WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 49 |

m m Пусть D = {x Rm | x } (мы предполагаем, что Dm = D1 ). При m m 0 < < 1 шар D гомеоморфно отображается на (D ) Y. Чтобы m m сократить обозначения, отождествим D с (D ) Y. На компактном m множестве f-1 (D3/4) отображение f равномерно непрерывно, поэтому m можно выбрать > 0 так, что если x, y f-1 (D3/4) Dn и x - y <, то f(x) - f(y) < 1 4. Рассмотрим достаточно мелкую триангуляцию / шара Dn (предварительно отождествив его с n-мерным симплексом), чтобы диаметр любого симплекса был меньше. Тогда если образ симm-m плекса этой триангуляции при отображении f пересекает S1/2 = D1/2, m m то образ этого симплекса целиком лежит в D3/4 \ D1/4. Симплексы всех размерностей рассматриваемой триангуляции Dn разбиваются на три непересекающихся класса:

m-а) образ симплекса целиком лежит вне S1/2 ;

m-б) образ симплекса целиком лежит внутри S1/2 ;

m-в) образ симплекса пересекает S1/2.

Отображение g и гомотопию для каждого симплекса триангуляции будем строить отдельно. В случае а положим g(x) = f(x) для всех точек симплекса. В случае б положим g(v) = f(v) для всех вершин симплекса, а затем продолжим это отображение по линейности. Для симm-плекса, образ которого пересекает S1/2, ситуация наиболее сложная, потому что на некоторых его гранях отображение уже определено (если они относятся к случаям а или б), и это отображение нужно продолжать на весь симплекс согласованным образом. Для вершин положим g(v) = f(v). Для 1-мерной грани отображение либо уже определено, либо пока ещё нет. В последнем случае продолжим по линейности на весь симплекс отображение его концов. Если на 2-мерной грани отображение g пока ещё не определено, то определим его следующим образом.

Двумерную грань 2 можно покрыть отрезками вида [m, x], где m – ба– рицентр симплекса 2, x – точка края 2. В точке x отображение g уже – определено. Положим g(m) = f(m) и продолжим отображение отрезка [m, x] по линейности (рис. 56). Затем такую же конструкцию применим к 3-мерным граням, и т. д.

Пусть k – некоторый симплекс триангуляции Dn. Ясно, что g(k) – принадлежит выпуклой оболочке множества f(k). В случае в выпукm лая оболочка множества f(k) не пересекает D1/4. Действительно, если m-y0 f(k) S1/2, то f(k) лежит внутри шара радиуса 1 4 с центром y0, / m а этот шар не пересекает D1/4.

144 Глава III. Топологические пространства Рис. 56. Первый шаг клеточной аппроксимации Гомотопию ft, связывающую отображения f и g, определим следующим образом. Если f(x) = g(x), то положим ft (x) = f(x) при всех x. Если f(x) = g(x), то обе точки f(x) и g(x) лежат внутри шара Dm; в таком случае можно положить ft (x) = (1 - t) f(x) + tg(x).

m Пересечение шара D1/4 с образом отображения g содержится в объединении конечного числа аффинных плоскостей размерности m n < m, поэтому в шаре D1/4 найдётся требуемая точка y, не принадлежащая образу отображения g.

Ш а г 2. Существует отображение g1 : Dn Y, которое обладает всеми требуемыми свойствами 1, 2 и 3.

Согласно шагу 1 отображение f можно заменить на отображение g0, образу Рис. 57. Второй шаг клекоторого не принадлежит некоторая точка точной аппроксимации y int (Dm). Рассмотрим композицию отображения g0 и проекции из точки y на границу шара (рис. 57). Полученное отображение g1 обладает свойством 3 и гомотопно g0; связывающая их гомотопия задаётся формулой gt = (1 - t) g0 + tg1.

9.5. Геометрическая реализация CW-комплексов Пусть X – CW -комплекс. Назовём непрерывное отображение – i : X Rn вложением, если отображение i является гомеоморфизмом X на i(X).

Т е о р е м а 9.7. Для любого конечного CW -комплекса X размерности n существует вложение в R(n+1) (n+2)/2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Конечный CW -комплекс X компактен, поэтому согласно теореме 7.2 (см. с. 100) любое инъективное отображение X RN является вложением.

§ 10. Конструкции Применим индукцию по n = dim X. При n = 0 утверждение очевидно.

Предположим, что для (n - 1)-мерного остова Xn-1 построено вложение in-1 : Xn-1 RN. После сдвига можно считать, что 0 in-1 (Xn-1). Вложение in : Xn-1 RN Rn R мы построим следующим образом. Для x Xn-1 положим in (x) = (in-1 (x), 0, 0) RN Rn R.

n Рассмотрим теперь n-мерные клетки (D), = 1,..., k. Каждую точn n-1 n ку диска D представим в виде tx, где 0 t 1 и x S = D, т. е.

x = 1. При этом для точки x уже определено вложение in-1 ( (x)), n которое мы для краткости обозначим in-1(x). Для точки tx D положим (0, tx, ) при t 1 2;

/ in (tx) = (2t - 1)in-1 (x), (1 - t)x, 2(1 - t) при t 1 2;

/ при t = 1 2 оба выражения совпадают.

/ Проверим, что отображение in инъективно. Пусть in (t1x) = in (t2x).

При t1 1 2 и t2 > 1 2 можно воспользоваться тем, что in (x) = 0. При / / t1, t2 1 2 равенства t1 = t2, x = x и = очевидны. При t1, t2 1 / / из равенства (1 - t1)x = (1 - t2)x следует, что t1 = t2 (напомним, что x = x = 1), поэтому x = x и =.

З а м е ч а н и е. Можно получить и более точную оценку размерности: конечный CW -комплекс размерности n вкладывается в R2n+1. Доказательство этого утверждения приведено в [8].

§ 10. Конструкции Нам уже встречались некоторые конструкции, применяемые к топологическим пространствам, – прямое произведение, букет, приклеивание – по отображению. Здесь мы более подробно обсудим эти и другие конструкции, а также некоторые связи между этими конструкциями. Нас будет также интересовать, как нужно изменить определение конструкции, чтобы она стала симплициальной (или клеточной), т. е. чтобы при применении конструкции к симплициальным комплексам (или CW -комплексам) в результате получались симплициальные комплексы (или CW -комплексы).

10.1. Прямое произведение Напомним, что если X и Y – топологические пространства, то базой – топологии пространства X Y служат прямые произведения открытых 146 Глава III. Топологические пространства множеств в X и в Y. При этом обе проекции pX (x, y) = x и pY (x, y) = y являются непрерывными отображениями.

Прямое произведение двух симплексов положительной размерности не является симплексом, но оно является евклидовой клеткой. Теорема 8.2 (см. с. 114) показывает, что прямое произведение двух симплексов можно триангулировать, т. е. представить в виде симплициального комплекса. Замечание после этой теоремы показывает, что при построении этого симплициального комплекса можно обойтись без добавления дополнительных вершин.

Если X и Y – CW -комплексы, то пространство X Y можно есте– ственным образом разбить на клетки. А именно, рассмотрим клетки p p-1 p p-: (D, S ) (X, X ) и : (Dq, Sq-1) (Xq, Xq-1). Ясно, что p p+q D Dq D и p+q-1 p+q p p S D (D Dq) (D Dq).

Поэтому по отображениям и можно построить отображение p+q p q p q-1 p-1 q (D, Sp+q-1) (X Y, X Y X Y ).

На множестве X Y есть топология прямого произведения. Если X и Y – конечные CW -комплексы, то описанное выше разбиение X Y – на клетки обладает свойствами (c) и (w), т. е. X Y – CW -комплекс.

– Но для бесконечных CW -комплексов свойство (w) может и не выполняться.

p p p З а д а ч а 10.1. Пусть S Sq = (S {}) ({} Sq) S Sq.

p p p+q Докажите, что S Sq S Sq S.

/ 10.2. Цилиндр, конус и надстройка Пусть I = [0, 1], X – топологическое пространство. Цилиндром над X – называют топологическое пространство X I.

Конусом над X называют факторпространство X I (X {1}); здесь / имеется в виду факторизация по отношению эквивалентности x1 {1} x2 {1} для любых x1, x2 X. Конус над X обозначают CX.

Надстройкой над X называют факторпространство X = X I (X {1} X {0}) = CX (X {0}).

/ / У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что CSn Dn+1 и Sn Sn+1.

Если X – CW -комплекс и A – его подкомплекс, то X A – CW -ком– – / – плекс. Поэтому CX и X – CW -комплексы. Таким образом, цилиндр, – конус и надстройка – клеточные конструкции.

– § 10. Конструкции 10.3. Джойн Джойном X Y топологических пространств X и Y называют факторпространство X I Y по следующему отношению эквивалентности: (x1, t1, y1) (x2, t2, y2), если либо t1 = t2 = 0 и x1 = x2, либо t1 = t2 = 1 и y1 = y2. Джойн X Y допускает весьма простое геометрическое описание в том случае, когда X, Y Rn, причём отрезки вида [x, y], x X, y Y, не имеют общих внутренних точек. Действительно, в этом случае X Y – объединение всех отрезков [x, y].

– p p+q+У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что D Dq D.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что D0 X CX и S0 X X.

(Здесь D0 – одна точка, S0 – две точки.) – – p У п р а ж н е н и е 4. Пусть x S, y Sq, t [0, 1]. Докажите, что отображение t t (x, t, y) cos x, sin y 2 p p+q+является гомеоморфизмом S Sq на S.

Пусть a0,..., ap, b0,..., bq – точки общего положения в Rp+q+1.

– Тогда джойном симплексов с вершинами a0,..., ap и b0,..., bq является симплекс с вершинами a0,..., ap, b0,..., bq. Это замечание показывает, что джойн непересекающихся абстрактных симплициальных комплексов A и B состоит из симплексов вида, где – симплекс из A, – – – симплекс из B. (Напомним, что симплекс абстрактного симплициального комплекса – это просто некоторый набор вершин.) – Т е о р е м а 10.1. Пусть X, Y и Z – конечные симплициальные – комплексы. Тогда (X Y) Z X (Y Z).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Реализуем X, Y и Z в Rn так, чтобы их вершины {x}, {y} и {z} были точками общего положения. Тогда оба пространства (X Y) Z и X (Y Z) гомеоморфны объединению всех симплексов с вершинами xi,..., xi, yj,..., yj, zk,..., zk, где 0 p 0 q 0 r p, q, r 0.

Пусть K – симплициальный комплекс, p N и 2 j p. Определим – взрезанный джойн Jjp (K) следующим образом. Рассмотрим p-кратный p джойн J (K) = K... K ; его симплекс представляет собой упорядоченный набор (1,..., p) симплексов из K. Выберем среди всех таких наборов те, для которых любые j симплексов попарно не пересекаются.

Эти наборы и образуют симплексы комплекса Jjp (K).

Обозначим k-мерный остов симплекса n через skk n; симплекс n мы естественным образом рассматриваем как симплициальный комплекс.

148 Глава III. Топологические пространства Известна конструкция, основанная на взрезанном джойне J2, которая позволяет свести к теореме Борсука–Улама доказательство то– го, что симплициальный комплекс skn 2n+2 нельзя вложить в R2n, т. е. не существует гомеоморфизма skn 2n+2 на подмножество в R2n.

Напомним, что согласно теореме 8.4 на странице 116 любой конечный n-мерный симплициальный комплекс можно вложить в R2n+1.

Теорему о том, что skn 2n+2 нельзя вложить в R2n, независимо доказали ван Кампен [131] и Флорес [57]. Наше изложение следует в основном [64].

Предположим, что K – симплициальный комплекс, f : K R2n – – – вложение (для краткости пространство |K| мы обозначаем K). Пусть CK – конус над K. По отображению f очевидным образом строится – отображение f : CK R2n, ограничение которого на K взаимно однозначно и f(K) f(CK \ K) =.

Рассмотрим в CK CK подпространство K, состоящее из произведений всех пар непересекающихся симплексов в CK, по крайней мере один из которых лежит в K. Легко строится гомоморфизм : K J2 (K).

Действительно, любую точку K можно однозначно представить в ви де t1x1 + (1 - t1)v, t2x2 + (1 - t2)v, где v – вершина конуса CK, точ– ки x1, x2 лежат в непересекающихся симплексах 1, 2 K и по крайней мере одно из чисел t1 и t2 равно 1. Положим x1, t2 x2 при t1 = 1;

, t1x1 + (1 - t1)v, t2x2 + (1 - t2)v = x1, 1 - t2 x2 при t2 = 1.

, На пространствах K и J2 (K) есть естественные инволюции (a, b) (b, a) и x1, t, x2 x2, 1 - t, x1. Гомеоморфизм коммутирует с этими инволюциями.

По отображению f можно построить отображение f : K R2n+1, положив f (a, b) = f(a) - f(b). Это отображение антикоммутирует с инволю цией, т. е. f (a, b) = -f (a, b). Кроме того f (a, b) = 0 для всех (a, b) K.

Действительно, пусть (a, b) K и f(a) = f(b). Тогда f(a) = f(b) f(K), поскольку одна из точек a, b лежит в K. Но тогда обе точки a, b лежат в K, поскольку f(K) f(CK \ K) =. Наконец, a = b, поскольку ограничение f на K взаимно однозначно. А по условию a и b лежат в непересекающихся симплексах.

В итоге получаем, что если взрезанный джойн J2 (K) гомеоморфен S2n+1, причём при этом гомеоморфизме естественная инволюция переходит в симметрию относительно центра сферы, то K нельзя вложить в R2n. Действительно, если бы K удалось вложить в R2n, то мы § 10. Конструкции смогли бы построить отображение g : S2n+1 R2n+1 \ {0}, для которого g(-x) = -g(x) для всех x S2n+1. А это противоречит теореме Борсука– – Улама.

Т е о р е м а 10.2. Пространство J2 (skn 2n+2) гомеоморфно S2n+1, причём при этом гомеоморфизме естественная инволюция переходит в симметрию относительно центра сферы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для n = 0 доказа тельство непосредственно видно из рис. 58. Мы - - берём в качестве одного экземпляра sk0 2 точки a, b, c; в качестве другого экземпляра – точки – -a, -b, -c. Чтобы получить взрезанный джойн, нужно соединить a с -b и -c и т. д. Легко проверить, что естественная инволюция переходит в симметрию относительно центра.

Рис. 58. Взрезанный Для произвольного n эта конструкция обобджойн трёх точек щается следующим образом. В качестве одного экземпляра skn 2n+2 возьмём n-мерный остов симплекса в R2n+2 с вершинами v0,..., v2n+2. В качестве начала координат выберем центр масс симплекса. Тогда v0,..., v2n+2 можно рассматривать как векторы, сумма которых равна нулю. В качестве второго экземпляра skn 2n+2 возьмём n-мерный остов симплекса с вершинами -v0,..., -v2n+2.

Искомое пространство J2 (skn 2n+2) получается следующим образом.

Выберем из каждого набора v0,..., v2n+2 и -v0,..., -v2n+2 по n + 1 точке так, чтобы все выбранные точки имели попарно различные номера. Рассмотрим выпуклую оболочку выбранных точек; это будет (2n + 1)-мерный симплекс. Если такие симплексы не имеют общих внутренних точек, то их объединение и есть искомое пространство.

Прежде всего отметим, что ни одна из рассматриваемых выпуклых оболочек не содержит точку 0. Действительно, равенство ivi = 0 может выполняться лишь в том случае, когда все числа i равны, а мы рассматриваем только те выпуклые оболочки, в которые не входит один из векторов vi.

Пусть e – единичный вектор в R2n+2. Покажем, что луч {e : > 0} – пересекает рассматриваемое множество в одной точке. После изменения нумерации векторов можно считать, что e = ivi, где 0 1...

2n+2. Тогда e = e - k+1 vi = (i - k+1)vi = ivi, где i k при 0 i k, k+1 = 0 и i 0 при k+2 i 2k+2. Пусть = - i, i=2k+ = i и = + ; хотя бы одно из чисел и отлично от нуля, i=k+150 Глава III. Топологические пространства поскольку e = 0. Точка k 2k+ i i e - (-vi) + vi = i=0 i=k+принадлежит одной из рассматриваемых выпуклых оболочек (если = или = 0, то соответствующее слагаемое считается равным нулю).

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.