WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 49 |

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вершины v,..., v образуют симплекс 0 k k тогда и только тогда, когда st v... st v = st k =.

0 k Будем называть открытое покрытие U пространства X стягиваемым, если все непустые конечные пересечения U... U стягива0 k емы. Нерв стягиваемого покрытия несёт много информации о гомотопическом строении пространства X. Например, справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 8.10. Пусть U = {U} – стягиваемое локально ко– нечное покрытие паракомпактного пространства X. Тогда нерв N = N(U) гомотопически эквивалентен X.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Стягиваемость покрытия и паракомпактность пространства используются в разных местах доказательства.

Поэтому будем считать, что U – произвольное локально конечное от– крытое покрытие произвольного пространства X. Построим вспомогательное пространство XU следующим образом. Для каждого непустого пересечения U... U = U...n рассмотрим прямое произведе0 n ние U...n n, где n – симплекс с вершинами 0,..., –...n...n 0 n. Затем в дизъюнктном объединении таких топологических пространств произведём следующую склейку: отождествим точку (x, y), где § 8. Симплициальные комплексы x U...n и y [0... i... n] n, с соответствующей точкой...n 0 пространства U...i...n n-1 ; здесь мы пользуемся тем, что 0...i...n U...n U...i...n.

0 Ш а г 1. Если пространство X паракомпактно, то X XU.

Пусть p : XU X – отображение, индуцированное естественными – проекциями U...n n U...n. Это отображение непрерывно,...n 0 поскольку покрытие U открытое. Каждую точку множества p-1 (x) можно записать в виде суммы tx, где t 0, t = 1 и x = x для U x.

Эта сумма конечная, поскольку покрытие локально конечное.

Из паракомпактности пространства X следует, что существует разбиение единицы {}, подчинённое покрытию {U}, т. е. supp U. По строим отображение s : X XU следующим образом: s(x) = (x)x;

здесь имеется в виду, что если (x) = 0, то соответствующее слагаемое нулевое, а если (x) = 0, то x U и мы полагаем x = x. Ясно, что p s = idX. Нужно лишь проверить, что s p idX. Пусть точка x приU надлежит множествам U,..., U и не принадлежит никаким другим 0 n множествам U. Тогда точки y = tx и s p(y) = x принадлежат симплексу с вершинами x,..., x. Требуемая 0 n гомотопия строится следующим образом: мы соединяем точки y и s p(y) отрезком и равно мерно подтягиваем точку s p(y) к точке y.

Ш а г 2. Если покрытие U стягиваемое, то XU |N(U)|.

Возьмём пространство XU. Сначала над каждой вершиной стянем в точку множество U, затем над каждой внутренней точкой ребра [, ] стянем в точку множество U,, затем над каждой внутренней точкой симплекса [,, ] стянем в точку множество U,, и т. д. В итоге получим пространство |N(U)|.

8.6. Псевдомногообразия Конечный симплициальный комплекс K называют n-мерным псевдомногообразием, если выполняются следующие условия:

– однородность: каждый симплекс из K является гранью некото– рого n-мерного симплекса ;

– неразветвлённость: каждый (n - 1)-мерный симплекс из K яв– ляется гранью не более чем двух n-мерных симплексов ;

– сильная связность: для любых двух n-мерных симплексов n и – a n найдётся последовательность симплексов n = n, n,..., n = n, a b 1 2 k b в которой соседние члены n и n имеют общую (n - 1)-мерную грань.

i i+Объединение всех (n - 1)-мерных симплексов n-мерного псевдомногообразия Mn, которые являются гранью ровно одного n-мерного 124 Глава III. Топологические пространства симплекса, называют краем и обозначают Mn. Если Mn =, то псевдомногообразие Mn называют замкнутым. В замкнутом псевдомногообразии Mn любой (n - 1)-мерный симплекс является гранью ровно двух n-мерных симплексов.

Назовём ориентацией симплекса n Rn семейство всех одинаково ориентированных реперов в Rn с началами в точках симплекса n.

При n > 0 каждый симплекс имеет ровно две ориентации. Если симплекс снабжён ориентацией, то эту ориентацию называют положительной, а противоположную ориентацию называют отрицательной.

Ориентация симплекса n индуцирует ориентацию его грани n- n следующим образом. Выберем в точке x n-1 положительно ориентированный репер, первые n - 1 векторов которого принадлежат n-1, а последний вектор направлен внутрь n. Ориентацию, заданную в n-1 первыми n - 1 векторами, будем считать положительной.

Псевдомногообразие Mn называют ориентируемым, если во всех его n-мерных симплексах можно выбрать ориентацию так, что любые два симплекса, имеющие общую (n - 1)-мерную грань, индуцируют на ней противоположные ориентации. Из условия сильной связности следует, что если псевдомногообразие ориентируемо, то его ориентацию можно выбрать ровно двумя способами. Ориентируемое псевдомногообразие Mn с фиксированной ориентацией называют ориентированным.

П р и м е р. Представим лист Мёбиуса в виде абстрактного симплициального комплекса с шестью вершинами (рис. 46). Реализовав этот абстрактный симплициальный комплекс в R5 (это можно сделать согласно теореме 8.4 на с. 116), получим неориентируемое псевдомногообразие.

П р и м е р. Пусть Mn Rm – псевдомногообразие (возможно, с – краем). Вложим Rm в Rm+1 и выберем в Rm+1 \ Rm точку a. Объединение всех отрезков вида [a, x], где x Mn, является (n + 1)-мерным псевдомногообразием. Его называют надстройкой над Mn и обозначают Mn.

Рис. 46. Триангуляция листа Мёбиуса § 8. Симплициальные комплексы З а м е ч а н и е. Надстройка над обычным (топологическим или гладким) замкнутым многообразием Mn может быть многообразием лишь в том случае, когда Mn – гомологическая сфера. Таким образом, псев– домногообразия образуют более широкий класс, чем многообразия.

С другой стороны, если Mn – псевдомно– гообразие и (Mn)n-2 – его (n - 2)-мерный – остов, то Mn \ (Mn)n-2 является многообразием, т. е. псевдомногообразие становится многообразием после выбрасывания множества коразмерности 2.

П р и м е р. Надстройка над 2-мерным псевдомногообразием, изображенным на рис. 47, является 3-мерным псевдомногообразием, край которого – не псев– Рис. 47. Край надстройки – – домногообразие (не выполняется условие не псевдомногообразие сильной связности).

8.7. Степень отображения в евклидово пространство Пусть Mn – псевдомногообразие размерности n. Будем называть – отображение f : Mn Rm симплициальным, если ограничение f на каждый симплекс является линейным отображением (в аффинном смысле). Симплициальное отображение Mn Rm полностью определяется ограничением на 0-мерный остов (Mn)0, причём любое отображение (Mn)0 Rm продолжается до симплициального отображения Mn Rm.

Рассмотрим симплициальное отображение f : Mn Rn (размерности одинаковые). Назовём точку y Rn регулярным значением отображения f, если точка y не принадлежит образу (n - 1)-мерного остова псевдомногообразия Mn. Регулярные значения образуют в Rn всюду плотное подмножество.

Пусть Mn – ориентированное псевдомногообразие, f : Mn Rn – – – симплициальное отображение и y – регулярное значение отображения f.

– Назовём степенью отображения f относительно точки y число deg(f, y) = sgn Jf (x), xf-1 (y) где sgn Jf (x) – знак якобиана отображения f в точке x, т. е. sgn Jf (x) = 1, – если симплекс n, внутри которого лежит точка x, отображается на симплекс f(n) Rn с сохранением ориентации; в противном случае sgn Jf (x) = -1.

126 Глава III. Топологические пространства Т е о р е м а 8.11. Пусть Mn – ориентированное псевдомного– образие, f : Mn Rn – симплициальное отображение, y1 и y2 – – – регулярные значения отображения f. Тогда если точки y1 и yпринадлежат одной и той же компоненте связности множества Rn \ f(Mn), то deg(f, y1) = deg(f, y2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Образ (n - 2)-мерного остова псевдомногообразия Mn не разбивает Rn, поскольку (n - 2)-мерное подпространство в Rn не разбивает Rn. Поэтому в Rn существует конечнозвенная ломаная L с концами y1 и y2, которая не пересекает образ (n - 2)-мерного остова, не пересекает f(Mn) и пересекает образ (n - 1)-мерного остова лишь в конечном числе точек a1,..., ak. Множество f-1 (ai) не содержит точек, принадлежащих симплексам размерности n - 2, поэтому множество f-1 (ai) является объединением конечного числа множеств, каждое из которых либо состоит из одной внутренней точки (n - 1)-мерной грани, либо представляет собой отрезок внутри n-мерной грани, соединяющий внутренние точки двух его (n - 1)-мерных граней.

По условию f-1 (ai) Mn =, поэтому как внутренней точке (n - 1)-мерного симплекса, так и отрезку внутри n-мерного симплекса соответствуют два n-мерных симплекса. Если образы этих симплексов имеют одинаковые ориентации, то при прохождении через точку ai количество прообразов не изменяется и знаки якобианов в них тоже не изменяются: см. рис. 48 (а); при этом мы имеем в виду только прообразы, принадлежащие двум рассматриваемым симплексам. Если же образы симплексов имеют разные ориентации, то либо возникают, либо исчезают два прообраза с противоположными знаками якобиана (рис. 48 (б)). Сумма знаков якобианов при этом не изменяется.

Т е о р е м а 8.12. Пусть Mn – ориентированное псевдомногооб– разие, f, g : Mn Rn – симплициальные отображения, ограничения – которых на Mn совпадают. Предположим, что y – регулярное – значение отображений f и g. Тогда deg(f, y) = deg(g, y).

Рис. 48. Прохождение через критическое значение § 8. Симплициальные комплексы Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим семейство отображений ft = = (1 - t) f + tg. Ясно, что f0 = f, f1 = g и ограничение отображения ft на Mn не зависит от t.

Пусть X – компонента связности множества Rn \ ft (Mn), содержа– щая точку y (множество X не зависит от t, потому что множество ft (Mn) не зависит от t). Множество X открытое, поэтому регулярные значения отображения ft образуют в нём всюду плотное подмножество. В частности, каждое отображение ft имеет регулярное значение yt X. Согласно теореме 8.11 deg(ft, yt) не зависит от выбора регулярного значения yt X, поэтому можно определить функцию (t) = deg(ft, yt).

Для любого регулярного значения yt X отображения ft существует > 0, обладающее следующими свойствами: при всех (t -, t + ) [0, 1] точка yt является регулярным значением отображения f и про-образ f (yt) при всех состоит из одного и того же числа точек с одними и теми же знаками якобианов. Действительно, если yt – внутренняя – точка образа n-мерного симплекса при линейном отображении в Rn, то при малом шевелении линейного отображения точка yt останется внутренней точкой образа. Итак, функция (t) постоянна на множестве Ut = (t -, t + ) [0, 1]. Семейство множеств {Ut}, t [0, 1], образует открытое покрытие отрезка [0, 1]. Выбрав из этого покрытия конечное подпокрытие, легко убедиться, что функция (t) постоянна на всём отрезке [0, 1], поэтому (0) = (1), т. е. deg(f, y1) = deg(f, y0).

С помощью теоремы 8.12 легко доказывается лемма Шпернера, причём даже в уточнённой форме (теорема 6.9 на с. 95). Основная идея доказательства ясна уже в случае 2-мерных симплексов, поэтому мы ограничимся этим случаем (подробное доказательство для n-мерных симплексов приведено в [130]). Вложим триангулированный симплекс в больший симплекс и триангулируем этот новый объект (рис. 49). При этом нужно, чтобы не появилось новых симплексов с полными наборами поме Рис. 49. Дополнительная триангуляция симплекса 128 Глава III. Топологические пространства ток; этого легко добиться. Большой триангулированный симплекс является ориентированным псевдомногообразием. Рассмотрим симплициальное отображение f этого псевдомногообразия на фиксированный симплекс в Rn с полным набором пометок (вершина с номером i отображается в вершину с номером i). На крае отображение f совпадает с тождественным отображением, поэтому его степень (относительно внутренней точки симплекса ) равна 1. Но степень отображения f как раз и равна разности между количествами симплексов с полным набором пометок с положительной и отрицательной ориентациями. А по построению новых симплексов с полным набором пометок не появилось.

8.8. Теорема Борсука–Улама – В 1933 г. К. Борсук [38] доказал следующее утверждение, предположение о справедливости которого высказал ранее С. Улам.

Т е о р е м а 8.13 (Борсук–Улам). Пусть f : Sn Rn – непрерыв– – ное отображение. Тогда f(x) = f(-x) для некоторой точки x Sn.

Точки x и -x называют антиподами, поэтому теорему Борсука– – Улама иногда называют теоремой об антиподах.

Отображение g : Sn Rn называют нечётным, или антиподальным, если g(-x) = -g(x). Легко видеть, что теорема Борсука–Улама – эквивалентна следующему утверждению.

Т е о р е м а 8.14. Пусть g : Sn Rn – нечётное отображение.

– Тогда g(x) = 0 для некоторой точки x Sn.

Действительно, если f : Sn Rn – произвольное отображение, то – отображение g(x) = f(x) - f(-x) нечётно, а равенство f(x) = f(-x) эквивалентно равенству g(x) = 0. Наоборот, если g : Sn Rn – нечётное – отображение и теорема Борсука–Улама верна, то g(x) = g(-x) для неко– торой точки x Sn. С другой стороны, g(-x) = -g(x), поэтому g(x) = 0.

Теорему 8.14 мы выведем из следующего утверждения.

Т е о р е м а 8.15. Пусть h: Dn Rn – отображение, ограниче– ние которого на Sn-1 = Dn нечётно. Тогда h(x) = 0 для некоторой точки x Dn.

Чтобы вывести теорему 8.14 из теоремы 8.15, нужно в качестве Dn взять сечение шара Dn+1 (с краем Sn) плоскостью, проходящей через центр, а в качестве h взять композицию проекции Dn на полусферу и отображения g.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 8.15. Вместо Dn мы будем рассматривать n-мерный куб In, где I = [-1, 1]. Этот куб симметричен относительно начала координат. Предположим, что ограничениеотображения § 8. Симплициальные комплексы h: In Rn на In нечётно и 0 h(In). Множество h(In) компактно, поэтому оно не пересекается с некоторым шаром с центром 0. Пусть r – – радиус этого шара.

Из равномерной непрерывности отображения h следует, что для достаточно мелкой триангуляции куба In образ любого симплекса лежит в шаре диаметра < r. Для каждой вершины v такой триангуляции положим h (v) = h(v) и продолжим отображение h на каждый симплекс по линейности. Любая точка x In принадлежит какому-то симплексу триангуляции, поэтому точки h(x) и h (x) принадлежат одному и тому же шару диаметра, а значит, h(x) - h(x).

Триангуляцию куба In можно построить так, что она будет симметрична относительно начала координат. В таком случае ограничение отображения h (x) на In нечётно. Кроме того, из неравенства h(x) - h (x) следует, что 0 h(In).

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.