WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 49 |

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию любая точка x Rn лежит вне A или вне B. Множества A и B замкнутые, поэтому в первом случае d(x, A) > 0, а во втором случае d(x, B) > 0. В любом случае d(x, A) + d(x, B) > 0, поэтому функция d(x, A) - d(x, B) f(x) = d(x, A) + d(x, B) корректно определена при всех x Rn. Из непрерывности функций d(x, A) и d(x, B) следует непрерывность функции f(x). Ясно также, что f(A) = {-1} и f(B) = {1}. Кроме того, для любой точки x выполняются 68 Глава II. Топология в евклидовом пространстве неравенства -d(x, B) d(x, A) - d(x, B) d(x, A) -1 1.

d(x, A) + d(x, B) d(x, A) + d(x, B) d(x, A) + d(x, B) С л е д с т в и е. Пусть A и B – непересекающиеся замкнутые – подмножества Rn. Тогда существуют непересекающиеся открытые множества U A и V B, замыкания которых тоже не пересекаются.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f : Rn [-1, 1] – такая непрерывная – функция, что f(A) = {-1} и f(B) = {1}. В 1 качестве U и V можно выбрать прообразы множеств -1, - и, 1.

2 С помощью леммы Урысона можно доказать, что существует продолжение любой непрерывной функции, заданной на замкнутом подмножестве евклидова пространства.

Т е о р е м а 4.4 (Титце). Пусть X Rn – замкнутое подмноже– ство, f : X [-1, 1] – непрерывная функция. Тогда существует – непрерывная функция F : Rn [-1, 1], ограничение которой на X совпадает с f.

1 k Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим rk =, k = 1, 2,... Тогда 2 3r1 = 1 и rk 0 при k. Построим последовательность непрерывных функций f1, f2,... на множестве X и последовательность непрерывных функций g1, g2,... на Rn следующим образом. Положим f1 = f. Пусть функции f1,..., fk уже построены. Рассмотрим замкнутые непересекающиеся множества Ak = {x X | fk (x) -rk} и Bk = {x X | fk (x) rk}.

К этим множествам можно применить лемму Урысона и найти непрерывное отображение gk : Rn [-rk, rk], для которого gk (Ak) = {-rk} и gk (Bk) = {rk}. На множестве Ak функции fk и gk принимают значения, заключенные между -3rk и -rk; на множестве Bk они принимают значения, заключенные между rk и 3rk; во всех остальных точках множества X эти функции принимают значения, заключенные между -rk и rk. Положим fk+1 = fk - gk|X. Функция fk+1 непрерывна на X и |fk+1 (x)| 2rk = 3rk+при всех x X.

Рассмотрим теперь построенную последовательность функций g1, g2,... на Rn. По построению |gk (y)| rk при всех y Rn. Ряд rk = k= 1 k = сходится, поэтому ряд gk (x) равномерно сходится на Rn 2 k=1 k=§ 4. Топология подмножеств евклидова пространства к некоторой непрерывной функции F(x) = gk (x). При этом k=(g1 +... + gk)|X = (f1 - f2) + (f2 - f3) +... + (fk - fk+1) = = f1 - fk+1 = f - fk+1.

Но lim fk+1 (y) = 0 для любой точки y Rn, поэтому F(x) = f(x) при k x X. Кроме того, k 1 |F(x)| |gk (x)| rk = = 2 k=1 k=1 k= k -1 2 1 = = 1 - = 1.

3 3 3 k=С л е д с т в и е. Пусть X Rn – замкнутое подмножество, – f : X R – непрерывная функция. Тогда существует непрерывная – функция F : Rn R, ограничение которой на X совпадает f.

с Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим гомеоморфизм g : R -,, 2 заданный формулой g(x) = arctg(x). Функция g(f(x)) допускает непрерывное продолжение G на Rn, причем |G(x)| 2 при всех x Rn.

/ Рассмотрим замкнутое множество A = {y Rn | |G(x)| = 2}. Ясно, / что A X =, поэтому по теореме Урысона существует непрерывная функция : Rn [0, 1], для которой (A) = {0} и (X) = {1}. Положим F(y) = tg((y)G(y)). Если x X, то F(x) = tg(arctg f(x)) = f(x). Кроме того, (y)G(y) < 2 при всех y Rn, поэтому функция F корректно / определена.

Теорема Титце и её следствие верны также и для отображений в Rm;

для доказательства достаточно применить теорему Титце покоординатно.

Теорема Титце часто используется для построения продолжений непрерывных отображений. Вот весьма интересный пример её применения.

Т е о р е м а 4.5. Пусть в Rm+n = Rm Rn заданы замкнутые гомеоморфные подмножества A Rm {0} и B {0} Rn. Тогда множества Rm+n \ A и Rm+n \ B гомеоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть fa : A B и fb : B A – взаимно – обратные гомеоморфизмы. Согласно теореме Титце их можно продолжить до отображений Fa : Rm Rn и Fb : Rn Rm. Рассмотрим отображения Fa, Fb : Rm Rn Rm Rn, заданные формулами Fa (x, y) = (x, y - Fa(x)), Fb (x, y) = (x - Fb (y), y).

70 Глава II. Топология в евклидовом пространстве -Эти отображения обратимы. Например, Fa (x, y) = (x, y + Fa(x)). Ясно также, что Fa и Fb отображают множество X = {(x, y) Rm+n | x A, y = fa (x)} = {(x, y) Rm+n | y B, x = fb (y)} на A и B соответственно. Поэтому Rm+n \ A Rm+n \ X Rm+n \ B.

З а м е ч а н и е. Множества (Rm {0}) \ A и ({0} Rn) \ B не обязательно гомеоморфны. В качестве примера можно взять R3 \ S1 и R3 \ K, где S1 – стандартно вложенная в R3 окружность, а K – трилистник. (см.

– – рис. 117).

4.3. Теоремы Лебега о покрытиях Пусть U – открытое покрытие топологического пространства A Rn.

– Числом Лебега покрытия U называют точную верхнюю грань всех таких чисел 0, что любое подмножество B A, диаметр) которого меньше, содержится в одном из элементов покрытия U (т. е. в одном из тех открытых множеств, из которых состоит покрытие U).

Т е о р е м а 4.6 (Лебег). Если A – компактное подмножество – Rn, то для любого его открытого покрытия U число Лебега строго больше нуля.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем из покрытия U конечное подпокрытие {U1,..., Uk}. Пусть fi (x) = d(x, A \ Ui) и f = max(f1,..., fk).

Функция f непрерывна. Кроме того, если a A, то f(a) > 0. В самом деле, a Ui для некоторого i, поэтому fi (a) > 0, так как множество A \ Ui замкнуто. Следовательно, образ множества A при непрерывном отображении f : A R представляет собой компактное множество, не содержащее точку 0. Поэтому d(0, f(A)) > 0, а значит, найдётся такое число > 0, что f(a) > для любой точки a A. Это означает, что fi (a) > для некоторого i, т. е. пересечение множества A с шаром радиуса с центром a принадлежит множеству Ui. В таком случае любое множество B A, диаметр которого меньше, принадлежит некоторому множеству Ui.

З а д а ч а 4.3. С помощью теоремы Лебега докажите, что любая непрерывная функция f на компактном множестве A Rn равномерно непрерывна на этом множестве.

Лебег предложил следующее определение топологической размерности компактного подмножества X Rn. Пусть U – конечное покрытие – множества X замкнутыми множествами. Порядком покрытия U назовём ) Диаметром множества называют точную верхнюю грань попарных расстояний между его точками.

§ 4. Топология подмножеств евклидова пространства наименьшее целое число m, для которого по крайней мере одна точка x X принадлежит m элементам покрытия U и никакая точка x X не принадлежит более чем m элементам покрытия U. Будем говорить, что топологическая размерность компактного подмножества X Rn равна k, если k – наименьшее неотрицательное целое число, обладающее – следующим свойством: для любого > 0 существует конечное покрытие множества X замкнутыми множествами диаметра меньше, имеющее порядок k + 1.

Т е о р е м а 4.7 (Лебег). Топологическая размерность n-мерного симплекса n равна n.

Д о к а з а т е л ь с т в о (Шпернер [122]). Сначала докажем, что если U – конечное покрытие симплекса n замкнутыми множествами – достаточно малого диаметра, то порядок U не меньше n + 1. Пусть n-1,..., n-1 – (n - 1)-мерные грани симплекса n, ai – верши– – n на симплекса n, противолежащая грани n-1. В топологическом i пространстве n подмножества n \ n-1 являются открытыми. Ясно i также, что эти множества полностью покрывают n. Пусть > 0 – – число Лебега этого открытого покрытия. Покажем, что если U – ко– нечное покрытие n замкнутыми множествами диаметра меньше, то порядок покрытия U не меньше n + 1. Пусть U = {U0,..., Um}.

Из того, что диаметр множества Uj меньше, следует, что Uj целиком лежит в некотором множестве n \ n-1, т. е. Uj не пересекает грань i n-1. Каждая вершина ai принадлежит некоторому множеству Uj.

i При этом множество Uj уже не может содержать других вершин симплекса n.

Каждому множеству Ui сопоставим грань n-1 – одну из тех граней, – (i) которую Ui не пересекает. Получим соответствие : {0,..., m}{0,..., n}.

Для k = 0,..., n рассмотрим Ak – объединение тех множеств Ui, для ко– n m торых (i) = k. Ясно, что Ak = Ui = n, ak Ak и Ak n-1 =.

k k=0 i=Из этих условий (и замкнутости множеств Ak) с помощью леммы Шпернера (см. с. 92) можно вывести, что множества Ak имеют общую точку x.

В самом деле, пометим все точки симплекса n по следующему правилу:

каждой точке сопоставим наименьший номер k множества Ak, которому она принадлежит. Согласно лемме Шпернера среди симплексов p-го барицентрического подразделения симплекса n есть симплекс с полным набором пометок. Выберем в нём произвольную точку xp. Из последовательности {xp} выберем сходящуюся подпоследовательность {xp }. Точка q x = lim xp принадлежит всем множествам Ak. В самом деле, каждому q q множеству Ak принадлежит одна из вершин симплекса, в котором мы 72 Глава II. Топология в евклидовом пространстве выбирали точку xp, а длина ребра такого симплекса стремится к нулю q при q.

Остаётся построить пример покрытия симплекса n замкнутыми множествами сколь угодно малого диаметра, имеющего порядок n + 1.

Рассмотрим (m + 1)-е барицентрическое подразделение симплекса n.

Для каждой вершины m-го барицентрического подразделения рассмотрим множество, состоящее из содержащих ее замкнутых n-мерных симплексов (m + 1)-го барицентрического подразделения. Эти множества образуют требуемое покрытие. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть первое барицентрическое подразделение. Барицентр принадлежит n + 1 множествам, а все остальные точки принадлежат меньшему числу множеств.

В определении топологической размерности участвует метрическая величина – диаметр множеств покрытия. Тем не менее, топологическая – размерность действительно является топологическим инвариантом, т. е.

сохраняется при гомеоморфизмах.

Т е о р е м а 4.8. Пусть X и Y – гомеоморфные компактные – подмножества евклидова пространства. Тогда их топологические размерности равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть топологические размерности X и Y равны kX и kY. По условию существует гомеоморфизм h: X Y. Для данного > 0 рассмотрим покрытие пространства Y открытыми шарами диаметра и рассмотрим также покрытие пространства X прообразами этих шаров при отображении h. Пусть – число Лебега этого – открытого покрытия компактного пространства X. Согласно определению топологической размерности существует покрытие пространства X замкнутыми множествами U1,..., Um диаметра меньше, имеющее порядок kX + 1. Тогда {h(U1),..., h(Um)} – покрытие простран– ства Y замкнутыми множествами диаметра меньше, имеющее порядок kX + 1. Таким образом, kY kX. Аналогично доказывается, что kX kY.

Теперь мы можем доказать знаменитую теорему Брауэра об инвариантности размерности [43].

Т е о р е м а 4.9 (Брауэр). Если m = n, то открытое подмноже ство U Rm не может быть гомеоморфно открытому подмножеству V Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h: U V – гомеоморфизм. Множе– ство U содержит m-мерный симплекс m. Топологическая размерность множества h(m) Rn равна m. Компактное множество h(m) содержится в некотором симплексе n. Покрытие симплекса n замкнутыми множествами малого диаметра, имеющее порядок n, индуцирует покрытие § 4. Топология подмножеств евклидова пространства симплекса h(m) замкнутыми множествами малого диаметра, имеющее порядок n. Поэтому m n. Аналогично m n.

4.4. Канторово множество Каждое число x [0, 1] можно записать в виде x = a13-1 + a23-2 + +..., где ai = 0, 1 или 2 (троичная запись числа x). Канторовым множеством называют множество C [0, 1], состоящее из тех чисел, у которых есть троичная запись без цифр 1. Например, число 1 · 3-1 = = 2 · 3-2 + 2 · 3-3 + 2 · 3-4 +... входит в C.

Пусть Ck – множество чисел x [0, 1], у которых есть троичная за– 1 пись с цифрой 0 или 2 на k-м месте. Например, C1 = 0,, 1.

3 Каждое множество Ck замкнуто и C = Ck, поэтому множество C тоже k=замкнуто.

Т е о р е м а 4.10. Любое замкнутое подмножество A C является ретрактом пространства C, т. е. существует непрерывное отображение r : C A, ограничение которого на A тождественно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Замкнутое множество A [0, 1] компактно, поэтому для любой точки c C существует точка a A, для которой d(c, A) = d(c, a). Таких точек a не может быть больше двух. Рассмотрим сначала случай, когда для точки c C существуют две такие точки a1 и a2, причем a1 < a2. В таком случае a1 < c < a2. Дополнение множества C всюду плотно, поэтому можно выбрать y C так, что a1 < y < c < a2.

Для каждой точки x C [a1, y) положим r(x) = a1, а для каждой точки x C (y, a2] положим r(x) = a2. Построим таким образом отображение r для всех точек c C, для которых d(c, A) = d(c, a1) = d(c, a2).

Построенное отображение определено корректно, потому что интервал (a1, a2) не содержит точек множества A, а значит, отрезок [a1, a2] для точки c и отрезок [a, a ] для точки c = c не могут пересекаться.

1 Предположим, что c C – точка, для которой отображение r пока – ещё не построено. Тогда существует ровно одна точка a A, для которой d(c, A) = d(c, a). Положим r(c) = a.

Для точки a A отображение r может определяться либо первым способом, либо вторым, но в обоих случаях r(a) = a.

С помощью теоремы 4.10 можно доказать следующее весьма неожиданное утверждение.

Т е о р е м а 4.11 (Александров [1]). Любое непустое компактное множество X Rn является образом канторова множества C при некотором непрерывном отображении.

74 Глава II. Топология в евклидовом пространстве Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U1, U2,... – счётная база открытых – множеств топологического пространства X. Для c C рассмотрим троичное разложение 0, c1c2c3..., не содержащее цифр 1 (оно единственно).

Точке c сопоставим множество P(c) = i (c), где i= Ui, если ci = 0;

i (c) = X \ Ui, если ci = 2.

Легко проверить, что множество P(cx) состоит не более чем из одной точки. В самом деле, пусть a, b X и a = b. Тогда существует такое i, что a Ui и b Ui. Если i (c) = Ui, то b i (c), а если i (c) = X \ Ui, то a i (c). Поэтому множество P(c) не может одновременно содержать обе точки a и b.

Если P(c) состоит из одной точки, то положим g(c) = P(c). Отобра жение g определено на множестве A = c C i (c) =.

i=Легко проверить, что отображение g : A X сюръективно. В самом деле, для точки x X положим 0, если x Ui, ci = 2, если x Ui.

Тогда c = 0, c1c2... C и g(c) = x.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.