WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 17 |

Однако описанный метод всё же связан с условием определения количественных и качественных факторов, что усложняет задачу при использовании факторных систем большой размерности. При этом разложение общего отклонения результирующего показателя опять же зависит от последовательности подстановки. В связи с этим, невозможно получить однозначное количественное значение влияния отдельных факторов без соблюдения дополнительных условий.

В качестве одного из возможных решений проблемы однозначного распределения неразложимого остатка между факторами можно предложить алгоритм пропорционального распределения остатка между факторами. Коэффициенты для распределения остатка в этом случае определяются в соответствии с долями, которые имеют величины влияния того или иного фактора в общей сумме величин факторного влияния, посчитанной без учёта неразложимого остатка.

В этом случае, для модели вида y = f (x) = f (x1, x2,..., xn ) получаем следующий алгоритм факторного анализа:

1). Базовые величины факторного влияния определяются в соответствии с методом элиминирования:

Axi = f (...,xi-1, xi + xi, xi+1,...) - f (x1, x2,..., xn ) ;

при этом, в соответствии с (2.4) остаётся нераспределённой величина неразложимого остатка:

n y - Axi = (x) = (x1, x2,..., xn ).

i=2). Скорректированные значения факторного разложения вычисляются по формуле:

Axi ~ Axi = Axi + (x).

n Axi i=-37Алгебраическая сумма скорректированных величин факторного влияния в этом случае в точности равняется приращению результирующего показателя:

n ~ y = Axi.

i=МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Этот метод состоит в том, что величина влияния каждого фактора определяется, для случая двухфакторной модели, как по первому (2.7), так и по второму (2.8) порядку подстановки, затем результат суммируется и от полученной суммы берётся средняя величина, дающая единый ответ о значении влияния фактора. Если в расчёте участвует больше факторов, то их значения рассчитываются по всем возможным подстановкам.

Для рассматриваемого простейшего случая получим:

Ay + Ay Ax + Ax ~ ~ ~ ~ Ax =, Ay =, f = Ax + Ay, 2 то есть в своей основе метод взвешенных конечных разностей в случае двухфакторной мультипликативной модели идентичен методу простого прибавления неразложимого остатка при делении этого остатка между факторами поровну.

Следует отметить, что с увеличением количества факторов и (или) изменения типа модели описанная идентичность методов не подтверждается.

Как видно, метод взвешенных конечных разностей позволяет учесть все варианты подстановок. Однако этот метод весьма трудоёмкий и предлагает весьма трудоёмкую вычислительную процедуру, так как приходится перебирать все возможные варианты перестановок.

МЕТОД КОЭФФИЦИЕНТОВ Этот метод, описанный в [12], основан на сопоставлении числового значения одних и тех же базисных экономических показателей при разных условиях. Для двухфакторной мультипликативной модели получаем следующий результат:

f = f1 - f0 = (x + x)(y + y) - xy, x Ax = f0 K = f0, x x -38y Ay = f0 K = f0.

y y Но в этом случае, как и для метода дифференциального исчисления, результат суммарного влияния факторов не совпадает с величиной изменения результирующего показателя, полученного прямым расчётом, т.е.:

f Ax + Ay, а точнее – отличается на величину неразложимого остатка:

f - (Ax + Ay ) = (x, y) = xy.

Таким образом, данный метод также использует принцип элиминирования, фиксируя результирующий показатель на базовом уровне для всех факторов, кроме оцениваемого.

МЕТОД ДОЛЕВОГО УЧАСТИЯ В ряде случаев для определения величины влияния факторов на отклонение результирующего показателя может быть использован метод долевого участия [86; 87, С. 18-25]. Этот метод используется для аддитивных и кратных моделей. В первом случае, когда рассматривается аддитивная модель n y =, x i i=расчёт проводится следующим образом:

n n y = Axi = K y, K = nxi.

xi xi i=1 i=x j j =Методика расчёта для моделей кратного типа несколько сложнее.

В этом случае, для модели вида n x i A i=y = = m B x j j=n+любым из известных методов оценки количественного влияния факторов на результирующий показатель необходимо определить влияние факторов первого уровня A и B, а затем способом долевого участия рассчитать xk влияние факторов второго порядка, определяющих факторы A или B.

-39ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ МЕТОД Этот метод [99] состоит в том, что достигается логарифмически пропорциональное распределение остатка между факторами. При этом не требуется установления очерёдности действия факторов.

Рассмотрим логарифмический метод на примере мультипликативных моделей. В этом случае факторная система имеет вид n y = xi.

i =Прологарифмировав обе части равенства, получим:

n lg y = lg xi, i =тогда n y1 n xi + xi lg y1 - lg y0 = lg = (lg( xi + xi ) - lg xi ) = lg.

y0 i =1 xi i =Разделив обе части формулы на lg y1 - lg y0 и умножив на y, получаем выражения для вычисления факторного влияния на приращение результирующего показателя:

n n y = Axi = [K y], xi i =1 i = xi + xi xi + xi lg lg xi xi K = =.

xi n y xi + xi lg lg xi y i=Из полученных формул следует, что общее приращение итогового показателя распределяется по факторам пропорционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму общего индекса результирующего показателя. При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный или десятичный).

Логарифмический метод также можно использовать при факторном анализе простейших кратных (или мультипликативно-кратных) моделей вида -40n xi n m A i=y = = = xi x-1.

j m B i=1 j=n+x j j =n+В этом случае при помощи логарифмирования достигается аналогичный результат:

m m y = Axk = [K y], xk k =1 k = xk + xk xk + xk lg lg xk xk K = =, k = 1,...,n, xk y1 n xi + xi m x j lg lg lg xi + y x + x j j i=1 j=n+ xk xk lg lg xk + xk xk + xk K = =, k = n +1,...,m.

xk y1 n m x xi + xi j lg lg lg xi + y x + x j j i=1 j =n+Основным недостатком логарифмического метода является то, что он не может быть «универсальным», так как его применение затруднительно при анализе более сложных моделей факторных систем.

МЕТОД ДРОБЛЕНИЯ ПРИРАЩЕНИЙ ФАКТОРОВ Продолжением метода дифференциального исчисления является метод дробления приращений факторных признаков [117], при котором проводится дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые отрезки и осуществляется пересчёт значений частных производных при каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчётов.

Отсюда приращение функции y = f (x1, x2,..., xn ) можно представить в общем виде следующим образом:

n n m y = Axi + = [fxi (x1 + jx1, x2 + jx2,..., xn + jxn)] xi +, i=1 i=1 j= -41x xi =, m где m – количество отрезков, на которые дробится приращение каждого фактора. Ошибка убывает с увеличением m.

Этот метод позволяет однозначно определить степень влияния различных факторов на результирующий показатель при заданной точности расчётов, не связан с последовательностью подстановок и выбором качественных и количественных факторов.

К недостаткам метода можно отнести вычислительные трудности, связанные с реализацией алгоритма расчёта, поскольку для достижения заданной точности потребуется многократно находить частные производные для результирующей функции в каждой точке разбиения.

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД Дальнейшим логическим развитием метода дробления приращений факторных признаков, развивающего в свою очередь метод дифференциального исчисления, стал интегральный метод факторного анализа [7, 103, 117, 120, 128].

Этот метод основывается на суммировании приращений функции, определяемых как частные производные, умноженные на приращения соответствующих аргументов на бесконечно малых промежутках [8]. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1) непрерывная дифференцируемость функции, описывающей поведение результирующего показателя;

2) функция между начальной и конечной точками элементарного периода изменяется по прямой e ;

3) скорость изменения факторов должна быть постоянной величиной.

В общем виде формулы расчёта количественных величин влияния факторов на изменение результирующего показателя выводятся из формул для метода дробления приращений факторов в условиях предельного случая, когда m :

n n m y = Axi = [fxi (x1 + jx1, x2 + jx2,..., xn + jxn)] xi.

mlim i=1 i=1 j = В условиях реального технологического или хозяйственного процесса изменение факторов в области определения функции может происходить не по прямолинейному отрезку e, а по некоторой ориентированной кри-42вой. Но так как изменение факторов рассматривается за элементарный период (то есть за минимальный отрезок времени, в течение которого хотя бы один из факторов получит приращение), то траектория определяется единственно возможным способом – прямолинейным ориентированным отрезком e, соединяющим начальную и конечную точки элементарного периода.

Предположим, что факторы изменяются во времени и известны значения каждого фактора в m точках, то есть будем считать, что в n -мерном пространстве задано m точек:

M =(x1j, x2j,..., xnj), j = 1,...,m, j где xij – значение i -го фактора в момент j.

Пусть результирующий показатель получил приращение y за анализируемый период. Параметрическое уравнение прямой, соединяющей две точки M и M ( j = 1, 2,..., m -1) можно записать в виде j j+xi = xij + (xij+1 - xij ) t; i = 1,...,n; 0 < t < 1.

Учитывая эту формулу, приращение по отрезку, соединяющему точки M и M, можно записать следующим образом:

j j +j yij = f [x1j + (x1j +1 - x1j ) t,..., xn + (xnj+1 - xnj ) t] (xij +1 - xij )dt, xi где i = 1,...,n; j = 1,...,m -1.

При этом величина yij характеризует вклад i -го фактора в изменение результирующего показателя за период j.

Вычислив все интегралы, получим матрицу y11 y12 y1 j y1(m-1) y21 y22 y2 j y2(m-1) yi1 yi2 yij yi(m-1).

y(n-1)2 y(n-1) j y(n-1)(m-1) (n-1)y yn1 yn2 ynj yn(m-1) -43Просуммировав значения yij по строкам матрицы, получим набор величин, характеризующих вклад i -го фактора в изменение результирующего показателя за весь анализируемый период:

n n n m-y = Axi = y = y.

i ij i=1 i=1 i=1 j= Интегральный метод факторного анализа находит широкое применение в практике детерминированного экономического анализа [127], так как данный метод рациональной вычислительной процедурой устранил неоднозначность оценки влияния факторов.

В отличие от класса методов цепной подстановки в интегральном методе действует логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок. Этот метод объективен, так как исключает какие-либо предложения о роли факторов до проведения анализа и предлагает единый подход к анализу факторных систем любого типа.

К недостаткам интегрального метода можно отнести трудности, связанные с получением формул расчёта величин факторного влияния для произвольной модели. Так, в [7, 123] для облегчения решения задачи построения подынтегральных выражений приводятся исходные матрицы.

При этом, «последующее вычисление определённого интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования выполняется при помощи ЭВМ по стандартной программе, в которой используется формула Симпсона, или вручную в соответствии с общими правилами интегрирования» [7, С. 138].

Таким образом, построение вспомогательных функций и их последующее интегрирование становится достаточно сложным и индивидуальным процессом для каждой конкретной модели, так как зависит от вида анализируемой функции, а численные методы, используемые при вычислении определённого интеграла, могут существенно сказаться на точности конечного результата.

-442.2. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА О КОНЕЧНЫХ АБСОЛЮТНЫХ ПРИРАЩЕНИЯХ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ 2.2.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Сравнительный анализ, проведенный в предыдущем разделе на основе сведений из [7, 67, 85, 115, 125], выявляет ряд существенных недостатков в большинстве известных методов оценки количественного влияния факторов на результирующий показатель.

При этом всё же существуют универсальные методы, позволяющие однозначно оценить величины факторного влияния. Среди последних, по мнению специалистов в области экономического анализа [7], позицию приоритетного занимает метод интегрирования, вытекающий из метода дробления приращений факторов, развивающего, в свою очередь, метод дифференциального исчисления. Действительно, применение интегрирования даёт возможность получить общий подход к решению задач разного вида. Однако и этот метод имеет ряд недостатков, затрудняющих его широкое применение в практике работы с нестандартными факторными моделями.

В процессе изучения теории и практики экономического факторного анализа был разработан альтернативный существующим метод оценки количественного влияния факторов на результирующий показатель – метод конечных приращений [21, 23, 26, 106, 110, 113, 131-133], основанный на применении теоретического аппарата классического математического анализа.

В связи с этим рассмотрим ряд базовых теорем дифференциального и интегрального исчисления [41, 59, 100], которые могут быть использованы в процессе изучения методологии экономического факторного анализа.

Данные теоремы последовательно приводят к формуле конечных приращений (формуле Лагранжа) [48, 57, 137, 139], которая стала основой для разработки нового универсального метода экономического факторного анализа, применимого в условиях произвольных конечных приращений факторов.

-45Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции.

Пусть функция f (x) имеет в точке x0 конечную производную f (x0 ). Тогда, если f (x0 ) > 0, то f (x) возрастает в точке x0 (то есть для значений x из некоторой окрестности x0 выполняются условия: если x < x0, то f (x) < f (x0 ), если x > x0, то f (x) > f (x0 ) ); если f (x0 ) < 0, то f (x) убывает в точке x0 (то есть для значений x из некоторой окрестности x0 выполняются условия: если x < x0, то f (x) > f (x0 ), если x > x0, то f (x) < f (x0) ).

Доказательство.

По определению, f f (x) - f (x0 ) f (x0) = lim = lim.

x x x0 xx0 - x Рассмотрим случай f (x0 ) > 0. Таким образом, существует окрестность точки x0, в которой верно неравенство f (x) - f (x0 ) > 0, x - xчто означает справедливость следующих соотношений:

f (x) - f (x0 ) > 0 при x > x0, f (x) - f (x0 ) < 0 при x < x0, то есть функция f (x) возрастает в точке x0. Случай f (x0 ) < 0 рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Теорема Ферма (необходимое условие оптимума (экстремума)).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.