WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 49 |

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждой точки x K возьмём окрестность Ux x, для которой Ux U, и окрестность Wx x, для которой множество Wx компактно. Множество Vx, где Vx = Ux Wx, компактно, поскольку оно является замкнутым подпространством компактного пространства Wx. Пользуясь компактностью K, выберем конечный набор точек x1,..., xn K так, что K V = Vx... Vx. Множество 1 n V = Vx... Vx компактно и V Ux... Ux U.

1 n 1 n 102 Глава III. Топологические пространства Пусть X – хаусдорфово пространство. Одноточечной компак– тификацией пространства X называют топологическое пространство X+ = X {}, открытыми множествами которого являются все открытые подмножества X и подмножества U X+, для которых X+ \ U – ком– пактное подмножество X. (Здесь подразумевается, что – некоторая – точка, не принадлежащая X.) Нужно проверить, что конечные пересечения и любые объединения открытых в X+ множеств открыты. Ясно, что пересечение с X конечного пересечения или любого объединения открытых в X+ множеств открыто в X. Предположим, что точка принадлежит пересечению конечного набора открытых в X+ множеств.

Тогда дополнение к пересечению этих множеств является объединением конечного набора компактных множеств, поэтому оно компактно. Предположим теперь, что точка принадлежит объединению произвольного набора открытых в X+ множеств. Тогда точка принадлежит некоторому множеству U из этого набора. Дополнение к объединению этих множеств является замкнутым подмножеством компактного множества X \ U, поэтому оно компактно. Таким образом, X+ – топологическое – пространство, причём X – его подпространство.

– Пусть U – произвольное открытое покрытие пространства X+. Пока– жем, что из U можно выбрать конечное подпокрытие. Точка содержится в одном из множеств U U. Множество X \ U компактно, поэтому в U есть конечное подпокрытие этого множества.

Покажем теперь, что если пространство X не только хаусдорфово, но ещё и локально компактно, то пространство X+ хаусдорфово. Для этого нужно проверить, что у любой точки x X и точки есть непересекающиеся открытые окрестности. У точки x есть открытая окрестность Vx, замыкание которой компактно. Множество U = (X \ Vx) {} является открытой окрестностью точки, не пересекающейся с Vx.

7.2. Нормальные пространства Топологическое пространство X называют нормальным, если любая его точка является замкнутым множеством и для любых двух замкнутых непересекающихся подмножеств A, B X найдутся непересекающиеся открытые множества U и V, содержащие A и B.

Следствия 1 и 2 теоремы 7.1 показывают, что любое компактное хаусдорфово пространство нормально.

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что любое метризуемое пространство нормально.

§ 7. Элементы общей топологии Лемма Урысона, доказанная нами для пространства Rn (см. с. 67), остается справедливой и для произвольного нормального пространства.

Урысон доказывал её именно для нормальных пространств.

Т е о р е м а 7.6 (лемма Урысона). Пусть A и B – непересекаю– щиеся замкнутые подмножества нормального пространства X.

Тогда существует непрерывная функция f : X [0, 1], для которой f(A) = 0 и f(B) = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть V – открытое подмножество нор– мального топологического пространства X, U – такое подмножество – в X, что U V. Тогда существует такое открытое множество W, что U W W V. Действительно, в качестве W можно взять открытое множество, которое содержит замкнутое множество U и не пересекается с открытой окрестностью замкнутого множества X \ V.

Для U = A и V = X \ B построим открытое множество A1 так, что A A1 X \ B, (1) причём A1 X \ B. После этого можно вставить промежуточные открытые множества A и A2 так, что A A A1 A2 X \ B (2) и замыкание каждого предыдущего множества содержится в последующем множестве.

Для последовательности множеств (1) определим функцию f1 : X [0, 1] следующим образом:

0 при x A;

f1 (x) = 1 2 при x A1 \ A;

/ 1 при x X \ A1.

Для последовательности множеств (2) определим функцию f2 : X [0, 1] следующим образом:

0 при x A;

1/4 при x A \ A;

f2(x) = 1 2 при x A1 \ A ;

/ 3 4 при x A2 \ A1;

/ 1 при x X \ A2.

Затем построим третью последовательность множеств, вставляя промежуточные открытые множества между соседними членами последовательности (2), и для этой последовательности множеств построим функцию f3 (x), и т. д.

104 Глава III. Топологические пространства Легко убедиться, что f2 (x) f1(x). Аналогично fn+1 (x) fn (x), поэтому существует lim fn(x) = f(x). Ясно, что f(x) = 0 при x A и f(x) = n при x B. Нужно лишь доказать, что функция f(x) непрерывна.

Пусть на n-м шаге построена последовательность множеств A A1... Ar X \ B, где Ai Ai+1. (Этой последовательности соответствует функция fn). Положим A0 = int A – внутренность множества A, A-1 = и Ar+1 = X. Рас– смотрим открытые множества Ai+1 \ Ai-1, i = 0, 1,..., r. Ясно, что r r X = (Ai \ Ai-1) (Ai+1 \ Ai-1), i=0 i=поэтому открытые множества Ai+1 \ Ai-1 покрывают всё пространство X.

На множестве Ai+1 \ Ai-1 функция fn (x) принимает два значения, от личающиеся на 1 2n. Ясно также, что |f(x) - fn(x)| 1 2k = 1 2n.

/ / / k=n+Для каждой точки x X выберем её открытую окрестность вида Ai+1 \ Ai-1. Образ открытого множества Ai+1 \ Ai-1 содержится в интервале (f(x) -, f(x) + ), где > 1 2n. Устремляя n к бесконечности, / получаем, что функция f непрерывна.

Из леммы Урысона можно вывести теорему Титце о продолжении непрерывных отображений.

Т е о р е м а 7.7 (Титце). Пусть Y – нормальное топологическое – пространство и X Y – замкнутое подмножество, f : X [-1, 1] – непрерывная функция. Тогда существует непрерывная функция — F : Y [-1, 1], ограничение которой на X совпадает с f.

Эта теорема доказывается точно так же, как теорема Титце для Y = Rn (теорема 4.4 на с. 68). Нужно лишь заменить Rn на Y и вместо леммы Урысона для Rn применить лемму Урысона для нормального топологического пространства Y. Следствие теоремы 4.4 тоже остаётся верным.

7.3. Разбиения единицы Пусть – непрерывная функция на топологическом пространстве X.

– Носителем называют замкнутое множество supp() = {x X | (x) = 0}.

Пусть {U} – открытое покрытие топологического пространства X.

– Разбиением единицы, подчинённым покрытию {U}, называют се§ 7. Элементы общей топологии мейство непрерывных функций : X [0, 1], обладающее следующими свойствами:

1) семейство функций локально конечно, т. е. у любой точки x X есть окрестность V(x), пересекающая лишь конечное число множеств supp();

2) (x) = 1 для любой точки x X;

3) supp() U для всех.

Иногда рассматривают семейства {U} и {} с разными индексами.

В таком случае предполагается, что для любого индекса найдётся такой индекс, что supp() U.

Т е о р е м а 7.8 (Стоун [124]). Пусть X – метризуемое топологи– ческое пространство. Тогда для любого его не более чем счётного открытого покрытия {Ui} существует разбиение единицы {i}, подчинённое этому покрытию.

Д о к а з а т е л ь с т в о ([93] и [56]). Рассмотрим сначала случай конечного покрытия U1,..., Un. Функции fi (x) = d(x, X \ Ui) непрерывны n (см. замечание на с. 66), поэтому функция F(x) = fi (x) тоже непреi=рывна. Каждая точка x X покрыта некоторым множеством Ui. В таком случае fi (x) > 0, а значит, F(x) > 0 для всех x X. Положим gi (x) = max fi (x) - F(x), 0.

n + Тогда supp(gi) = {x | fi (x) > F(x) (n + 1)} {x | fi (x) F(x) (n + 1)} / / {x : fi (x) 0} {x | fi (x) > 0} = Ui.

Кроме того, n n 1 n F(x) gi (x) fi (x) - F(x) = F(x) - F(x) = > 0.

n + 1 n + 1 n + i=1 i=Чтобы построить требуемое разбиение единицы, положим i (x) = n = gi (x) gi (x).

/ i=Рассмотрим теперь случай счётного открытого покрытия U0, U1, U2... На этот раз функции fi : X [0, 2-i] определим следующим образом:

fi (x) = min d(x, X \ Ui), 2-i.

106 Глава III. Топологические пространства Тогда fi (x) > 0 при x Ui и fi (x) = 0 при x Ui. Функцию F тоже опреде лим по-другому: F(x) = 2-i fi (x). Из того, что {Ui} – покрытие, следует, – i=что F(x) > 0 при всех x X. Непрерывность функции F(x) следует из того, N что функция 2-i fi (x) непрерывна и для любого > 0 можно выбрать N i= так, что 2-i fi (x) <, поскольку fi (x) 2-i.

i=N+ Положим gi (x) = max fi (x) - F(x), 0. Точно так же, как и для конечных покрытий, доказывается, что supp(gi) Ui.

Докажем, что семейство функций {gi} локально конечно. Пусть x X.

Из непрерывности функции F следует, что существует такая окрестность V(x) точки x, что для некоторого > 0 неравенство F(y) > выполняется для всех y V(x). Выберем i0 так, что 2-i < 3. Для любой точки y X / выполняется неравенство fi (y) 2-i. Поэтому если y V(x) и i i0, то fi (x) - F(x) 2-i - 2-i - < 0, 3 3 а значит, gi (y) = 0.

Докажем, наконец, что gi (x) > 0 при всех x X, т. е. для любой i=точки x X найдётся такой номер i, что gi (x) > 0. Из того, что fj (x) > для некоторого j и fn (x) 2-n, следует, что sup fj (x) = fi (x) для некоjN торого i0, причём fi (x) > 0. Из определения функции F видно, что F(x) = 2-i fi (x) 2-i fi (x) = 2fi (x).

0 i=0 i=Поэтому 2fi0 (x) fi0 (x) gi (x) fi (x) - = > 0.

0 3 Чтобы построить требуемое разбиение единицы, положим i (x) = = gi (x) gi (x).

/ i=7.4. Паракомпактные пространства Пусть U = {U} и V = {V} – открытые покрытия топологического – пространства X. Будем говорить, что покрытие V вписано в покрытие U, если каждое множество V содержится в некотором множестве U.

§ 7. Элементы общей топологии Покрытие V = {V} называют локально конечным, если у любой точки x X есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств V.

Топологическое пространство X называют паракомпактным, если оно хаусдорфово и для любого его открытого покрытия U существует открытое локально конечное покрытие V, вписанное в U.

Важнейшее свойство паракомпактных пространств заключается в том, что для любого открытого покрытия паракомпактного пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Это свойство паракомпактных пространств вытекает из теорем 7.9 и 7.10, которые имеют и самостоятельный интерес. Но сначала приведём пример, показывающий, что паракомпактные пространства образуют весьма широкий класс топологических пространств.

П р и м е р. Любое подмножество X Rn (с индуцированной топологией) паракомпактно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольное открытое покрытие {U} топологического пространства X. Каждому множеству U соот ветствует такое открытое множество U Rn, что U = U X.

Пусть Xk = {x X | x < k}, k = 1, 2... Множество Xk открыто в X, множество Xk компактно, Xk Xk+1 и X = Xk.

k=Рассмотрим компактное множество Xk \ Xk-1 и для каждой точки z Xk \ Xk-1 выберем такую открытую в Rn окрестность Vz, что Vz U для некоторого, а кроме того, Vz X = Vz Xk+1 и Vz Xk-2 =.

Открытые множества Vz покрывают компактное множество Xk \ Xk-1, поэтому существует конечный набор множеств Vz, покрывающий Xk \ Xk-1.

Объединение по k всех таких наборов – локально конечное покрытие, – вписанное в покрытие {U}.

Т е о р е м а 7.9 (Дьёдонне [51]). Любое паракомпактное пространство нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что паракомпактное пространство X регулярно, т. е. любая открытая окрестность любой точки x X содержит замыкание некоторой открытой окрестности точки x.

Пусть U – открытая окрестность точки x X. Из хаусдорфовости про– странства X следует, что для любой точки y X \ U существуют непересекающиеся открытые множества Uy y и Wy x. Множества Uy (для всех y X \ U) вместе с множеством U образуют открытое покрытие U паракомпактного пространства X, поэтому существует локально конечное открытое покрытие V, вписанное в U. Из локальной конечности покрытия V следует, что у точки x есть окрестность W, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия V. ПустьV1,..., Vn – те из них, – 108 Глава III. Топологические пространства которые не содержатся в U. Каждое множество Vi содержится в Uy, где i yi X \ U. Положим Z = W Wy... Wy, C = Z.

1 n Множество Z открыто и x Z, поскольку x W и x Wy для любой точки y X \ U. Остаётся лишь убедиться, что C U. Рассмотрим для этого открытое множество T, которое является объединением всех элементов покрытия V, не содержащихся в U. По построению T W V1... Vn Uy... Uy.

1 n Ясно также, что Z W, поэтому Z T W Wy... Wy Uy... Uy.

1 n 1 n По построению Wy Uy =, поэтому W Wy... Wy Uy... Uy =, 1 n 1 n а значит, Z T =, т. е. Z X \ T. Множество X \ T замкнуто, поэтому C = Z X \ T.

Любая точка множества X \ U принадлежит некоторому элементу покрытия V, не содержащемуся в U. Поэтому X \ U T, т. е. X \ T U (оба эти включения эквивалентны тому, что X = T U).

Перейдём теперь непосредственно к доказательству нормальности пространства X. Пусть A и B – непересекающиеся замкнутые подмно– жества пространства X. Любая точка a A содержится в открытом множестве X \ B, поэтому у точки a есть открытая окрестность Za, для которой Ca = Za X \ B. Множества Za (для всех a A) вместе с множеством X \ A образуют открытое покрытие U паракомпактного пространства X, поэтому существует локально конечное открытое покрытие V, вписанное в U. Пусть U – объединение всех элементов – покрытия V, не содержащихся в X \ A. Тогда U – открытое множество, – содержащее A. Остаётся построить открытое множество V, содержащее B и не пересекающееся с U. Множество V мы построим как объединение некоторых множеств Vb для всех b B. А именно, для точки b B выберем открытую окрестность Wb b, с которой пересекается лишь конечное число элементов покрытия V. Пусть Y1,..., Yn – те – из них, которые не содержатся в X \ A. По построению Yi Za, ai A.

i Положим Vb = Wb (X \ Ca )... (X \ Ca ).

1 n Множество Vb открыто и b Vb, поскольку B X \ Ca. Кроме того, U Wb Y1... Yn Za... Za Ca... Ca, 1 n 1 n § 7. Элементы общей топологии поэтому Vb U =. Таким образом, если V = Vb, то B V bB и V U =.

З а м е ч а н и е. Читатель, вероятно, обратил внимание, что мы дважды повторили весьма похожие рассуждения. Вместо этого можно сформулировать одно общее утверждение и, доказав его, дважды применить в разных ситуациях. Такое доказательство теоремы 7.9 приведено в [4] (гл. IX, § 4.4, предл. 4).

Т е о р е м а 7.10. Для любого открытого локально конечного покрытия U = {U | A} нормального пространства X существует разбиение единицы, подчинённое этому покрытию.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала построим такое открытое покрытие V = {V | A} пространства X, что V U для всех A. Это построение использует трансфинитную индукцию, поэтому напомним, что такое трансфинитная индукция (подробности, в частности – доказа– тельство теоремы Цермело, можно найти в [5]).

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.