WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 49 |

Аналогично можно показать, что CPn получается из CPn-1 приклеиванием одной клетки размерности 2n. Будем считать, что D2n = {(z1,..., zn) Cn | |z1|2 +... + |zn|2 1}.

Рассмотрим отображение f : D2n CPn, заданное формулой f(z1,..., zn) = z1 :... : zn : 1 - |z1|2 -... - |zn|2.

На CPn \ CPn-1 обратное отображение имеет вид (z1 :... : zn+1) (-1z1zn+1,..., -1znzn+1), где 2 = |zn+1|2 (|z1|2 +... + |zn|2), > 0. Таким образом, на CPn можно ввести структуру CW -комплекса, имеющего клетки размерностей 2i, где i = 0, 1,..., n.

З а д а ч а 9.1. Докажите, что CPn получается из D2n Cn отождествлением следующих точек D2n = S2n-1: x x для всех C, || = 1.

Те же самые конструкции, с помощью которых мы строили CW -комплексы Sn, RPn и CPn, позволяют построить CW -комплексы S, RP и CP.

З а д а ч а 9.2. Докажите, что пространство S стягиваемо.

CW -комплексы во многом похожи на симплициальные комплексы.

Можно даже доказать, что любой CW -комплекс гомотопически эквивалентен симплициальному комплексу (доказательство этого утверждения приведено, например, в [13] и в [19]). Но существуют и CW -комплексы, не гомеоморфные симплициальным комплексам. Чтобы построить пример такого CW -комплекса, рассмотрим непрерывную функцию на отрезке I = [0, 1], заданную формулой f(x) = x sin( 2x) при x > 0, f(0) = / (рис. 52); образом отрезка I при отображении f служит отрезок [y1, 1].

Зададим отображение I2 R3 формулой (x, y) (x, xy, f(y)) (рис. 53). В плоскости x = 1 получаем график функции f. В плоскости x = c, 0 < c 1, получаем такой же график, только сжатый в c раз § 9. CW -комплексы = Рис. 52. График функции f Рис. 53. График отображения квадрата в направлении оси y. Наконец, в плоскости x = 0 получаем отрезок (0, 0, z), где z [y1, 1].

Рассмотрим CW -комплекс X, 0-мерные клетки которого – образы – вершин квадрата I2 и точка (0, 0, y1), 1-мерные клетки – образы сторон – квадрата и отрезок оси z от 0 до y1, 2-мерная клетка – образ квадрата.

– Нетрудно убедиться, что построенный CW -комплекс X не гомеоморфен никакому симплициальному комплексу, т. е. X – нетриангулируе– мый CW -комплекс. Действительно, X – компактное топологическое про– странство, поэтому симплициальный комплекс, гомеоморфный X, обязан иметь конечное число вершин. С другой стороны, все точки (0, 0, yi), где yi – значение функции f в точке локального максимума или миниму– ма, обязаны быть вершинами симплициального комплекса, гомеоморфного X. Это следует из строения малых окрестностей этих точек. В двух наиболее простых случая эти окрестности изображены на рис. 54 (а).

Рис. 54. Строение окрестности точки yi 138 Глава III. Топологические пространства В остальных случаях добавляется ещё несколько полуплоскостей; дополнительные полуплоскости изображены на рис. 54 (б).

9.3. Топологические свойства CW -комплексы обладают многими хорошими топологическими свойствами: любой CW -комплекс является хаусдорфовым (и даже нормальным) пространством; для CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связностью, любой CW -комплекс является локально стягиваемым пространством; любой CW -комплекс является паракомпактным пространством. Приступим к доказательству этих и других свойств CW -комплексов.

Т е о р е м а 9.2. Любой CW -комплекс X является нормальным топологическим пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что любой остов Xn является нормальным пространством. При n = 0 это утверждение очевидно:

любая точка дискретного пространства X0 одновременно открыта и замкнута. Шаг индукции – теорема 9.1.

– Докажем теперь нормальность пространства X. Пусть C X – за– мкнутое подмножество, f : C I – непрерывная функция. Функция f за– даёт на C X0 функцию f0, которую можно продолжить до функции Fна X0. Функции f и F0 задают на замкнутом множестве (C X1) Xфункцию f1, которую можно продолжить до функции на X1, и т. д. В результате получим функцию F : X I, непрерывную на каждом остове и, в частности, на каждой замкнутой клетке. Из свойства (w) следует, что функция F непрерывна.

З а д а ч а 9.3. Докажите, что любое компактное подмножество CW -комплекса пересекает лишь конечное число открытых клеток.

Для CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связностью, причём критерий связности CW -комплекса достаточно прост.

Т е о р е м а 9.3. а) CW -комплекс X связен тогда и только тогда, когда связен его 1-мерный остов X1.

б) CW -комплекс связен тогда и только тогда, когда он линейно связен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Если n 2, то приклеивание Dn к остову Xn-1 по отображению Sn-1 Xn-1 не изменяет количества компонент связности. Действительно, при n 2 образ Sn-1 при непрерывном отображении связен, поэтому он целиком лежит в одной компоненте связности. Кроме того, при приклеивании Dn к связному пространству получается связное пространство.

§ 9. CW -комплексы Ясно также, что CW -комплекс X связен, если связны его остовы Xn при n 1. Если же все остовы Xn несвязны, то CW -комплекс X тоже несвязен.

б) Для 1-мерных CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связностью. В доказательстве утверждения а) можно заменить слово связность на линейная связность, потому что при n « » « » сфера Sn-1 и диск Dn одновременно связны и линейно связны.

Топологическое пространство X называют локально стягиваемым, если для любой точки x X и для любого открытого множества U x существует такое стягиваемое открытое множество V, что x V U (стягиваемость множества V означает, что тождественное отображение V V гомотопно постоянному отображению V x). Свойство локальной стягиваемости весьма полезно в теории накрытий.

Т е о р е м а 9.4. Любой CW -комплекс X является локально стягиваемым пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим индукцией по остовам стягиваемую окрестность V данной точки, которая удовлетворяет ещё и дополнительному условию V U.

Для любой точки x X однозначно определена открытая клетка m m m int e int D, которая содержит точку x. Множество int e U открыто в топологии пространства Xm. Пусть Vm – открытый шар с центром x – m столь малого радиуса, что Vm int e U; ftm : Vm Vm – гомотопия, – связывающая тождественное отображение и отображение Vm x.

Предположим теперь, что для некоторого n m окрестность Vn в Xn и гомотопия ftn уже построены. Займёмся построением окрестности Vn+в Xn+1 и гомотопии ftn+1. Пусть : Dn+1 Xn+1 – характеристическое – отображение некоторой клетки. Тогда + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Vn = -1(Vn) – замкнутое подмножество – в Sn Dn+1, а U = -1 (U) – откры– тое (в топологии Dn+1) подмножество Dn+1, причём Vn U, так как Vn U.

Множество Vn компактно, поэтому для некоторого (0, 1) множество Vn+1 = {tv | 1 - t 1, v Vn} содержится в U (рис. 55). Множество Рис. 55. Построение множе Vn+1 = {tv | 1 - < t 1, v Vn} ства Vn+ открыто в Dn+1 и его замыкание совпадает с Vn+1. Легко постро ить гомотопию, связывающую тождественное отображение Vn+1 Vn+140 Глава III. Топологические пространства и естественную проекцию Vn+1 Vn. Построив такие окрестности Vn+1 и такие гомотопии для всех (n + 1)-мерных клеток, получим окрестность Vn+1 в Xn+1, для которой Vn+1 U; кроме того, получим гомотопию, связывающую тождественное отображение Vn+1 Vn+с некоторым отображением Vn+1 Vn, тождественным на Vn. Теперь с помощью гомотопии ftn можно построить требуемую гомотопию ftn+1.

Множество V = Vn открыто в X и гомотопии ftn определяют гомоn=топию, связывающую тождественное отображение V V и постоянное отображение V x.

Т е о р е м а 9.5. Любой CW -комплекс X является паракомпактным пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U = {U | A} – открытое покры– тие CW -комплекса X. Локально конечное покрытие V = {V | B}, вписанное в U, мы будем строить индукцией по остовам Xn, n = 0, 1,...

А именно, на n-м шаге мы построим открытое покрытие {V,n} остова Xn;

при этом V,0 V,1... и V = V,n. Семейство индексов B тоже n=строится индукцией по n: на n-м шаге добавляются индексы Bn (они соответствуют тем множествам V,n, которые нужно добавить, чтобы полностью покрыть Xn \ Xn-1).

При n = 0 положим B0 = X0; для B0 множество V,0 состоит из одной точки X0. Для B0 выберем () A так, что U().

Предположим, что для некоторого n 0 уже построены как семейства индексов B0,..., Bn, так и множества V,n, B0... Bn.

Мы построим множества V,n+1 двух разных типов. Во-первых, для B0... Bn расширим множество V,n до множества V,n+1 так, чтобы множество V,n+1 было открыто в Xn+1 и содержалось в U().

После этого часть множества Xn+1 \ Xn может остаться не покрытой множествами V,n+1. Поэтому, чтобы полностью покрыть Xn+1, построим дополнительно множества V,n+1, Bn+1, так, чтобы каждое из них содержалось в некотором множестве U(). При этом подразумевается, что V,0 = V,1 =... = V,n = для Bn+1.

Начнём с расширения множеств V,n. Пусть : Dn+1 Xn+1 – ха– рактеристическое отображение некоторой (n + 1)-мерной клетки, V,n = = -1 (V,n) и U() = -1(U()). Множество U = U() открыто в топологии Dn+1, поэтому множество Dn+1 \ U замкнуто. Кроме того, Sn = Dn+1 U. Следовательно, для некоторого (0, 1) множество {tv | 1 - t 1, v Sn} содержится в U. Изменив отображение § 9. CW -комплексы, можно считать, что = 1 2. Положим / V,n+1 = {tv | 1 2 < t 1, v V,n}.

/ Множество V,n+1 мы определим как объединение всех множеств (V,n+1) для всех (n + 1)-мерных клеток. Ясно, что V,n V,n+1 U() и множество V,n+1 открыто в Xn+1.

Займёмся теперь построением дополнительных множеств V,n+1. При этом мы снова будем предполагать, что характеристическое отображение изменено так, что = 1 2. Это означает, в частности, что если / B = {tv | 0 t < 3 4, v Sn}, то множество Dn+1 \ B уже покрыто мно/ жествами V,n+1, полученными при расширении множеств V,n. Остаётся покрыть множество B. Открытые множества int -1(U) покрывают компактное множество B, поэтому можно выбрать конечное множество индексов 1,..., k так, что множества int -1 (U ), i = 1,..., k, покрываi ют B. Положим V,n+1 = (B -1(U )), i = 1,..., k. Такие множества i i построим для всех (n + 1)-мерных клеток.

Ясно, что V Xn = V,n, поэтому V – открытое множество. Кроме – того, если Bn и V,n U(), то V U(). Поэтому остаётся лишь доказать, что покрытие V = {U | B} локально конечно. Сначала мы докажем индукцией по n, что Vn = {U,n | B0... Bn} – локально – конечное покрытие остова Xn. При n = 0 это очевидно. Пусть требуемое утверждение доказано для остовов размерности n. Рассмотрим произвольную точку x Xn+1. Пусть : Dn+1 Xn+1 – характеристическое – отображение клетки, содержащее точку x.

Предположим сначала, что точка x лежит на границе (n + 1)-мерной клетки, т. е. x Xn. Тогда по предположению индукции существует открытое в Xn множество Wn x, которое пересекается лишь с конечным числом множеств V,n. Положим Wn+1 = {tv | 3 4 < t 1, v -1 (Wn)}.

/ Множество Wn+1 определим как объединение множеств (Wn+1) для всех (n + 1)-мерных клеток, содержащих точку x. Множество Wn+1 открыто в Xn+1 и это множество не пересекается ни с одним из множеств V,n+1, где Bn+1 (таким множествам соответствуют t < 3 4).

/ Предположим теперь, что точка x лежит внутри (n + 1)-мерной клетки : Dn+1 Xn+1. Если x – центр шара, то положим Wn+1 = – = {tv | 0 < t < 1 2, v Sn} и Wn+1 = (Wn+1); множество Wn+1 не пе/ ресекается ни с одним из множеств V,n+1, где B0... Bn. Если же x – не центр шара, то пусть x – проекция точки x на Sn из центра – – шара. По предположению индукции существует открытое в Xn множество 142 Глава III. Топологические пространства Wn x, пересекающееся лишь с конечным числом множеств V,n. Поло жим Wn+1 = {tv | 0 < t < 1, v -1 (Wn)} и Wn+1 = (Wn+1). Множество Wn+1 пересекается лишь с теми множествами V,n+1, B0... Bn, для которых Wn V,n =. По построению каждая (n + 1)-мерная клетка пересекается лишь с конечным числом множеств V,n+1 для Bn+1. Поэтому множество Wn+1 пересекается лишь с конечным числом множеств V,n+1.

Предположим теперь, что точка x X лежит внутри n-мерной клетки.

Описанная выше конструкция позволяет построить последовательность множеств Wn Wn+1... При этом если m n, то x Wm и множество Wm открыто в Xm. Кроме того, множество Wm пересекается лишь с теми множествами V,m, для которых Wn V,n =. Поэтому множество W = Wm открыто в X и пересекается лишь с теми множествами V, m=n для которых Wn V,n =. Таких множеств конечное число.

9.4. Клеточная аппроксимация Пусть X и Y – CW -комплексы. Непрерывное отображение f : X Y – n называют клеточным, если f(Xn) Y.

Т е о р е м а 9.6 (о клеточной аппроксимации). Пусть X и Y – – CW -комплексы, A X – подкомплекс (возможно, A=), f : X Y – – – непрерывное отображение, ограничение которого на A является клеточным отображением. Тогда существует клеточное отображение g : X Y, гомотопное f, причём на A гомотопия неподвижна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуемое отображение g и требуемую гоn мотопию можно строить индукцией по размерности клетки в X, рассматривая каждую клетку отдельно и не изменяя отображение, которое уже построено на границе клетки. Чтобы построить отображение g, доm статочно рассмотреть отдельно каждую клетку e в Y, где m > n, и вы« n m m давить из неё образ клетки на границу e так, чтобы вне int e » отображение f не изменилось. Поэтому мы ограничимся рассмотрением следующей ситуации. Заданы непрерывное отображение f : Dn Y и характеристическое отображение клетки : Dm Y, где m > n; при этом f(Sn-1) Y \ int (Dm). Мы хотим построить непрерывное отображение g : Dn Y, обладающее следующими свойствами:

1) если f(x) int (Dm), то g(x) = f(x);

2) отображение g гомотопно f, причём гомотопия неподвижна вне int (Dm);

3) g(Dn) Y \ int (Dm).

§ 9. CW -комплексы Ш а г 1. Существует отображение g : Dn Y, которое обладает свойствами 1 и 2 и образу которого не принадлежит хотя бы одна точка y int (Dm).

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.