WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 49 |

Завершается глава подробным обсуждением полиномиальных инвариантов графов, интерес к которым в последнее время сильно вырос, поскольку обнаружились их связи с инвариантами узлов.

Глава II посвящена другому достаточно простому с точки зрения топологии объекту – евклидову пространству со стандартной топологией.

– Подмножества евклидова пространства могут иметь очень сложное топологическое строение, поэтому мы обсуждаем только несколько основных утверждений о топологии евклидова пространства и его подмножеств. Одна из основных задач топологии – классификация непрерыв– ных отображений одного топологического пространства в другое (на эти пространства могут быть наложены определённые ограничения; классификация проводится с точностью до некоторой эквивалентности. Простейшие классификации такого рода связаны с кривыми на плоскости, т. е. с отображениями S1 в R2. Сначала мы доказываем теорему Жордана и теорему Уитни–Грауштейна о классификации гладких замкнутых кри– вых с точностью до регулярной гомотопии. Затем несколькими разными способами доказываются теорема Брауэра о неподвижной точке и лемма Шпернера (помимо стандартного варианта леммы Шпернера приведён и более точный её вариант, учитывающий ориентации симплексов). Доказана также теорема Какутани, обобщающая теорему Брауэра. Глава завершается теоремой Титце о продолжении непрерывных отображений, которая выводится из леммы Урысона, и двумя теоремами Лебега: теоремой Лебега об открытых покрытиях, без которой не обходятся строгие доказательства многих теорем теории гомотопий и гомологий, и теоремой Лебега о замкнутых покрытиях, которая служит основой для определения понятия топологической размерности.

Глава III начинается с элементов общей топологии – того необходи– мого минимума, который постоянно используется в алгебраической топологии. Здесь обсуждаются три свойства (хаусдорфовость, нормальность, паракомпактность), наличие которых существенно облегчает работу с топологическими пространствами. Затем обсуждаются два важнейших для алгебраической топологии класса топологических пространств – – симплициальные комплексы и CW -комплексы, приводится необходимая для работы с ними техника (клеточные и симплициальные аппроксимации) и доказывается, что они обладают тремя упомянутыми выше свойствами. Здесь также вводится понятие степени отображения для псевдомногообразий, и с помощью степени доказывается теорема Борсука– – Улама, из которой выводятся многочисленные следствия. Завершается глава описанием конструкций, применимых к топологическим пространствам, в том числе джойна, взрезанного джойна и симметрической степеПредисловие ни. С помощью взрезанного джойна доказывается, что некоторые n-мерные симплициальные комплексы нельзя вложить в R2n.

В главе IV обсуждаются весьма разнообразные темы – двумерные – поверхности, накрытия, локальные гомеоморфизмы, графы на поверхностях (род графа, раскраски карт на графах), расслоения, гомотопические группы.

В главе V мы обращаемся к дифференциальной топологии. Здесь обсуждаются гладкие многообразия и приложения гладких отображений в топологии. Сначала вводится основная техника (гладкие разбиения единицы, теорема Сарда) и обсуждается важный для всей топологии пример – многообразия Грассмана. Затем обсуждаются понятия, связан– ные с касательным пространством: векторные поля и дифференциальные формы. После этого доказываются важные для работы с гладкими многообразиями теоремы о существовании вложений и погружений (в том числе и о вложениях некомпактных многообразий в качестве замкнутых подмножеств). Помимо этого доказывается, что замкнутое неориентируемое многообразие размерности n нельзя вложить в Rn+1 и выясняется, какие двумерные поверхности вкладываются в RP3. Далее вводится гомотопический инвариант – степень гладкого отображения. С помощью сте– пени определяется индекс особой точки векторного поля. Доказывается теорема Пуанкаре–Хопфа о гомотопической классификации отображе– ний Mn Sn. Приводится конструкция Понтрягина, интерпретирующая n+k (Sn) как множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k. Глава завершается теорией Морса, которая связывает топологическое строение многообразия с локальными свойствами особых точек невырожденной функции на данном многообразии. Приводятся явные примеры функций Морса на некоторых многообразиях, в том числе и на многообразиях Грассмана.

Глава VI посвящена явным вычислениям фундаментальной группы некоторых пространств и приложениям фундаментальной группы.

Прежде всего доказывается теорема о задании фундаментальной группы CW -комплекса образующими и соотношениями и приводятся некоторые примеры применения этой теоремы. Иногда фундаментальную группу более удобно вычислять с помощью точной последовательности расслоения. Так обстоит дело, например, с фундаментальной группой SO(n). При вычислении фундаментальной группы нередко бывает полезна теорема ван Кампена о строении фундаментальной группы объединения двух открытых множеств. Её можно использовать, например, для вычисления фундаментальной группы дополнения узла. В конце главы приводится другая теорема ван Кампена – о вычислении фундаментальной группы – дополнения алгебраической кривой в CP2. Соответствующие вычисления 12 Предисловие для конкретных кривых довольно сложные; здесь есть много интересных результатов, но многое пока остаётся не до конца понятным.

Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники.

Этим она отличается от большинства книг по топологии.

Книга рассчитана на читателей, знакомых с основными понятиями геометрии, линейной алгебры и анализа. В частности, предполагается некоторое знакомство с открытыми, замкнутыми и компактными множествами в евклидовом пространстве.

Для самостоятельного обдумывания в книге предлагаются три вида заданий. 1) Упражнения, которые не должны вызвать затруднений; их решения не приводятся. 2) Задачи, которые уже не столь просты, а потому в конце книги приведены их решения. 3) Задачи со звёздочкой, « » каждая из которых составляет содержание отдельной научной статьи.

В качестве задач эти утверждения сформулированы для того, чтобы не перегружать основной текст книги. Решения этих задач тоже приведены в конце книги. Задачи составлены по материалам семинаров по топологии для студентов I и II курса Независимого московского университета, которые автор вёл в 2002 г.

Во время работы над этой книгой я получал финансовую поддержку от Российского фонда фундаментальных исследований согласно проекту 01–01–00660.

Основные определения Для начала нам потребуются лишь основные понятия топологии. Приведём их определения.

Топологическим пространством называют множество X, в котором выделена система подмножеств, обладающая следующими свойствами:

1) пустое множество и всё множество X принадлежат ;

2) пересечение конечного числа элементов принадлежит ;

3) объединение любого семейства элементов принадлежит.

Множества, принадлежащие, называют открытыми. Окрестностью точки x X называют любое открытое множество, содержащее x.

Множества, дополнения которых открыты, называют замкнутыми.

Важнейшим примером топологического пространства служит евклидово пространство Rn. Открытыми множествами в Rn являются шары n Da, = {x Rn | x - a < } и всевозможные их объединения.

Семейство множеств называют базой топологии, если любой элемент системы является объединением элементов системы.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что семейство множеств является базой топологии тогда и только тогда, когда для любой точки x и для любой её окрестности U найдётся такое множество V, что x V U.

У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что семейство множеств является базой некоторой топологии тогда и только тогда, когда для любых двух множеств U, V и для любой точки x U V найдется такое множество W, что x W U V.

Топологическое пространство X называют пространством со счётной базой, если у него есть база, состоящая из счётного семейства множеств.

n Например, открытые шары Da,, где число и все координаты точки a рациональны, образуют счётную базу пространства Rn.

Если X – топологическое пространство, то на любом его подмноже– стве Y можно ввести индуцированную топологию, считая открытыми множествами пересечения Y с открытыми подмножествами X. Это позволяет снабдить сферу Sn = {x Rn+1 | x = 1} структурой топологического пространства.

Отображение одного топологического пространства в другое называют непрерывным, если прообраз любого открытого множества от14 Основные определения крыт. Эквивалентное условие: прообраз любого замкнутого множества замкнут.

При доказательстве того, что отображение f непрерывно, часто бывает удобно пользоваться следующим критерием непрерывности: отображение f : X Y непрерывно тогда и только тогда, когда для любой точки x X и для любой окрестности U точки f(x) существует окрестность V(x) точки x, образ которой целиком лежит в U. Действительно, если выполняется второе условие, то множество f-1 (U), где U – открытое множество, можно представить в виде – f-1(U) = V(x), поэтому оно открыто. В другую сторону утверждеxf-1 (U) ние очевидно: в качестве V(x) можно взять f-1 (U).

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что отображение f : Rn Rm непрерывно тогда и только тогда, тогда для любого x Rn и для любого > существует такое > 0, что если x - a <, то f(x) - f(a) <.

В топологии довольно часто используется следующее утверждение о склейке непрерывных отображений.

Т е о р е м а 0.1. Пусть X = X1... Xn, причём множества X1,..., Xn замкнуты. Рассмотрим отображение f : X Y и его ограничения fi = f|X. Отображение f непрерывно тогда и только тогда, i когда непрерывны все отображения fi.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что если отображение f непрерывно, то все отображения fi тоже непрерывны. Предположим, что все отображения fi непрерывны и C Y – произвольное замкнутое множество.

– Тогда множество Ci = fi-1(C) = f-1(C) Xi замкнуто в Xi, т. е. существует замкнутое в X множество Ci, для которого Ci = Ci Xi. Оба множества Ci и Xi замкнуты в X, поэтому множество Ci тоже замкнуто в X. Следовательно, множество f-1(C) = C1... Cn замкнуто в X.

Отображение f : X Y называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и оба отображения f и f-1 непрерывны. Топологические пространства X и Y называют в таком случае гомеоморфными.

У п р а ж н е н и е 4. Докажите, что пространства Rn и Sn \ {x0} гомеоморфны.

З а д а ч а 0.1. Докажите, что Sn+m-1 \ Sn-1 Rn Sm-1. (Предполагается, что сфера Sn-1 расположена в Sn+m-1 стандартно.) Топологическое пространство X называют дискретным, если любое его подмножество открыто (эквивалентное определение: любое его подмножество замкнуто). Топологию дискретного топологического пространства называют дискретной. Если X – дискретное топологическое – пространство, а Y – произвольное топологическое пространство, то лю– бое отображение f : X Y непрерывно.

Основные определения Топологическое пространство X называют связным, если оно не содержит собственных подмножеств, которые одновременно открыты и замкнуты. Иными словами, если множество A X одновременно открыто и замкнуто, то либо A =, либо A = X.

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что пространство Rn связно.

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что если X – связное топологическое – пространство, а Y – дискретное топологическое пространство, то любое – непрерывное отображение f : X Y постоянно, т. е. f(X) состоит из одной точки.

Множество X называют метрическим пространством, если для любых двух точек x, y X определено число d(x, y) 0, причем выполняются следующие свойства:

1) d(x, y) = d(y, x);

2) d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (неравенство треугольника);

3) d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

Число d(x, y) называют расстоянием между точками x и y.

n Для любого метрического пространства X открытые шары Da, = = {x X | d(x, a) < } образуют базу некоторой топологии. Эту топологию называют топологией, индуцированной метрикой d. Если X – то– пологическое пространство, топология которого индуцируется некоторой метрикой, то в таком случае X называют метризуемым топологическим пространством.

Топологическое пространство называют компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

У п р а ж н е н и е 7. Докажите, что сфера Sn компактна, а пространство Rn некомпактно.

У п р а ж н е н и е 8. Докажите, что непрерывный образ компактного пространства компактен.

З а д а ч а 0.2. Пусть K – компактное метрическое пространство – с метрикой. Предположим, что f : K K – непрерывное отображение, – для которого f(x), f(y) < (x, y) для любых x, y K, x = y. Докажите, что отображение f имеет неподвижную точку.

На прямом произведении X Y топологических пространств X и Y можно задать топологию прямого произведения. Для этого нужно считать открытыми множествами в X Y прямые произведения открытых множеств в X и Y, а также всевозможные их объединения.

Топология прямого произведения возникает из естественного требования непрерывности проекций pX (x, y) = x и pY (x, y) = y. В самом деле, чтобы эти отображения были непрерывны, множества U Y и X V, где U X и V Y – открытые множества, должны быть открытыми. Ми– 16 Основные определения Рис. 1. Цилиндр и лист Мёбиуса нимальная топология на множестве X Y, включающая все указанные множества, совпадает с топологией прямого произведения.

Отметим, что прямым произведением S1 I, где I – отрезок [0, 1], – является цилиндр (рис. 1 (а)), а не лист Мёбиуса (рис. 1 (б)). Дело в том, что хотя и для листа Мёбиуса можно указать естественную проекцию на S1, но естественную проекцию на I для него указать не удаётся.

Для любого подмножества Y топологического пространства X можно определить факторпространство X Y, отождествив все точки мно/ жества Y друг с другом. При этом точками пространства X Y служат / все точки множества X \ Y и одна точка Y. Множество в X Y является / открытым тогда и только тогда, когда его прообраз при естественной проекции p : X X Y открыт.

/ Факторпространство можно определить также и в том случае, когда на множестве X задано отношение эквивалентности. А именно, точками факторпространства X служат классы эквивалентности;

/ множество в X открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при / естественной проекции p : X X открыт. (Если x1 x2 тогда и только / тогда, когда x1, x2 Y X, то мы получаем предыдущую конструкцию.) Глава I Графы В этой главе теория графов обсуждается существенно более подробно, чем это обычно делается в курсах топологии. При этом § 1 и 3 относятся собственно к теории графов и в дальнейшем не используются.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.