WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 49 |

Проверим теперь, что отображение g непрерывно. Пусть заданы c = 0, c1c2... A (ci = 1) и > 0. Выберем множество Uk так, что g(c) Uk и диаметр множества Uk меньше. Возьмем произвольную точку a = 0, a1a2... A (ai = 1), для которой |c - a| < 3-2k. Из неравенства |c - a| < 3-2k следует, что ck = ak. Поэтому g(a) k (a) = k (c) = Uk.

Таким образом, g(a) - g(c) <, а значит, отображение g непрерывно в точке c.

Покажем, наконец, что множество A замкнуто в C, т. е. множество C \ A открыто в C. Пусть c C \ A. Тогда i (c) =, т. е. (X \ i (c)) = i=1 i== X. Множества X \ i (c) образуют открытое покрытие пространства X.

Из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, поэтому m m (X \ i (c)) = X для некоторого m 1. В таком случае i (c) =.

i=1 i=Пусть a C – произвольная точка, для которой |c - a| < 3-2m. Тогда – m ai = ci для i = 1,..., m. Поэтому i (a) =, т. е. a C \ A. Это i=означает, что множество C \ A открыто.

§ 5. Кривые на плоскости Мы построили непрерывное отображение g : AX, где AC – за– мкнутое подмножество. Согласно теореме 4.10 существует непрерывная g r ретракция r : C A. Композиция отображений C - A - X является требуемым отображением.

С л е д с т в и е (Пеано). Существует сюръективное отображение отрезка I на k-мерный куб Ik.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала построим непрерывное отображение f : C Ik. Канторово множество C замкнуто, поэтому по теореме Титце отображение f можно продолжить до непрерывного отображения F : I Ik.

§ 5. Кривые на плоскости 5.1. Теорема Жордана Жордановой кривой называют образ C окружности S1 при непрерывном инъективном отображении f : S1 R2. Инъективность означает, что f(x1) = f(x2) при x1 = x2. В Курсе анализа [77] Жордан попытался « » доказать, что множество R2 \ C несвязно и состоит в точности из двух линейно связных компонент (теорема Жордана). Его доказательство было не вполне строгим. Первое полное доказательство теоремы Жордана предложил Веблен [134].

Мы уже доказывали теорему Жордана в том случае, когда кривая C представляет собой конечнозвенную ломаную (см. с. 19). Из кусочнолинейной теоремы Жордана можно выве- сти общую теорему Жордана, аппроксимируя кривую C конечнозвенными ломаными. Такое доказательство приведено в [129].

Мы, следуя [126], приведём доказательство теоремы Жордана, основанное на том, что граф K3,3 непланарен (теорема 1.3 на с. 21;

напомним, что при доказательстве этой теоремы используется лишь кусочно-линейная Рис. 35. Жорданова кривая теорема Жордана). Сначала мы докажем, и граф K3,что жорданова кривая разбивает плоскость.

Т е о р е м а 5.1. Если C – жорданова кривая, то множество – R2 \ C не является линейно связным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведём к кривой C опорные прямые и выберем на них точки A1 и A2, лежащие на кривой C. На двух дугах кривой C, заданных точками A1 и A2, можно выбрать точки B1 и B2 так, 76 Глава II. Топология в евклидовом пространстве что отрезок B1B2 не будет пересекать кривую C (рис. 35); действительно, каждая из этих двух дуг является компактным множеством, поэтому пересечение дуги с любой прямой, параллельной опорным прямым, компактно.

На отрезке B1B2 выберем точку A3. Если бы точки A3 и B3 можно было бы соединить путём, не пересекающим кривую C, то мы получили бы вложение графа K3,3 в плоскость, чего не может быть.

Докажем теперь следующее вспомогательное утверждение: незамкнутая дуга кривой не разбивает плоскость.

Т е о р е м а 5.2. Пусть A – простая дуга на плоскости, т. е. об– раз отрезка I при непрерывном отображении f : I R2. Тогда множество R2 \ A связно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x, y R2 \ A. Множество A компактно, поэтому можно выбрать положительное число d так, что расстояния от x и y до A больше 3d. Отображение f равномерно непрерывно, поэтому A можно разбить на дуги A1,..., Ak (дуга Ai соединяет точки ai и ai+1) так, что расстояние от точки ai до любой точки дуги Ai не превосходит d (здесь i = 1,..., k). Пусть минимальное расстояние между точками дуг Ai и Aj, где 1 i j - 2 k - 2, равно d. Ясно, что d d. Каждую дугу Ai разобьём на дуги Ai1,..., Aik i (дуга Aij соединяет точки aij и ai,j+1) так, что расстояние от точки aij до любой точки дуги Aij меньше d 4. Пусть Gi – граф, образованный / – сторонами квадрата с центрами в точках aij; стороны всех этих квадратов параллельны двум фиксированным прямым и длины сторон квадратов равны d 2. Графы Gi и Gj пересекаются тогда и только тогда, / когда |i - j| 1.

Граф G = G1... Gk разбивает плоскость на связные области, среди которых есть ровно одна неограниченная область F. Каждая точка дуги A принадлежит какой-то ограниченной области, поэтому A не пересекает F.

Следовательно, достаточно доказать, что x, y F.

Предположим, что точка x принадлежит ограниченной области графа G. Граф G является 2-связным, поэтому в G найдётся цикл C, внутри которого лежит точка x. Выберем цикл C так, что он принадлежит графу Gi Gi+1... Gj, причем разность j - i минимальна. Покажем, что в таком случае j - i 1. Предположим, что j - i 2. Можно считать, что число рёбер цикла C, не принадлежащих Gj-1, минимально. Цикл C содержит по крайней мере по одному ребру из непересекающихся графов Gj-2 и Gj (имеются в виду ребра, не принадлежащие Gj-1). Кроме того, после выбрасывания всех рёбер графа Gj-1 нарушается связность цикла C. Это означает, что цикл C содержит по крайней мере два непересекающихся участка, проходящих по графу Gj-1. Эти два участка можно соединить путём, проходящим по рёбрам графа Gj-1. Путь разбивает § 5. Кривые на плоскости цикл C на два цикла. Точка x лежит внутри одного из этих циклов.

Но у каждого из этих циклов число рёбер, не принадлежащих Gj-1, строго меньше, чем у цикла C. Получено противоречие.

Итак, точка x принадлежит внутренней области графа Gi Gi+1.

Но этого не может быть, так как точка x лежит вне круга радиуса 3d с центром ai, а граф Gi Gj+1 лежит внутри этого круга. Полученное противоречие означает, что точка x принадлежит неограниченной области графа G. Точка y принадлежит той же самой области, поэтому x и y можно соединить путём, лежащим в R2 \ A.

Мы уже доказали, что жорданова кривая разбивает плоскость. Теперь можно доказать оставшуюся часть теоремы Жордана.

Т е о р е м а 5.3. Жорданова кривая C разбивает плоскость в точности на две линейно связные области, причем границей обеих этих областей служит кривая C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – одна из линейно связных обла– стей, на которые кривая C разбивает плоскость, c – произвольная точка – кривой C. Если из кривой C выбросить сколь угодно малую дугу, содержащую точку c, то оставшаяся дуга A = C \ не разбивает плоскость.

Поэтому точку x можно соединить с точкой y, лежащей в другой компоненте связности, путём, не пересекающим A. Путь должен пересекать кривую C, поэтому он пересекает дугу. У пути есть участок, который соединяет точку x с точкой дуги и целиком принадлежит области (за исключением точки дуги ). Таким образом, граница области содержит всюду плотное подмножество кривой C, а значит, она содержит и всю кривую C, поскольку граница – замкнутое множе– ство.

Остаётся доказать, что количество связных областей множества R2 \ C не может быть больше 2. Предположим, что точки x1, x2, x3 принадлежат трём различным областям 1, 2, 3 множества R2 \ C. Пусть 1, 2, 3 – попарно непере– секающиеся дуги кривой C. В области 1 точку x1 можно соединить путём 1j Рис. 36. Перестройка пути с некоторой точкой дуги j. При этом можно добиться, чтобы пути 11, 12 и 13 пересекались только в точке x1. Для этого в окрестности точки пересечения эти пути нужно перестроить так, как показано на рис. 36.

Для точек x2 и x3 пути 2i и 3i определим аналогично. Добавив к путям ij, где i, j = 1, 2, 3, части дуг i, получим вложение графа K3,в плоскость, чего не может быть.

78 Глава II. Топология в евклидовом пространстве 5.2. Теорема Уитни–Грауштейна – Пусть S1 = {e2is | s R} и : S1 R2 – гладкая замкнутая кривая, – т. е. (s) = (x(s), y(s)), где x и y – непрерывно дифференцируемые функ– d (s) ции от s и v(s) = = 0 при всех s R. Назовем степенью) гладкой ds кривой число оборотов вектора v(s) при изменении s от 0 до 1. При этом каждый оборот против часовой стрелки считается со знаком плюс, а каждый оборот по часовой стрелке считается со знаком минус. Примеры кривых малых степеней изображены на рис. 37.

Будем говорить, что гладкие замкнутые кривые 0 и 1 регулярно гомотопны, если существует семейство гладких замкнутых кривых t, гладко зависящее от t [0, 1] (имеется в виду, что t = = = при t = 0 и t = 1 при t = 1). Гладкая зависимость от t означает, что отображение (s, t) t (s) является непре рывно дифференцируемым отображени= ем из [0, 1] [0, 1] в R2.

Т е о р е м а 5.4 (Уитни–Грауштейн – [145]). Кривые 0 и 1 регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда их степени равны.

= - = - Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть криРис. 37. Примеры кривых мавые 0 и 1 регулярно гомотопны лых степеней и Nt – степень гладкой кривой t. Ясно, – что Nt – целое число, причем Nt непре– рывно зависит от t. Поэтому Nt – константа и N0 = N1.

– Предположим теперь, что 0 и 1 – гладкие замкнутые кривые, степе– ни которых равны N. С помощью регулярной гомотопии кривые 0 и можно заменить на кривые длины 1, для которых 0(0) = 1(0) = (0, 0) и 0 (0) = 1 (0) = (1, 0). В таком случае можно считать, что s [0, 1] – – натуральный параметр, т. е. 0 (s) = 1 (s) = 1 при всех s.

Запишем векторы скоростей кривых 0 и 1 в виде v0(s) = ei (s) и v1(s) = ei (s), где 0 (0) = 1 (0) = 0 и 0 (1) = 1 (1) = 2N. Положим t (s) = (1 - t)0 (s) + t1(s) и рассмотрим кривую t с вектором скорости s t t vt (s) = ei (s): t (s) = ei () d. При t = 0, 1 кривая t не обязательно ) Степень гладкой замкнутой кривой – это совсем не то же самое, что степень алгебра– ической кривой.

§ 5. Кривые на плоскости замкнутая, но с помощью этой кривой можно построить замкнутую кри s t t вую t (s) = t (s) - st (1) = ei () d - s ei ()d. Нужно лишь 0 d d d проверить, что кривая t гладкая, т. е. t (1) = t (0) и t (s) = 0.

ds ds ds d t t Ясно, что t (s) = ei (s) - ei ()d = vt (s) - t (1). Равенство ско ds ростей при s = 0 и при s = 1 следует из того, что vt (0) = vt (1), поскольку t (0) = 0 и t (1) = 2N. Для доказательства того, что vt (s) = t (1), достаточно заметить, что vt (s) = 1, а (1) < 1, поскольку (1) = t t 1 t t t ei () = ei ()d d 1, причем ei () – не постоянная – 0 функция.

Наметим ещё один подход к доказательству теоремы Уитни–Грау– штейна. После малого шевеления можно считать, что кривая имеет лишь конечное число точек самопересечения. Назовём простой петлёй часть кривой, обладающую следующими свойствами: 1) начинается и кончается в точке самопересечения кривой ; 2) не имеет самопересечений (но она может пересекать другие части кривой ). Легко доказать, что любая гладкая кривая с конечным (ненулевым) числом точек самопересечения имеет простую петлю. Далее, для простой петли кривой существует регулярная гомотопия, при которой изменяется только, причём после гомотопии мы получаем новую простую петлю, которая не пересекает. В конце концов мы получим окружность с маленькими петельками – внешними и внутренними. Эти петельки – можно менять местами, протаскивая одну петельку через другую. Кроме того, несложно построить регулярную гомотопию, которая уничтожает пару петелек, одна из которых внутренняя, а другая внешняя.

Т е о р е м а 5.5 (см. [137] и [73]). Степень гладкой замкнутой несамопересекающейся кривой равна ±1.

Д о к а з а т е л ь с т в о (Хопф [73]). После регулярной гомотопии можно считать, что длина кривой равна 1 и отображение : S1 = d = {e2is} R2 таково, что = 1 при всех s [0, 1]. Пусть T – – ds треугольник на плоскости с координатами x и y, заданный неравенствами 0 x y 1.

Рассмотрим отображение f : T S1, заданное формулой (y) - (x), если 0 < y - x < 1;

(y) - (x) f(x, y) = если x = y;

(x), - (0), если x = 0 и y = 1.

80 Глава II. Топология в евклидовом пространстве (Отметим, что если x = y, то (x) = (y), а если если x = 0 и y = 1, то - (0) = - (1).) Для накрытия p : R1 S1, заданного формулой p(s) = e2is, существует поднятие отображения f, т. е. такое отображение F : T R1, что pF = f. При этом 2 deg = F(1, 1) - F(0, 0) = [F(1, 1) - F(0, 1)] + [F(0, 1) - F(0, 0)].

Разность F(1, 1) - F(0, 1) соответствует углу поворота вектора (1) - (x) = (0) - (x) = v(x) при изменении x от 0 до 1 (верхняя сторона треугольника T). Если в качестве (0) выбрать точку касания кривой с какой-либо опорной прямой (рис. 38), то этот угол поворота будет равен ± (знак совпадает со знаком числа deg ). Разность F(0, 1) - F(0, 0) соответствует углу поворота векто ра (y) - (0) = -v(y) при измене нии y от 0 до 1. Этот угол поворота тоже равен ±, причем знак снова совпадает со знаком deg, поскольку векторы v и -v вращаются в одРис. 38. Выбор точки (0) ном направлении.

Пусть : S1 R2 – гладкая замкнутая кривая с конечным числом – точек самопересечения, причем все её точки самопересечения двукратные.

Выберем на кривой точку x0, не являющуюся точкой самопересечения.

Для точки самопересечения xi с номером i определим число Wi по следующему правилу. Будем идти из точки x0 вдоль кривой в направлении, согласованном с её ориентацией. Когда мы будем первый раз проходить через точку xi, нарисуем касательный вектор v1, соответствующий направлению движения; когда мы будем проходить через эту точку второй раз, нарисуем второй касательный вектор v2. Если репер (v1, v2) ориентирован отрицательно, то Wi = 1, а если этот репер ориентирован поло жительно, то Wi = -1. Числом Уитни называют число W(, x0) = Wi, где суммирование ведётся по всем точкам самопересечения кривой.

Т е о р е м а 5.6 (Уитни [145]). Если deg – степень кривой, – а W(, x0) – число Уитни, то deg = W(, x0) ± 1.

– Рис. 39. Перестройка кривой § 5. Кривые на плоскости Д о к а з а т е л ь с т в о. Если кривая несамопересекающаяся, то можно применить теорему 5.5. Поэтому будем считать, что кривая самопересекающаяся. Выйдем из точки x0 и будем идти вдоль кривой в направлении, согласованном с ее ориентацией, до тех пор, пока не пройдём дважды через некоторую точку самопересечения (это не обязательно будет первая встретившаяся точка самопересечения кривой ). Перестроим кривую так, как показано на рис. 39. В результате получим кривую 1, на которой лежит точка x0, и несамопересекающуюся кривую 2.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.