WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 41 |

Метод главного критерия Наиболее простым и часто применяющимся методом является выделение одного критерия в качестве главного и перевод остальных критериев в разряд ограничений путем формулировки дополнительных ограничений на значения этих критериев. Конкретные значения данных дополнительных ограничений могут быть установлены, например, с помощью статистических методов, или экспертным путем на основании неформальных соображений. Вероятно, в большинстве ситуаций для банка основным критерием, подлежащим максимизации, будет являться показатель прибыльности (рентабельности), а на критерии, отражающие различные аспекты надежности, будут накладываться ограничения, так как конечной целью деятельности всякой коммерческой организации является получение прибыли, а увеличение надежности путем, например, чрезмерного повышения ликвидности выше разумных пределов не только не увеличит доверие клиентов и партнеров, но и может поставить под угрозу будущее состояние банка ввиду снижения прибыльности. Однако в некоторых ситуациях оправдано сосредоточение усилий на максимизации какого-либо другого критерия, помимо прибыльности. Так, в предвидении кризиса доверия к банковской системе разумной является максимизация ликвидности с целью удовлетворения массовых требований по возврату вкладов. В случае, если банк желает расширить свою ресурсную базу путем привлечения вкладов такой группы населения и хозяйственных агентов, которая при выборе банка ориентируется на его место в популярных банковских рейтингах, то следует максимизировать итоговый рейтинг банка по модели Кромонова, как наиболее популярной. В целом, метод приведения многокритериальной задачи к однокритериальной путем наложения дополнительных ограничений на менее важные критерии является широко распространенным ввиду своей понятности, простоты интерпретации результатов и невысоких требований к математической подготовке эксперта, программному обеспечению и быстродействию ЭВМ. Однако данному методу присущ ряд фундаментальных недостатков. Прежде всего, данный метод значительно упрощает структуру исходной задачи, не учитывает разницу в значениях критериев, переведенных в разряд ограничений. Кроме того, достаточно трудной задачей является формулирование ограничений на значения менее важных критериев. Если задать слишком низкие ограничения, то полученная точка не обязательно будет Парето-оптимальной (в случае, если целевая функция имеет несколько экстремумов), а если слишком высокие, то значение целевой функции (главного критерия) в полученной точке будет слишком низким по сравнению с его абсолютно достижимым максимумом (без учета ограничений на другие критерии). Однако данный метод используется при построении Парето-оптимального множества по методике академика Моисеева.

Метод уступок Улучшенной разновидностью метода перевода менее важных критериев в ограничения является метод последовательных уступок (называемый также методом оптимизации по последовательно применяемым критериям), предлагаемый прежде всего В. В. Подиновским в ряде работ. Его суть состоит в следующем. Проводится анализ относительной важности критериев и критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности. Производится оптимизация по первому критерию и определяется его наибольшее значение f1*. Далее эксперт оценивает величину допустимого снижения (уступки) данного критерия ( f1* - f1) и ищется оптимум второго по важности критерия и т.д. После оптимизации последнего по важности критерия при условии, что значение каждого критерия k =1, K должно быть не меньше ( fk* - fk ), k =1, K, получаемые решения считаются оптимальными.

Достоинства данного метода в его простоте и наглядности. Важным преимуществом является возможность целенаправленного участия лица, принимающего решения в процессе оптимизации с учетом ранее полученных (на предыдущем этапе оптимизации) данных путем выбора величины уступки по каждому критерию.

Основным теоретическим недостатком данного метода является то, что на каждом шаге происходит усечение множества точек, оптимальных по Парето, отсюда в общем случае получившееся решение не оптимально по Парето, т.е.

требуется дополнительное доказательство оптимальности по Парето данного решения, что является очень сложной процедурой. Иначе придется смириться с тем, что данное решение, хотя и удовлетворяет лицо, принимающее решение значениями всех критериев, но не обязательно является оптимальным. Однако на практике это не столь важно, так как в реальной ситуации ищут, как правило, не оптимальное, но «достаточно хорошее» решение. Вторым недостатком является сложность выбора и обоснования величин уступок по отдельным критериям, так как величины уступок не соизмеримы между собой ввиду различной экономической сущности разных критериев. Однако от второго недостатка можно избавиться применением нормализации критериев.

Свертка критериев Другая очень распространенная группа методов скаляризации векторной задачи математического программирования – свертка критериев.

Существует большое количество разных видов сверток [11, 12]. Теоретически все они базируются на подходе, связанном с понятием функции полезности лица, принимающего решение. При данном подходе предполагается, что лицо, принимающее решение, всегда имеет функцию полезности, независимо от того, может ли лицо, принимающее решение задать ее в явном виде (т.е. дать ее математическое описание). Эта функция отображает векторы критериев на действительную прямую так, что большее значение на этой прямой соответствует более предпочтительному вектору критериев. Смысл разных сверток состоит в том, чтобы из нескольких критериев получить один «коэффициент качества» (сводный критерий), приближенно моделируя таким образом неизвестную (не заданную в явном виде) функцию полезности лица, принимающего решение. Наиболее популярной сверткой является метод взвешенных сумм с точечным оцениванием весов. При этом задается вектор весовых коэффициентов критериев, характеризующий относительную важность того или иного критерия:

A = {ak,k =1, K}. (64) Весовые коэффициенты обычно используются в нормированном виде и удовлетворяют равенству:

K =1, ak 0, k K, (65) ak k =т.е. предполагается, что весовые коэффициенты неотрицательны. Каждый критерий умножается на свой весовой коэффициент, а затем все взвешенные критерии суммируются и образуют взвешенную целевую функцию, значение которой интерпретируются как «коэффициент качества» полученного решения. Полученная скаляризованная функция максимизируется на допустимой области ограничений.

Получается однокритериальная (скалярная) задача математического программирования:

K F = max fk (X ). (66) ak k =В результате решения данной задачи получается точка оптимума X.

Основным достоинством данной свертки является то, что с ней связаны классические достаточные и необходимые условия оптимальности по Парето (теоремы Карлина).

Теорема Карлина 1.

В выпуклой задаче многокритериальной оптимизации точка X S оптимальна по Парето, если существует вектор весовых коэффициентов A0 = {ak 0, k = 1, K}, для которого выполняется соотношение:

K K 0 0 fk0 (X ) = max fk (X ). (67) ak ak X S k =1 k =a0=Теорема Карлина 2.

Если в выпуклой задаче многокритериальной оптимизации точка X S Парето-оптимальна, то существует вектор весовых коэффициентов A0 = {ak 0, k = 1, K}, для которого выполняется соотношение:

K K 0 0 fk0 (X ) = max fk (X ). (68) ak ak X S k =1 k =a0=Согласно данным теоремам, данную свертку можно использовать для получения Парето-оптимальных точек.

Примером данной свертки может служить итоговый рейтинг надежности банка Кромонова, полученный как аддитивная свертка ряда коэффициентов. Достоинством данного метода является то, что он согласно теореме Карлина генерирует Парето-оптимальные точки. Однако ему присущ целый ряд фундаментальных недостатков. Во-первых, неявная функция полезности лица, принимающего решения, как правило, нелинейна, поэтому «истинные» веса критериев (т.е. такие веса, при которых градиент взвешенное целевой функции совпадает по направлению в градиентом функции полезности) будут меняться от точки к точке, поэтому можно говорить лишь о локально подходящих весах, кроме того, часто лицо, принимающее решение вообще не может задать весовые коэффициенты. Во-вторых, далеко не всегда потеря качества по одному из критериев компенсируется приращением качества по другому. Поэтому полученное решение, оптимальное в смысле единого суммарного критерия, может характеризоваться низким качеством по ряду частных критериев и быть поэтому абсолютно неприемлемым. В-третьих, полученное решение часто бывает неустойчиво, т.е. малым приращениям весовых коэффициентов соответствуют большие приращения целевых функций. В-четвертых, свертка критериев разной физической природы не позволяет интерпретировать значение взвешенной целевой функции. В-пятых, значительные затруднения могут возникнуть в случае сильной корреляции между критериями.

Некоторые из вышеперечисленных недостатков могут быть скорректированы. Так, в случае разной физической (экономической) природы критериев возможна их нормализация и последующая свертка нормализованных критериев.

Чтобы исключить неприемлемо низкие значения отдельных критериев, можно наложить дополнительные ограничения на эти критерии.

Другим методом борьбы с данным недостатком – неприемлемо низкими значениями отдельных критериев при хорошем значении суммарного критерия – является применение сверток не аддитивного, а мультипликативного вида:

k F = max fk (X )). (69) (ak kK Однако данная свертка не получила большого распространения ввиду того, что существуют аналогичные, но более перспективные виды сверток.

Так, существует свертка вида:

p K - min F = fk* fk (X ). (70) fk* k = Наиболее широкое применение данная свертка получила при p = 2, которая трактуется как минимизация суммы квадратов относительных отклонений функционалов от своих достижимых оптимальных значений. Данная точка в случае равноценности критериев показывает решение, наиболее близкое к недостижимой «идеальной» точке (в которой все критерии принимают свое максимальное значение). Однако данной свертке также свойственен следующий распространенный недостаток: «хорошее» значение сводного критерия достигается ценой низких значений некоторых частных критериев.

Методики, основанные на гарантированном результате Данный недостаток отсутствует в методиках, основанных на гарантированном результате (максимине, минимаксе). Данный принцип впервые был предложен Карлиным [19] в следующей постановке:

max min F (X ) = { fk, k =1, K}. (71) X k Данная задача называется максимизацией минимальной компоненты. Но, так как критерии часто измеряются в разных единицах, то не представляется возможным сравнивать критерии между собой и вести совместную оптимизацию.

Машуниным был предложен усовершенствованный вариант данной методики, основанный на использовании нормализации критериев.

Машунин вводит понятие уровня -нижней из относительных оценок:

= min k (X ) (72) kK и преобразует максиминную задачу 0 = max min k (X ) (73) X S kK в экстремальную задачу 0 = max, k (X ), k =1, K. (74) X S Данная задача является формализованным представлением принципа максимальной эффективности.

Методика, основанная на принципе максимина, позволяет оценить расположение условного центра многомерного множества Парето. Применение данного метода полезно даже в условиях задачи с двумя или тремя критериями, когда возможна визуализация множества Парето, так как она дает дополнительную информацию о возможностях компромисса между критериями.

2.6.2.7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АКТИВАМИ Для иллюстрации изложенных выше теоретических положений были решены задачи (38 – 41, 46 – 48). Одними из основных требований при решении задачи оперативного управления банковскими активами являются скорость расчетов и удобная для анализа форма предоставления результатов.

Описанные выше методики, реализованные в среде электронных таблиц Excel 7.0, в основном соответствуют данным требованиям. Непосредственно затрачиваемое на расчеты машинное время не превышает десятков секунд, а основная часть времени тратится на диалог с пользователем. Для расчетов использовался реальный баланс банка, при этом сумма свободных средств S = 12 750 тыс. р., а в качестве возможных направлений вложений свободных средств рассматривались:

x1 – межбанковские кредиты на срок от 31 до 90 дней (d1 = 25 % годовых);

x2 – кредитование негосударственных коммерческих предприятий и организаций на срок от 31 до 90 дней (d2 = 33 % годовых);

x3 – кредитование негосударственных коммерческих предприятий и организаций на срок от 91 до 180 дней (d3 = 36 % годовых);

x4 – размещение средств на корреспондентском счете в банке-корреспонденте (d4 = 15 % годовых).

Кроме того, исходя из реальных заявок на кредиты, на параметры вектора x были наложены ограничения:

x1 2000 тыс. р.;

x2 7000 тыс. р.;

x3 1400 тыс. р.

Решение задач (38 – 41) при r = 8,7 % дало следующие результаты:

max Н2 (x ) = 84,8 %. (75) x При этом x01 = 0;

x02 = 0;

x03 = 1373;

H1 = 56 %;

H4 = 1,5 %.

max Н3(x ) = 78,7 % ; (76) x x01 = 0;

x02 = 0;

x03 = 0;

H1 = 54 %;

H4 = 1,5 %.

max Н5(x ) = 48,37 % ; (77) x x01 = 0;

x02 = 0;

x03 = 0;

H1 = 54 %;

H4 = 1,5 %.

Это подтверждает тот факт, что критерии Н3 и Н5 достигают максимума в одной и той же точке. Задача оптимизации норматива Н4 не ставилась, поскольку, для небольшого банка в современных экономических условиях задача управления долгосрочными кредитами не является актуальной ввиду очень высокого уровня рисков.

Решим задачу максимизиции критерия Кромонова N (40) при тех же ограничениях:

max N (x ) = 76,9 % ; (78) x x01 = 0;

x02 = 0;

x03 = 0.

Задача максимизации рентабельности R3 при тех же ограничениях (41):

max R3(x ) =12,3 % ; (79) x x01 = 0;

x02 = 391;

x03 = 1400;

x04 = 6471.

Как было указано выше, главная цель, стоящая перед банком – максимизация доходности при одновременной максимизации надежности (минимизации риска). В качестве показателя доходности используется рентабельность активов R3 (x ), а в качестве интегрального показателя надежности – обобщенный критерий Кромонова N (x ) – задача (48).

Чтобы получить крайние точки множества Парето, вначале максимизируем данные критерии по отдельности, без ограничений на другой критерий:

max R3(x ) =12,34 %;

x При этом N = 35,76 %;

Максимизир уем второй критерий : (80) max N (x ) = 76,9 %;

x При этом R3 = 7,58 %.

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 41 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.