WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 49 |

В случае 2 проведём отрезок, соединяющий центры масс n-мерных граней с полным набором пометок. В случае 1 отметим центр масс n-мерной грани с полным набором пометок. В результате получим несколько попарно не пересекающихся ломаных (ломаная может вырождаться в отмеченную точку). Концом такой ломаной служит либо отмеченная точка (она соответствует (n + 1)-мерному симплексу с полным набором пометок), либо центр масс n-мерной грани с полным набором пометок, лежащей на n-мерной грани исходного симплекса (эта грань исходного симплекса обязательно имеет полный набор пометок). Следовательно, чётность числа (n + 1)-мерных симплексов с полным набором пометок совпадает с чётностью числа n-мерных граней с полным набором пометок, лежащих на грани исходного симплекса (имеющей полный набор пометок). Согласно предположению индукции последнее число нечётно.

При конструктивном доказательстве можно проследить за ориентациями симплексов и получить следующее уточнение леммы Шпернера.

Т е о р е м а 6.9 (см. [44]). Пусть выполняются условия леммы Шпернера. Тогда количество симплексов с полным набором пометок, ориентация) которых совпадает с ориентацией исходного симплекса, ровно на 1 больше количества симплексов с полным набором пометок, ориентация которых противоположна ориентации исходного симплекса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для отрезка доказательство практически то же самое: для разбиения с пометками 01010... 101 количество положительно ориентированных отрезков с полным набором пометок равно k + 1, а отрицательно ориентированных равно k (здесь k – количество – нулей).

Предположим теперь, что требуемое утверждение доказано для n-мерных симплексов, где n 1. Пусть задана триангуляция (n + 1)-мерного симплекса с помеченными вершинами. Для каждого (n + 1)-мерного симплекса триангуляции рассмотрим все его n-мерные грани с полным набором пометок. Каждую такую грань n пометим знаками + и по следующему правилу. Грань n снабжена двумя ориентациями, а именно, одна ориентация индуцирована набором пометок 0, 1,..., n, а другая ориентация возникает как ориентация грани (n + 1)-мерного симплекса, индуцированная ориентацией этого симплекса (все (n + 1)-мерные симплексы ориентированы так же, как исходный симплекс). Если обе ) Имеется в виду ориентация, заданная набором пометок.

96 Глава II. Топология в евклидовом пространстве ориентации грани n совпадают, то пометим её знаком +, а если ориентации противоположны, то пометим грань знаком -. Пусть грань n принадлежит двум (n + 1)-мерным симплексам n+1 и n+1. Эти сим1 плексы индуцируют на n противоположные ориентации, а ориентация, заданная пометками 0, 1,..., n, одна и та же для обоих симплексов n+и n+1. Поэтому грани n как грани симплексов n+1 и n+1 приписаны 2 1 разные знаки. Из этого легко следует, что если мы рассмотрим такие же ломаные, как и при конструктивном доказательстве леммы Шпернера, то концами одной ломаной будут служить:

1) либо два противоположно ориентированных (n + 1)-мерных симплекса с полными наборами пометок, 2) либо два противоположно ориентированных n-мерных симплекса с полными наборами пометок, принадлежащих n-мерной грани исходного симплекса с полным набором пометок, 3) либо один (n + 1)-мерный и один n-мерный симплекс указанного выше вида, имеющие согласованные ориентации.

Поэтому разность между количеством положительно и отрицательно ориентированных (n + 1)-мерных симплексов с полным набором пометок равна разности между количеством положительно и отрицательно ориентированных n-мерных симплексов с полным набором пометок, принадлежащих n-мерной грани исходного симплекса с полным набором пометок.

6.4. Теорема Какутани Теорему Брауэра можно обобщить на отображения симплекса n, которые сопоставляют точке не точку, а некоторое подмножество симплекса. Эти отображения должны обладать определёнными свойствами.

Во-первых, мы будем рассматривать только отображения x (x) n, для которых (x) – замкнутое выпуклое множество. Во-вторых, отоб– ражение должно обладать свойством, аналогичными непрерывности.

А именно, отображение должно быть полунепрерывным сверху. Это означает, что если lim xi = x0 и в каждом множестве (xi) выбрана точi ка yi так, что lim yi = y0, то y0 (x0). Если – обычное отображение, – i т. е. для каждой точки x n множество (x) состоит из одной точки, то полунепрерывность сверху эквивалентна непрерывности.

Т е о р е м а 6.10 (Какутани [78]). Пусть – полунепрерывное – сверху отображение, которое сопоставляет каждой точке x n замкнутое выпуклое подмножество (x) n. Тогда существует точка x0 n, для которой x0 (x0).

§ 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим m-е барицентрическое подразделение симплекса n, и каждой его вершине v сопоставим некоторую точку w (v). Продолжив это отображение по линейности на симплексы m-го барицентрического подразделения, получим непрерывное отображение m : n n. Согласно теореме Брауэра существует точка xm, для которой m (xm) = xm. Выберем из последовательности {xm} сходящуюся подпоследовательность {xm }. Покажем, что точка i x0 = lim xm обладает требуемым свойством, т. е. x0 (x0).

i i Пусть n – тот из n-мерных симплексов m-го барицентрического – m подразделения, который содержит точку xm (если таких симплексов несколько, то мы выбираем любой из них). Пусть, далее, v0,m,..., n vn,m – вершины симплекса n. Тогда lim vj,m = x0 и xm = j,mvj,m, – m i i j=n где j,m 0 и j,m = 1. Положим wj,m = m (vj,m). Из определения j=n отображения m следует, что xm = m (xm) = j,mwj,m и, кроме того, j=n wj,m (vj,m). Выражение j,mwj,m можно рассматривать как набор j=из n + 1 точек, лежащих в компактном пространстве I n. Поэтому из последовательности {xm } можно выбрать подпоследовательность {xm } i i так, что подпоследовательности j,m и wj,m сходятся для всех j = 0, 1, i i m..., n. Пусть lim j,m = j и lim wj,m = wj. Тогда jwj = x0. Отобi i i i j= ражение полунепрерывно сверху, поэтому из того, что lim vj,m = x0, i i wj,m (vj,m ) и lim wj,m = wj, следует, что wj (x0). По условию i i i i m множество (x0) выпуклое. Поэтому x0 = jwj (x0), что и требоj=валось.

Теорема Какутани имеет довольно много приложений, но они относятся в основном к геометрии выпуклых тел и к математической экономике, поэтому мы не будем их здесь обсуждать.

Глава III Топологические пространства § 7. Элементы общей топологии 7.1. Хаусдорфовы пространства и компактные пространства Топологическое пространство X называют хаусдорфовым, если для любых двух различных точек x, y X найдутся непересекающиеся окрестности U x и V y. Такое свойство отделимости впервые ввёл Ф. Хаусдорф в книге [22]. Простейшим примером нехаусдорфова пространства служит пространство X с тривиальной (антидискретной) топологией, в которой система открытых множеств состоит ровно из двух множеств: X и.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что любое подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово.

У п р а ж н е н и е 2. Пусть X – хаусдорфово пространство, x1,..., – xn – его различные точки. Докажите, что существуют непересекающиеся – окрестности U1,..., Un точек x1,..., xn.

Нехаусдорфовы пространства (в том числе и пространства с тривиальной топологией) часто возникают как пространства орбит действия групп. Пусть X – множество, G – группа. Действием группы G на мно– – жестве X называют отображение G X X (паре (g, x) сопоставляется элемент g(x) X), обладающее следующими свойствами:

1) g(h(x)) = (gh) (x);

2) e(x) = x, где e – единичный элемент группы G.

– Топологической группой называют хаусдорфово топологическое пространство G, которое одновременно является группой, причём отображения (g, h) gh и g g-1 непрерывны. Обычно в топологии рассматривается действие топологических групп на хаусдорфовых топологических пространствах. При этом подразумевается, что действие G X X непрерывно.

Для точки x X множество G(x) = {g(x) X | g G} называют орбитой точки x относительно действия группы G.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что орбиты G(x) и G(y) любых двух точек x, y X либо не пересекаются, либо совпадают.

§ 7. Элементы общей топологии Пусть X G – множество, элементами которого служат орбиты отно/ – сительно действия группы G. Сопоставляя точке x X её орбиту G(x), получаем отображение p : X X G. Введём на множестве X G тополо/ / гию следующим образом: множество U X G открыто тогда и только / тогда, когда множество p-1(U) открыто. Полученное в результате топологическое пространство X G называют пространством орбит.

/ П р и м е р 1. Пусть X = S1 S1 (двумерный тор), G = R и a – – некоторое число. Для t G и (ei, ei) X положим t(ei, ei) = = (ei(+t), ei(+at)). Если число a иррационально, то топология пространства X G тривиальна.

/ Д о к а з а т е л ь с т в о. При иррациональном a каждая орбита представляет собой всюду плотное множество, поэтому через любое непустое открытое подмножество тора проходят все орбиты.

П р и м е р 2. Пусть X = Matn (C) – множество матриц порядка n – с комплексными элементами, G = GLn (C) Matn (C) – группа невыро– жденных матриц. Для A X и B G положим B(A) = BAB-1. При n пространство X G нехаусдорфово.

/ Д о к а з а т е л с т в о. Ограничимся случаем n = 2. Матрицы ь 0 и принадлежат разным орбитам O1 и O2, а все матрицы s при s = 0 принадлежат орбите O2. Но s lim =, 0 sпоэтому орбиту O1 нельзя отделить от орбиты O2.

Докажем теперь некоторые важнейшие свойства хаусдорфовых пространств. Предварительно заметим, что в хаусдорфовом пространстве X для любых двух различных точек x и y найдётся окрестность U x, замыкание которой не содержит y. Действительно, если U x и V y – – непересекающиеся окрестности, то U X \ V. Множество X \ V замкнуто, поэтому U X \ V, а значит, U V =.

Т е о р е м а 7.1. Пусть C – компактное подмножество хаус– дорфова пространства X и x X \ C. Тогда точка x и множество C имеют непересекающиеся окрестности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. У каждой точки c C есть окрестность V, замыкание которой не содержит точки x. Такие окрестности покрывают компактное пространство C, поэтому можно выбрать конечное подпоn крытие U1,..., Un. Положим V = Ui. Тогда C V и x V, т. е. V и i=X \ V – непересекающиеся окрестности множества C и точки x.

– 100 Глава III. Топологические пространства С л е д с т в и е 1. Компактное подмножество C хаусдорфова пространства X замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x X \ C, то у точки x есть окрестность, не пересекающая C. Это означает, что множество X \ C открыто.

С л е д с т в и е 2. У любых двух непересекающихся компактных подмножеств A и B хаусдорфова пространства X есть непересекающиеся окрестности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. У каждой точки a A есть окрестность, замыкание которой не пересекается с B. В силу компактности множества A существует его конечное покрытие такими окрестностями U1,..., Un.

n Искомые окрестности множеств A и B – это V = Ui и X \ V.

– i=З а д а ч а 7.1. Докажите, что замкнутое подмножество C компактного пространства K компактно.

Т е о р е м а 7.2. Пусть f : X Y – непрерывное взаимно одно– значное отображение компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y. Тогда f – гомеоморфизм.

– Д о к а з а т е л ь с т в о. Образ Y компактного пространства X при непрерывном отображении f компактен, поскольку для любого открытого покрытия множества Y прообраз этого покрытия тоже является открытым покрытием. Любое замкнутое подмножество C компактного пространства X компактно, поэтому его образ f(C) Y тоже компактен. В таком случае из хаусдорфовости Y следует, что f(C) – замкнутое – подмножество в Y. Но f(C) – прообраз множества C при отображении – f-1, поэтому отображение f-1 непрерывно.

У п р а ж н е н и е 4. Постройте непрерывное взаимно однозначное отображение полуоткрытого интервала [0, 1) на окружность S1. (В условии теоремы 7.2 существенна компактность пространства X.) У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что непрерывное отображение отрезка на квадрат не может быть взаимно однозначным.

В обоих приведённых выше примерах нехаусдорфовых пространств орбит X G группа G была некомпактной. Для компактных групп таких / неприятностей не возникает.

Т е о р е м а 7.3. Если компактная группа G действует на (хаусдорфовом) пространстве X, то пространство орбит X G хаусдор/ фово.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Орбита G(x) является образом компактного пространства G при непрерывном отображении G G {x} G(x), поэтому G(x) – компактное множество. Если G(x) и G(y) – разные – – орбиты, то согласно теореме 7.1 у точки x есть окрестность U, замыкание которой не пересекает множество G(y). В таком случае мно§ 7. Элементы общей топологии жества p(U) и (X G) \ p(U) – непересекающиеся открытые множества, / – содержащие точки множества X G, соответствующие орбитам G(x) / и G(y).

З а д а ч а 7.2.* [82] а) Докажите, что для любого топологического пространства X существуют хаусдорфово пространство XH и непрерывное отображение : X XH, обладающие следующими свойствами: если Y – хаусдорфово пространство и f : X Y – непрерывное отображе– – ние, то существует единственное непрерывное отображение fH : XH Y, для которого fH = f.

б) Пусть X G – пространство орбит из примера 2 на с. 99. Докажите, / – что тогда (X G)H гомеоморфно Cn.

/ в) Докажите, что любое непрерывное отображение f : Matn (C) C, для которого f(BAB-1) = A при всех B GLn (C), можно однозначно представить в виде f(A) = F(c1(A),..., cn (A)), где c1 (A),..., cn (A) – – коэффициенты многочлена det(A + I) и F : C Cn – некоторая непре– рывная функция.

Топологическое пространство X называют локально компактным, если для любой точки x X существует (открытая) окрестность Ux x, замыкание которой компактно.

Т е о р е м а 7.4. Пусть X – локально компактное хаусдорфово – пространство. Тогда для любого открытого множества U x можно выбрать открытое множество Ux x так, что множество Ux компактно и содержится в U.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем открытую окрестность Wx x, замыкание которой компактно, и рассмотрим компактное пространство K – – замыкание пространства K = int(Wx U). Множество C = K \ K компактно и не содержит точку x. Поэтому согласно теореме 7.1 у x и C есть непересекающиеся окрестности Ux и UC. Множество Ux обладает всеми требуемыми свойствами.

Т е о р е м а 7.5. Для любого компактного подпространства K локально компактного хаусдорфова пространства X и любого открытого в X множества U, содержащего K, можно выбрать открытое в X множество V так, что K V V U, причём множество V компактно.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.