WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |

Так, использование соотношения (2.13) позволяет рассчитать элементы структуры факторной системы таким образом, что каждый фактор модели равноправен по отношению к другим, так как при этом не используются никакие априорные предположения о значимости или приоритете того или иного фактора, то есть соблюдается положение о независимости факторов. Структура факторной системы в этом случае сохраняет вид:

n y = Axi = Ax1 +Ax2 +... + Axn. (2.14) i=Из полученных формул также следует очевидный вывод о том, что применение формулы Лагранжа позволяет решить проблему неразложимого остатка, величина которого оказывается распределённой между факторами.

Вычисляемые в новом методе значения параметра позволяют также находить сами промежуточные значения факторов, при которых изменение результирующей функции точно представляется в виде искомой комбинации величин влияния приращений факторов на приращение обобщающего показателя. Возможность определения одного или нескольких наборов промежуточных значений факторов позволяет осуществлять более полную интерпретацию результатов анализа при решении конкретных прикладных задач.

-56В этом случае качественный анализ величин факторного влияния, рассчитанных по методу конечных приращений, при сравнении их с результатами, получаемыми при использовании других методов экономического факторного анализа, позволяет получить исходную информацию, которая необходима при последующем решении задачи управления исследуемым процессом.

Рассмотрим отличия нового алгоритма от имеющихся методик экономического факторного анализа на примере двухфакторной мультипликативной модели.

Прежде всего необходимо отметить, что применение интегральной формы теоремы о среднем позволяет получить результаты, идентичные тем, что достигаются с использованием интегрального метода. При этом, вычислительный алгоритм, опирающийся на (2.12), является более простым в применении, чем использование матриц исходных значений для построения подынтегральных выражений в интегральном методе [7, С. 135-137].

Переходя к вопросу решения задачи распределения величины неразложимого остатка, следует указать, что применение теоремы о среднем позволяет распределить неразложимый остаток между факторами поровну (рис. 2.4 (проекция на плоскость XY ) и рис. 2.6d ), в отличие от других методов, когда остаток относится к одному или к другому фактору (рис. 2.6 a и 2.6b), или же не распределяется совсем и рассматривается как самостоятельная величина (рис. 2.6c ).

Метод, опирающийся на теорему о среднем значении, как было указано выше, позволяет проводить экономический факторный анализ в случае любых конечных приращений факторов. Это является тем более важным в условиях современных процессов хозяйствования, когда приращения факторов и результирующего показателя не являются малыми, что затрудняет применение классических методов экономического факторного анализа.

Важной особенностью нового метода является то, что он учитывает структуру взаимосвязей факторов, а также даёт общий подход к решению различных задач независимо от количества элементов, входящих в модель факторной системы, и формы связи между ними. Таким образом, появляется возможность применять алгоритмы факторного анализа при исследовании широкого спектра показателей. Данное преимущество имеет большое значение в практической работе, когда специалист работает не только с классическими, но и с различными смешанными типами систем. В этом -57случае при использовании метода Лагранжа нет необходимости применять дополнительные способы для упрощения нестандартных функций.

Рис. 2.6. Иллюстрация расчётов различными методами влияния факторов на результирующий показатель К преимуществам метода конечных приращений можно отнести тот факт, что для его непосредственного применения не требуется использовать сложные вычислительные алгоритмы, что имеет большое значение в практике аналитической работы на предприятии, когда важно владеть методами безмашинного анализа факторных моделей [81]. Применение метода Лагранжа для составления рабочих формул для анализируемого типа факторной системы предполагает знание специалистом-аналитиком лишь базовых основ дифференциального или интегрального исчисления.

В доказательство этого тезиса, далее будут выведены выражения для вы-58числения величин факторного влияния для наиболее часто встречающихся типов моделей.

Как и в случае интегрального метода [7], можно выделить два направления практического использования метода Лагранжа в решении задач факторного анализа.

К первому направлению относятся задачи статического факторного анализа, когда нет информации об изменении факторов внутри анализируемого периода. К статическим типам задач относятся расчёты, связанные с анализом выполнения плана показателей – анализ исполнения бюджета, анализ плана производства и продажи продукции и т.п.

Статический тип задач факторного анализа – наиболее разработанный и распространённый тип задач в детерминированном анализе хозяйственной и производственной деятельности управляемых объектов.

Ко второму направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда имеется информация об изменениях факторов внутри анализируемого периода и она должна приниматься во внимание, то есть случай, когда этот период в соответствии с имеющимися данными разбивается на ряд элементарных.

Этот тип задач факторного анализа можно назвать динамическим, так как при этом участвующие в анализе факторы изменяются на каждом элементе разбиваемого на участки периода (номенклатурного перечня). К динамическим типам задач следует относить расчёты, связанные с анализом временных рядов анализируемых показателей.

2.2.3. СОСТАВЛЕНИЕ РАБОЧИХ ФОРМУЛ НОВОГО МЕТОДА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА В общем случае теорема о среднем неконструктивна, но существуют примеры численного решения задачи для большинства известных функций [14, 89].

Рассмотрим применение метода Лагранжа к основным типам моделей результирующего показателя.

В качестве примера мультипликативных моделей рассмотрим несколько стандартных факторных систем, которые наиболее часть встречаются в практике экономического факторного анализа финансовых и технологических показателей.

1). Двухфакторная мультипликативная модель – функция вида -59f = x y.

Пусть факторы x и y получили соответственно приращения x и y, тогда отклонение функции имеет вид f = (x + x)( y + y) - xy = yx + xy + xy. (2.15) Но в то же время, по теореме о промежуточном значении, f = f (x + x, y + y)x + f (x + x, y + y)y, x y f = ( y + y ) x + ( x + x ) y = Ax + A ; (2.16) y приравнивая (2.15) и (2.16), находим, что = 0,5 и тогда 1 f = ( y + y)x + ( x + x)y = ycp x + xcp y = Ax + Ay. (2.17) 2 Таким образом, задача поиска величин факторного влияния получила точное и однозначное решение.

В данном случае достигнутый результат не является уникальным, так как аналогичные формулы для вычисления факторного влияния могут быть получены и с использованием некоторых других алгоритмов из набора классических методов экономического факторного анализа.

2). Трёхфакторная мультипликативная модель – функция вида f = x y z.

После группировки слагаемых приращение функции можно представить в виде f = xyz + (x + x)yz + (x + x)( y + y)z.

По формуле Лагранжа:

f = ( y + y)(z + z)x + (x + x)(z + z)y + (x + x)(y + y)z, где можно найти из уравнения x y z 302 + 21 - (0 + 1) = 0, 0 = 1, 1 = + +.

x y z Решая уравнение, получаем:

± 1+ 3 + 3 -1.

= 3 1 Для завершения процедуры анализа необходимо найти численное значение параметра (0;1) для конкретных данных и подставить его в выражение для разложения приращения результирующего показателя, чтобы получить искомую структуру факторной системы f = Ax + Ay + Az.

-60Как показывает сравнительный анализ, в случае исследования трёхфакторной мультипликативной и других, более сложных по структуре моделей, метод Лагранжа позволяет получить результаты, которые отличаются от тех, что могут быть получены с применением базовых подходов экономического факторного анализа.

3). Четырёхфакторная мультипликативная модель – функция вида f = x y z p.

В этом случае приращение функции запишем в виде f = xyzp + (x + x)yzp + (x + x)(y + y)zp + (x + x)(y + y)(z + z)p.

Используя теорему о среднем значении, получаем:

f = ( y + y)(z + z)( p + p)x + (x + x)(z + z)( p + p)y + + (x + x)( y + y)( p + p)z + (x + x)( y + y)(z + z)p = = Ax + Ay + Az + Ap.

Уравнение для вычисления параметра :

403 + 312 + 22 - (0 + 1 + 2 ) = 0, x y z p 0 = 1, 1 = + + +, x y z p x y x z x p y z y p z p 2 = + + + + +.

x y x z x p y z y p z p Решая уравнение, находим:

2 2 - 2 = - - 1, 12 = 27 3 +108 1 2 + 216 (1 + 2 +1) + - +12 [(- 81 4 - 27 2 2 - 81 3 2)+ 1 1 2 +(- 81 3 + 96 3 + 324 (2 2 + 1 2 ))+ 1 2 1 +(324 (2 + 2 )+ 972 1 2)+ (648 (1 + 2 ) + 324)].

1 Таким образом, в общем случае, для мультипликативной модели вида -61n y = f (x1, x2,..., xn ) = xi i=получаем следующий алгоритм расчётов для применения метода Лагранжа:

I. Приращение результирующего показателя записывается как разница фактического и базового значений:

n n y = xi, (x + xi ) i i=1 i=n i-1 n y = (2.18) (x + x ) xi x, j j k i=1 j =1 k =i+0 n (x + x ) = x = 1.

j j k j=1 k =n+II. Применяя теорему о промежуточном значении, получаем формулу для точного разложения приращения функции:

n i-1 n y = Axi, Axi = (x + x ) xi (x + xk ). (2.19) j j k i=1 j=1 k =i+III. Приравнивая (2.18) и (2.19), находим из получившегося уравнения:

n-2 n-(n - m) m n-1-m - (2.20) = 0, m m=0 m=m Cn m xk 0 = 1, m = a, m =1,..., n - 2, aij = xk, k = 1,...,n.

ij i=1 j=В качестве примера используем данный алгоритм для пятифакторной мультипликативной модели f = x y z p q.

Получим следующие результаты:

I. Приращение результирующего показателя f = xyzpq + (x + x)yzpq + (x + x)( y + y)zpq + + (x + x)(y + y)(z + z)pq + (x + x)(y + y)(z + z)( p + p)q.

II. По теореме Лагранжа:

f = ( y + y)(z + z)( p + p)(q + q)x + + (x + x)(z + z)( p + p)(q + q)y + + (x + x)( y + y)( p + p)(q + q)z + -62+ (x + x)( y + y)(z + z)(q + q)p + + (x + x)(y + y)(z + z)( p + p)q = Ax + Ay + Az + Ap + Aq.

III. Значение параметра находится из уравнения 504 + 413 + 322 + 23 - (0 + 1 + 2 + 3) = 0, 0 = 1, 1 = ax + ay + az + a + aq, p 2 = ax ay + ax az + ax a + ax aq + ay az + p + ay a + ay aq + az a + az aq + a aq, p p p 3 = ax ay az + ax ay a + ax ay aq + ax az a + ax az aq + p p + ax a aq + ay az a + ay az aq + ay a aq + az a aq, p p p p x y z p q ax =, ay =, az =, a =, aq =.

p x y z p q Использование метода конечных приращений в общем виде не позволяет определить значения факторов в промежуточных точках единственным образом, то есть могут достигаться несколько различных значений параметра (0;1) и соответствующих им промежуточных значений самих факторов xi + xi, что приводит к различным видам представления приращения результирующего показателя. Данное обстоятельство не ухудшает качественных характеристик нового метода. Напротив, как следует из расчётов на основе конкретных данных, множественность в определении величин факторного влияния, предоставляя всю доступную информацию, даёт возможность последовательно применить системный подход для решения задачи синтеза – задачи принятия решения.

При этом, в ряде случаев существует возможность оценить количество допустимых комбинаций разложения вариации обобщающего показателя.

Для оценки количества корней многочлена (2.20) можно использовать теорему Декарта, являющуюся, в свою очередь, следствием теоремы Бюдана-Фурье [62, С. 255-259].

Теорема Декарта.

Число положительных корней многочлена f (x), засчитываемых столько раз, какова кратность каждого корня, равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на чётное число.

Для определения числа отрицательных корней многочлена достаточно, очевидно, применить теорему Декарта к многочлену f (-x). При этом, если ни один из коэффициентов многочлена не равен нулю, то переменам -63знаков в системе коэффициентов многочлена f (-x) соответствуют сохранения знаков в системе коэффициентов многочлена f (x). Таким образом, если многочлен f (x) не имеет равных нулю коэффициентов, то число его отрицательных корней (считаемых с их кратностями) равно числу сохранений знаков в системе коэффициентов или меньше его на чётное число.

Применим теорему Декарта к рассматриваемому многочлену (2.20) в случае, когда величины всех факторов и их приращений положительны.

Система коэффициентов данного многочлена:

{n 0;(n -1) 1;...;2 n-2;- (0 + 1 +... + n-2 )}, то есть число перемен знаков в его системе коэффициентов равно 1, так как все коэффициенты, кроме последнего, являются положительными для рассматриваемого частного случая:

m Cn m xk 0 = 1 > 0, m = > 0, m =1,..., n - 2, k = 1,...,n.

xk i=1 j=Следовательно, данный многочлен имеет лишь один положительный корень. С другой стороны, теорема о среднем утверждает обязательность существования промежуточных значений xi + xi (xi ; xi + xi ), то есть должно существовать по крайней мере одно значение параметра (0;1).

Так как (2.20) имеет единственный положительный корень, то он и находится в интервале (0;1).

Таким образом, в случае, если все факторы и их приращения положительные, то метод Лагранжа позволяет найти для мультипликативной модели единственное выражение для точного представления приращения результирующего показателя как функции от приращений факторов, а, следовательно, метод предлагает однозначное решение основной задачи экономического факторного анализа.

Если значения факторов и их приращений не являются положительными, то допускаются различные варианты разложения приращения результирующего показателя. Результаты факторного анализа и их интерпретация на примере конкретных данных будут рассмотрены более подробно в следующем разделе.

Среди кратных моделей можно выделить несколько основных типов.

Проведём исследование по каждому из них на примере простейших функций.

-641). Функция вида x f =.

y Приращение результирующего показателя записывается в виде x + x x f = - = Ax + Ay, y + y y а с использованием теоремы о среднем:

x (x + x) y ( y + y) (x + x) f = - = x - y.

y + y ( y + y)2 ( y + y)2 ( y + y)Приравнивая два выражения для представления приращения функции, находим искомое значение параметра:

y( y + y) - y =.

y 2). Функция вида x f =.

y + z Приращение результирующего показателя записывается в виде x + x x f = - = Ax + A + Az, y y + y + z + z y + z а по теореме о среднем x (x + x) y (x + x) z f = - -, (y + y + z + z) (y + y + z + z)2 (y + y + z + z)где ( y + z ) ( y + y + z + z ) - ( y + z ) =.

(y + z ) 3). Функция вида x + y f =.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.