jjp (B). Действительно, в определении джойна все симплексы из A и B рассматриваются как различные (даже если A = B). Ясно также, что если a b = при всех и, то пересечение множеств ak bl,..., ak bl пусто тогда и только тогда, когда 1 1 j j ak... ak = и bl... bl =.

1 j 1 j § 10. Конструкции Воспользовавшись тем, что n Jn+1 (0), получаем Jjp (n) Jjp (0... 0) Jn+1 Jjp (0) Jn+1 (skj-2 p-1).

p p-С л е д с т в и е 1. Jp (n) Jn+1 (S ) S(n+1) (p-1)-1.

С л е д с т в и е 2. Пространство Jjp (n) гомотопически эквивалентно букету сфер размерности (n + 1) (j - 1) - 1.

10.4. Симметрическая степень Пусть X – топологическое пространство. На топологическом про– странстве Xn = X... X действует группа Sn: (x1,..., xn) = = (x(1),..., x(n)). Факторпространство Xn по этому действию группы Sn называют n-й симметрической степенью пространства X и обозначают SPn (X).

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что SP2 (R) {(x, y) R2 | y 0}.

Т е о р е м а 10.4. SPn (S2) SPn (CP1) CPn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (a1 : b1),..., (an : bn) CP1 и n n (aix - biy) = ckxkyn-k. При замене пары (ai : bi) на (ai : bi) i=1 k=все коэффициенты ck умножаются на n, поэтому формула (a1 : b1),..., (an : bn) (c0 :... : cn) задаёт отображение CP1... CP1 CPn. При перестановке точек (a1 : b1),..., (an : bn) точка (c0 :... : cn) не изменяется, поэтому получаем отображение h: SPn(CP1) CPn.

Над полем C любой многочлен от одной переменной разлагается n на линейные множители. Поэтому любой многочлен ckxkyn-k, где k=n не все числа ck равны нулю, можно представить в виде (aix - biy), где i=для всех i хотя бы одно из чисел ai и bi отлично от нуля. Это означает, что отображение h сюръективно. Инъективность отображения h следует из того, что коэффициенты многочлена определяют его корни с точностью до перестановки. Ясно также, что отображение h непрерывно.

Итак, h: SPn (S2) CPn – непрерывное взаимно однозначное отоб– ражение. Пространство SPn (S2) компактно, потому что оно является образом компактного пространства S2... S2 при непрерывном отображении. Пространство CPn хаусдорфово, потому что оно является CW -комплексом. Поэтому согласно теореме 7.2 (см. с. 100) отображение h является гомеоморфизмом.

152 Глава III. Топологические пространства Т е о р е м а 10.5. а) SPn(C) Cn.

б) SPn (C \ {0}) Cn-1 (C \ {0}).

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Отображение b (1 : b) задаёт вложение C в CP1 S2. Это отображение индуцирует вложение SPn (C) в SPn (CP1) CPn. Точке (b1,..., bn) SPn (C) сопоставляются коэфn фициенты многочлена (x - bi), поэтому образ SPn (C) – это Cn CPn.

– i=Гомеоморфность отображения SPn (C) Cn следует из гомеоморфности отображения SPn(CP1) CPn. (Прямое доказательство гомеоморфности отображения SPn(C) Cn приведено в [67].) б) Требуется доказать, что если b1,..., bn C \ {0}, то коэффициенты n всех многочленов вида (x - bi) образуют множество, гомеоморфное i=Cn-1 (C \ {0}). Ясно, что все корни многочлена xn + cn-1xn-1 +... + cотличны от нуля тогда и только тогда, когда c0 = 0. Поэтому все коэффи n циенты многочлена (x - bi), кроме последнего, могут быть произвольi=ными.

Т е о р е м а 10.6. SPn (RP2) RP2n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Точке RP2 можно сопоставить пару диаметрально противоположных точек сферы S2. При стереографической проекции паре диаметрально противоположных точек сферы S2 соответствуют точки z и -z-1 (или 0 и ), т. е. точки (a : b) и (-b : a) в CP1.

Сопоставим неупорядоченному набору n точек RP2 многочлен n f(x, y) = (aix - biy) (-bix - aiy). (1) i=Точку (ai : bi) можно заменить на (ai : bi) или на (-bi : ai); при этом многочлен f умножится на ||2 или на -1. Таким образом, многочлен f определён однозначно с точностью до умножения на вещественное число, отличное от нуля.

Легко проверить, что f(-y, x) = (-1)n f(x, y). (2) Ясно также, что любой однородный многочлен степени 2n, удовлетворяющий соотношению (2), можно представить в виде (1), потому что его корни разбиваются на пары (a : b), (-b : a).

n Для многочлена f(x, y) = ckxn-kyn+k соотношение (2) эквиваk=-n лентно тому, что c-k = (-1)kck. Таким образом, многочлен f(x, y) пол§ 10. Конструкции ностью задаётся вещественным коэффициентом c0 и комплексными коэффициентами c1,..., cn. Эти коэффициенты могут быть произвольными (единственное ограничение заключается в том, что они не могут все одновременно обращаться в нуль). Таким образом, пространство всех многочленов f, рассматриваемых с точностью до умножения на вещественное число, отличное от нуля, гомеоморфно RP2n.

Мы построили взаимно однозначное непрерывное отображение h :

SPn (RP2) RP2n. Пространство SPn (RP2) компактно, а пространство RP2n хаусдорфово, поэтому h – гомеоморфизм.

– З а м е ч а н и е. Интересные обсуждения свойств гомеоморфизма h : SPn (RP2) RP2n содержатся в [2].

В заключение приведём без доказательства описание строения про странства SPn (S1). Пусть S1 Dn – пространство, которое получается – из I Dn отождествлением точек (0, x) и (1, h(x)), где h : Dn Dn – – симметрия относительно гиперплоскости, проходящей через центр шара (в качестве h можно взять любой гомеоморфизм, изменяющий ориента цию). Тогда SPn (S1) S1 Dn-1 при нечётном n и SPn (S1) S1 Dn-при чётном n. Доказательство этого утверждения приведено в [98].

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что SP2 (S1) – лист Мёбиуса.

– Глава IV Двумерные поверхности. Накрытия.

Расслоения. Гомотопические группы § 11. Двумерные поверхности 11.1. Основные определения Пусть M2 – двумерное псевдомногообразие без края, у которого каж– дая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому диску D2. В таком случае топологическое пространство X, гомеоморфное M2, называют замкнутой двумерной поверхностью, или двумерной поверхностью без края.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что двумерный симплициальный комплекс, изображённый на рис. 59, можно дополнить до замкнутого двумерного псевдомногообразия, которое не является замкнутой двумерной поверхностью.

Двумерной поверхностью с краем называют топологическое пространство, гомеоморфное двумерному псевдомногообразию M2, у которого каждая точка, не принадлежащая краю, имеет окрестность, гомеоморфную открытому диску D2, а каждая точка a, принадлежащая краю, имеет окрестность, гомеоморфную D+ = {(x, y) R2 | x2 + y2 < 1, y 0}, причём точке a соответствует точка (0, 0) D+.

Чтобы убедиться, что край двумерной поверхности определён корректно, нужно доказать следующее утверждение.

Рис. 59. Псевдомногообразие, но не поверхность § 11. Двумерные поверхности Т е о р е м а 11.1. Пусть h: M2N2 – гомеоморфизм псевдомно– гообразий, являющихся двумерными поверхностями. Тогда h(M2) = N2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить, что если a M2 \ M2, то h(a) N2. По условию точка a M2 \ M2 имеет окрестность U, гомеоморфную D2. Предположим, что b = h(a) N2. Тогда точка b имеет окрестность V, гомеоморфную D+, причём точка b соответствует точке (0, 0) D+. Пусть W = U h-1 (V) – окрестность – точки a. После отождествления U с D2 и V с D+ можно считать, что h гомеоморфно отображает W D2 R2 на h(W) D+ R2, причём h(0, 0) = (0, 0).

При достаточно малом > 0 открытое множество W содержит все точки z R2, для которых z - a. Пусть S1 – окружность радиу– са с центром a (рис. 60). Согласно теореме Жордана кривая h(S1) разбивает плоскость R2 D+ на две связные компоненты – ограничен– ную и неограниченную. С одной стороны, точка b = h(a) принадлежит образу круга, ограниченного S1, а образ этого круга является ограниченной компонентой. С другой стороны, множество R2 = {(x, y) R2 : y < 0} не пересекается с D+, поэтому множество R2 не пересекается с h(S1), а значит, точка b принадлежит неограниченной связной компоненте.

У любой точки псевдомногообразия M2, лежащей внутри симплекса размерности 2, есть окрестность, гомеоморфная D2, а у любой точки, лежащей внутри симплекса размерности 1, есть окрестность, гомеоморфная D2 или D+. Поэтому для того, чтобы выяснить, является ли псевдомногообразие M2 двумерной поверхностью, достаточно рассмотреть его вершины. Пусть v – вершина псевдомногообразия M2. Ясно, что объ– единение всех симплексов M2 с вершиной v состоит из m множеств, устроенных так, как показано на рис. 61 (а), и n множеств, устроенных так, как показано на рис. 61 (б). После выкалывания точки v любая её достаточно малая окрестность распадается на n + m компонент связно Рис. 60. Инвариантность края 156 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Рис. 61. Строение окрестности точки двумерной поверхности сти. С другой стороны, выкалывание одной точки не нарушает связности множеств D2 и D+. Поэтому псевдомногообразие M2 является двумерной поверхностью тогда и только тогда, когда m + n = 1 для любой вершины v, т. е. объединение всех симплексов с вершиной v устроено либо так, как показано на рис. 61 (а), либо так, как показано на рис. 61 (б).

11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему виду Триангуляцией топологического пространства X называют гомеоморфизм X |K |, где K – симплициальный комплекс. Сам симплициальный – комплекс K мы тоже будем называть триангуляцией пространства X.

Построить триангуляцию пространства X обычно бывает очень сложно, потому что у симплекса триангуляции не должно быть совпадающих вершин и у двух разных симплексов множества вершин должны быть разными. Например, разбиения окружности, изображённые на рис.62 (а) и (б), не являются триангуляциями. Простейшая триангуляция окружности изображена на рис. 62 (в); она содержит три вершины.

На рис. 63 изображены триангуляции простейших двумерных поверхностей (одинаковые номера вершин означают, что эти вершины отождествляются). Мы рассматриваем эти триангуляции как абстрактные сим Рис. 62. Триангуляция окружности § 11. Двумерные поверхности Рис. 63. Триангуляции некоторых поверхностей плициальные комплексы, но согласно теореме 8.4 на с. 116 любой двумерный абстрактный симплициальный комплекс можно реализовать в евклидовом пространстве размерности 5.

Обратите внимание, что для проективной плоскости нельзя использовать ту же самую конструкцию, с помощью которой построены триангуляции тора и бутылки Клейна: на рис. 64 (а) заштрихованы два разных треугольника, вершины которых совпадают. Но это легко исправить, заменив в одном из угловых квадратов одну диагональ на другую, как показано на рис. 64 (б).

Рис. 64. Триангуляция проективной плоскости 158 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Рис. 65. Лист Мёбиуса С помощью рис. 65 легко убедиться, что если из проективной плоскости вырезать диск D2, то в результате получится лист Мёбиуса.

Пусть T, K2 и P2 – триангуляции тора, бутылки Клейна и проек– тивной плоскости, изображённые на рис. 63. Пусть, далее, p, q и r – – неотрицательные целые числа. Определим двумерную поверхность S2 # 2 # pT # qK # rP2 следующим образом. Рассмотрим достаточно мелкую триангуляцию сферы S2, в которой можно выбрать p + q + r двумерных симплексов, не имеющих общих точек. Вырежем эти симплексы и p из образовавшихся треугольников отождествим с краями p экземпляров 2 T \ 2, где 2 – один из симплексов T ; K2 и P2 приклеиваем анало– гично. Ясно, что с точностью до гомеоморфизма полученная двумерная поверхность не зависит от триангуляции сферы S2. Аналогично можно определить M2 # N2 для любых двумерных псевдомногообразий M2 и N2.

Ясно, что S2 # M2 M2 для любого двумерного псевдомногообразия M2.

Т е о р е м а 11.2. S2 # 2P2 K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поверхность S2 # 2P2 представляет собой цилиндр S2 I, к обоим концам которого приклеено по листу Мёбиуса.

Бутылку Клейна K тоже можно представить в виде цилиндра, к краям которого приклеено два листа Мёбиуса: на рис. 66 цилиндр заштрихован.

Т е о р е м а 11.3. T # P2 K2 # P2.

Рис. 66. Бутылка Клейна § 11. Двумерные поверхности 2 Рис. 67. Поверхности T # P2 и K # P2 гомеоморфны Д о к а з а т е л ь с т в о. Поверхности T # P2 и K2 # P2 изображены на рис. 67. Гомеоморфизм между этими поверхностями устанавливается разрезанием по стрелке c и склеиванием стрелок b.

Из теорем 11.2 и 11.3 следует, что двумерная поверхность S2 # pT # # qK2 # rP2 гомеоморфна S2 # mT или S2 # nP2; для краткости будем обозначать эти поверхности mT и nP2 (предполагается, что m > и n > 0).

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.