WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 49 |

Множество A называют вполне упорядоченным, если оно упорядочено и любое его непустое подмножество имеет первый элемент, пред« » шествующий всем остальным его элементам. Согласно теореме Цермело любое множество A можно вполне упорядочить. Предположим, что множество A вполне упорядочено и свойство P таково, что если все элементы, предшествующие элементу A, обладают свойством P, то и элемент обладает свойством P (в частности, первый элемент множества A обладает свойством P). Тогда все элементы множества A обладают свойством P. Действительно, если множество элементов A, не обладающих свойством P, не пусто, то в нём есть первый элемент 0. Все элементы, предшествующие элементу 0, обладают свойством P, поэтому элемент 0 тоже обладает свойством P. Получено противоречие.

Предположим, что для всех < 0 существуют такие открытые множества V, что V U и для всех 1 < 0 множества V, 1, вместе с множествами U, > 1, образуют покрытие пространства X. Требуется построить открытое множество V так, что V U и множества V, 0 0 0, вместе с множествами U, > 0, образуют открытое покрытие пространства X.

Прежде всего покажем, что множества V, < 0, вместе с множествами U, 0, образуют покрытие пространства X. Для этого мы воспользуемся локальной конечностью покрытия U. Любая точка x X принадлежит лишь конечному числу множеств U,..., U, по1 n этому среди элементов 1,..., n можно выбрать последний. Пусть « » для определённости n > i, i = 1,..., n - 1. Если n 0, то x U, где = n 0. Если же n < 0, то согласно предположению множе110 Глава III. Топологические пространства ства V, n, вместе с множествами U, > n, образуют покрытие множества X. Но x U при > n, поэтому x V V.

n < Итак, открытое множество W = V U вместе с мно<>жеством U покрывает всё пространство X, поэтому X \ U W. За0 мкнутые множества X \ U и X \ W не пересекаются, поэтому из нормальности пространства X следует, что существуют непересекающиеся открытые множества Z X \ U и T X \ W. Ясно, что при этом X \ U Z Z X \ T W.

Положим V = X \ Z. Множество V обладает всеми требуемыми 0 свойствами. Действительно, V = X \ Z U и V W = X, посколь0 0 ку Z W.

Перейдём теперь непосредственно к построению единицы, подчинённого покрытию U. Вместо покрытия U мы будем рассматривать построенное выше покрытие V, для которого V U. Ясно, что покрытие V тоже локально конечно. Из нормальности пространства X следует, что существует такое открытое множество W, что V W W U. По теореме Титце существует непрерывное отображение g : X [0, 1], для которого g (X \ W) = 0, т. е. supp g W U и g (V) = 1. Множества V V покрывают X, поэтому g (x) > 0 для любой точки x X.

A Из локальной конечности покрытия V следует, что функция g (x) A непрерывна. Чтобы построить требуемое разбиение единицы, положим (x) = g (x) g (x).

/ A С л е д с т в и е т е о р е м 7.9 и 7.10. Для любого открытого покрытия паракомпактного пространства X существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U = {U | A} – открытое покры– тие паракомпактного пространства X, V = {V | B} – локально ко– нечное покрытие X, вписанное в U. Тогда существует такое отображение A: B A, что V UA(). Согласно теореме 7.9 пространство X нормально, поэтому согласно теореме 7.10 существует разбиение единицы {}, подчинённое покрытию V. Для каждого A поло жим =. Эта сумма имеет смысл и непрерывна, поскольку A()= supp V и покрытие V локально конечно. Пусть C = supp.

A()= Множество C является объединением локально конечного семейства § 7. Элементы общей топологии замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто. Ясно также, что C U и (x) = 0 при x C. Поэтому supp C U.

Легко проверить, что семейство множеств {C} локально конечно.

Действительно, для любой точки x X существует окрестность W, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия V; обозначим их V,..., V. Окрестность W не пересекается с C, если 1 k {A(1),..., A(k)}. Таким образом, семейства множеств {supp } и {supp } локально конечны, поэтому (x) = (x) = (x) = 1.

A A A()= B Ранее было доказано (см. с. 105), что для любого не более чем счётного покрытия метризуемого пространства существует подчинённое ему разбиение единицы. Докажем теперь следующее несколько более сильное утверждение.

Т е о р е м а 7.11 (Стоун [124]). Метризуемое пространство паракомпактно.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [115]). Пусть U = {U | A} – откры– тое покрытие метрического пространства X с метрикой d. Мы снова воспользуемся тем, что множество A можно вполне упорядочить. Для x X и r > 0 рассмотрим открытый шар Dx,r = {y X | d(x, y) < r}. Для A и n N определим V,n как объединение множеств Dx,2-n для всех точек x X, удовлетворяющих следующим трём условиям:

1) Dx,3·2-n U;

2) x U при < ;

3) x V,j при j < n.

Множества V,n определяются сначала для n = 1 (в этом случае рассматриваются только первые два условия), затем для n = 2, и т. д.

Первым делом докажем, что множества V,n покрывают всё пространство X. Для произвольной точки x X рассмотрим множество B = { A | x U}. Пусть – первый элемент множества B. Число n – выберем так, что Dx,3·2-n U. Если x V,j при j < n, то для x выполняются свойства 1–3, поэтому x V,n. Следовательно, точка x принадлежит некоторому множеству V,j, где j n.

Остаётся доказать, что покрытие {V,n} локально конечно. Для точки x X рассмотрим множество B = { A | x V,n для некоторого n}.

Пусть – первый элемент множества B и x V,n. Выберем j N так, – что Dx,2-j V,n. Покажем, что открытое множество Dx,2-j-n пересе112 Глава III. Топологические пространства кается лишь с конечным числом множеств V,i. Для этого достаточно доказать, что это множество не пересекает V,i при i n + j и пересекает не более одного множества V,i при i < n + j.

Предположим сначала, что i n + j > n. Множество V,i состоит из открытых шаров радиуса 2-i, центры которых удовлетворяют условиям 1–3. В частности, из свойства (3) следует, что если y – центр такого – шара, то y V,n. Но Dx,2-j V,n, поэтому d(x, y) 2-j. С другой стороны, n + j j + 1 и i j + 1, поэтому 2-j-n + 2-i 2-j, а значит, Dx,2-j-n Dy,2-i =.

Предположим теперь, что i < n + j, p Dx,2-j-n V,i и q Dx,2-j-n V,i, причём =. Пусть для определённости <. Чтобы прийти к противоречию, достаточно доказать, что если p V,i и q V,i, где <, то d(p, q) 2-j-n+1. Пусть y и z – центры шаров Dy,2-i и Dz,2-i, – для которых p Dy,2-i V,i и q Dz,2-i V,i. Согласно условию Dy,3·2-i U, а согласно условию 2 z U. Поэтому d(y, z) 3 · 2-i, а значит, d(p, q) d(y, z) -d(p, y) -d(q, z) 3·2-i -2-i -2-i =2-i 2-n-j+1.

§ 8. Симплициальные комплексы Евклидово пространство Rn является наиболее важным примером топологического пространства. Все основные классы топологических пространств (симплициальные комплексы, CW -комплексы, многообразия) строятся посредством склейки евклидовых симплексов или шаров. По чисто техническим причинам в гомотопической топологии CW -комплексы более удобны, чем симплициальные комплексы. Дело в том, что симплициальные комплексы несут слишком много геометрической информации, явно излишней для нужд топологии. Тем не менее, симплициальные комплексы представляют собой достаточно интересный и достаточно обширный класс топологических пространств. В геометрической топологии именно симплициальные комплексы наиболее удобны (по крайней мере, наиболее часто используются).

Симплициальным комплексом K называют набор симплексов в Rn, удовлетворяющий следующим условиям:

– любая грань симплекса из K принадлежит K ;

– – пересечение любых двух симплексов из K является гранью каждого – из них (для удобства мы полагаем, что пустое множество является гранью размерности -1 любого симплекса);

§ 8. Симплициальные комплексы – любая точка, принадлежащая одному из симплексов K, имеет – окрестность, которая пересекается с конечным числом симплексов из K.

Размерностью комплекса K называют максимальную размерность входящих в него симплексов.

Симплициальный комплекс K называют конечным, если он состоит из конечного числа симплексов. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном конечные симплициальные комплексы.

Каждому симплициальному комплексу K можно сопоставить топологическое пространство |K| – объединение всех симплексов, входящих – в K ; топология при этом индуцируется из Rn.

На с. 93 дано определение барицентрического подразделения симплекса. Если каждый симплекс в K разбит таким образом, то мы получаем барицентрическое подразделение симплициального комплекса K.

З а д а ч а 8.1. Докажите, что симплексы барицентрического подразделения симплекса n находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными наборами вершин симплекса n.

8.1. Евклидовы клеточные комплексы Выпуклым многогранником размерности k называют подмножество в Rk, которое задано системой линейных неравенств Ax b и, кроме того, содержит некоторый k-мерный шар и содержится в некотором k-мерном шаре.

Евклидовой клеткой размерности k называют выпуклый многогранник размерности k, расположенный в некотором k-мерном (аффинном) подпространстве в Rn, где n k.

Евклидовым клеточным комплексом K называют набор евклидовых клеток в Rn, удовлетворяющий следующим условиям:

– любая грань евклидовой клетки из K принадлежит K ;

– – пересечение любых двух евклидовых клеток из K является гранью – каждой из них;

– любая точка множества |K| имеет окрестность, которая пересе– кается с конечным числом евклидовых клеток из K (здесь |K| снова обозначает объединение всех клеток, входящих в K).

Любой симплициальный комплекс является евклидовым клеточным комплексом.

Евклидов клеточный комплекс K называют подразделением евкли дова клеточного комплекса K, если |K| = |K | и любая клетка из K содержится в некоторой клетке из K.

Объединение всех клеток размерности не более n евклидова клеточного комплекса K называют n-мерным остовом; мы будем обозначать 114 Глава III. Топологические пространства его Kn. Если размерность K не меньше n, то его n-мерный остов является n-мерным евклидовым клеточным комплексом.

Т е о р е м а 8.1. Пусть K1 и K2 – евклидовы клеточные комплек– сы, причём |K1| = |K2|. Тогда K1 и K2 обладают общим подразделением L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух евклидовых клеток снова будет евклидовой клеткой. Пусть L – множество всех клеток – вида c1 c2, где c1 – клетка из K1, c2 – клетка из K2. Тогда L – евкли– – – дово клеточное разбиение, |L| = |K1| = |K2| и любая клетка c1 c2 из L принадлежит клетке c1 из K1 и клетке c2 из K2.

Следующее утверждение показывает, что с топологической точки зрения евклидовы клеточные комплексы не дают ничего нового по сравнению с симплициальными комплексами.

Т е о р е м а 8.2. Любой евклидов клеточный комплекс K обладает подразделением, которое является симплициальным комплексом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию по n = dim K. Евклидовы клетки размерности 1 являются симплексами, поэтому при n утверждение очевидно. Предположим, что для (m - 1)-мерного остова комплекса K уже построено подразделение L, которое является симплициальным комплексом. Выберем внутри каждой m-мерной клетки cm комплекса K некоторую точку M и рассмотрим симплексы, одной из вершин которых служит точка M, а остальными вершинами служат вершины одного из симплексов, образующих край клетки cm. В результате получим подразделение комплекса K, являющееся симплициальным подразделением.

З а м е ч а н и е. В качестве точки M можно выбирать не внутреннюю точку клетки cm, а вершину клетки cm. Тогда построенное симплициальное разбиение будет иметь те же самые вершины, что и евклидов клеточный комплекс.

8.2. Симплициальные отображения Пусть K1 и K2 – симплициальные комплексы. Отображение f : |K1| – |K2| называют симплициальным, если образ любого симплекса из K1 является симплексом 2 из K2 и при этом ограничение отображения f на 1 линейно в аффинном смысле, т. е.

f ivi = i f(vi), (1) § 8. Симплициальные комплексы где vi – вершины симплекса 1, i = 1 и i 0. По условию верши– ны комплекса K1 (т. е. 0-мерные симплексы) переходят в вершины комплекса K2. Поэтому отображение f определяет отображение 0-мерных 0 остовов f0 : K1 K2. Формула (1) показывает, что отображение f однозначно восстанавливается по отображению f0. Отображение f0 обладает следующим свойством: если v0,..., vn – вершины симплекса из K1, – то f0 (v0),..., f0 (vn) – вершины симплекса из K2 (некоторые из точек – f0 (v0),..., f0 (vn) могут совпадать). Отображения 0-мерных остовов, обладающие этим свойством, будем называть допустимыми. Каждому до0 пустимому отображению 0-мерных остовов K1 K2 соответствует симплициальное отображение |K1| |K2|. Для симплициальных отображений мы обычно будем использовать обозначение K1 K2.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что любое симплициальное отображение непрерывно.

У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что образ k-мерного остова при симплициальном отображении содержится в k-мерном остове.

Т е о р е м а 8.3. Пусть f : K K – симплициальное отображе– ние, – некоторый симплекс барицентрического подразделения – комплекса K. Тогда если f( ) =, то ограничение f на – тож– дественное отображение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для симплекса однозначно определён симплекс в K, который содержит и имеет ту же самую размерность.

При этом симплекс однозначно задаёт нумерацию вершин, для которой v0 – общая вершина и, [v0, v1] – общее ребро (точнее – – говоря, ребро, содержащее ребро ), [v0, v1, v2] – общая грань и т. д.

– Наоборот, нумерация вершин однозначно задаёт соответствующий симплекс барицентрического подразделения.

Из равенства f( ) = следует, что отображение f переставляет вершины симплекса. Но если эта перестановка не тождественна, то получается другая нумерация вершин, которой соответствует другой симплекс барицентрического подразделения, т. е. f( ) =. Поэтому огра ничение отображения f на тождественно.

8.3. Абстрактные симплициальные комплексы С точки зрения топологии интерес представляет не симплициальный комплекс K, а топологическое пространство |K|. Симплициальный комплекс задаёт не только само пространство |K|, но и его вложение в Rn, а это уже излишняя информация, часто затрудняющая работу с симплициальными комплексами. Чтобы избавиться от конкретного вложения в Rn, определим абстрактный симплициальный комплекс K 116 Глава III. Топологические пространства как набор вершин {v} и набор подмножеств этих вершин, называемых симплексами (набор из k + 1 вершин мы будем называть k-мерным симплексом); при этом любое подмножество вершин симплекса из K должно быть симплексом из K.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.