WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

j Э i Ж Б Ж Б Ж Б Ж Б Для каждого уровня экономической эффективности мы получаем некоторую сеть напряженных вариантов, которая является подграфом сети 2.7. Заметим, однако, что эти подграфы пересекаются только в начальной вершине и некоторых конечных вершинах. Разделим конечные вершины, в которых пересекаются подграфы, на несколько вершин, так чтобы все подграфы имели только одну общую вершину, а именно начальную, рис 2.9. Теперь для получения сети применяем описанный выше алгоритм определения варианта минимальной стоимости. Оптимальный вариант 52 23 1;3 2;2 3;2 15 30 1 8 1 2 3 1 2 2 71 18 15 57 1;1 1;4 2;2 3;1 2;4 3;0 1 3 7 10 20 8 5 15 10 70 50 1 8 1 2 3 1 2 3 1 2 УЖ УБ УЭ Рис.2.9.

показан на рис. 2.9 толстыми линиями. Это вариант (3; 1; 2) с затратами s = 23. Таким образом можно определять оптимальные варианты программы развития отрасли и для случая, когда одно из направлений влияет на другие.

ГЛАВА III. Задача минимизации упущенной выгоды После того, как сформирована программа развития отрасли, то есть выбрано множество проектов, реализация которых обеспечивает достижение поставленных целей, возникает задача построения календарного плана реализации программы. Дело в том, что в условиях дефицита финансовых ресурсов нет возможности вести одновременно реализацию всех проектов программы. Необходимо выбрать первоочередные, реализация которых обеспечивает наибольший эффект.

Реализация остальных проектов отодвигается на более поздние сроки.

Очевидно, что сдвиг проектов на более поздние сроки приводит к уменьшению эффекта или, как говорят, к упущенной выгоде. Желательно разработать такой план реализации программы, при котором упущенная выгода минимальна. Рассмотрим формальную постановку задачи. Пусть программа состоит из n проектов. Каждый проект будем описывать требуемым объемом финансирования wi и продолжительностью реализации i. Величина i определяется максимальным объемом средств ai, который можно освоить в единицу времени, то есть i = wi /ai. Примем, что задержка срока реализации проекта на единицу времени (например, на месяц) приводит к упущенной выгоде, которая равна ci. Известны возможные объемы финансирования программы в зависимости от времени, то есть известно, что в k-ом периоде объем финансирования составит Nk, k = 1, p. Задача заключается в определении графиков финансирования проектов так, чтобы упущенная выгода n F = citi i=(ti - момент завершения i-го проекта) была минимальной. Эта задача была поставлена в работе [18], где предложен эвристический алгоритм ее решения. В основе алгоритма лежит упорядочение проектов по убыванию приоритетов qi = ci/wi. Там же приведен пример, показывающий, что это правило не всегда дает оптимальное решение. Рассмотрим приближенный алгоритм решения задачи.

Обозначим xik - объем финансирования i-го проекта в k-ом периоде.

Выпишем ограничения на допустимые значения {xik}. Ограничения на заданные объемы финансирования по периодам n (3.1) xik Nk, k = 1, p.

i=Ограничения на допустимый объем финансирования i-го проекта в k-ом периоде xik ai, k = 1, p, i = 1, n. (3.2) Напомним требование выполнения полного объема работ по проектам:

p xik = wi, i = 1, n.

(3.3) k=Ограничения (3.1) - (3.3) это классические ограничения транспортной задачи. Условия ее разрешимости очевидны:

p n Nk wi, k=1 i=то есть общий объем финансовых ресурсов должен быть не меньше суммарного объема требуемых ресурсов для реализации всех проектов.

Специфику задачи определяет вид целевой функции. Действительно, момент завершения проекта ti равен периоду ki такому, что ki xiq = wi, q=то есть за периоды от 1 до ki выполнен весь объем работы по i-му проекту.

Аналитически ti можно записать как функцию {xik}следующим образом:

ti = max k xik, ( ) k и, соответственно, критерий оптимальности примет вид n citi = ci max k xik. (3.4) ( ) k i=1 i Эффективных точных методов решения задачи (3.1) - (3.4) не известно.

Ниже дается описание приближенного алгоритма. Предварительно для каждого проекта i определим последовательность чисел k + i - dik =, i где [x] - целая часть x. Другими словами, мы разбиваем ось времени на отрезки длинны i. При этом dik определяет номер отрезка, которому принадлежит период k. Так, если i = 3, то первые три периода имеют dik = 1, следующая тройка - dik = 2 и т.д.

Лемма.

p xik ti dik. (3.5) ai k=Доказательство. Пусть проект i завершается в периоде q, то есть ti = q, причем выполняется непрерывно в периодах с (q - i + 1) до q с максимально допустимым уровнем финансирования ai, то есть xij = ai, j = q - i + 1, q.

( ) В этом случае p q xik dik = dik.

ai k=1 k=q-i +q Покажем, что d = q.

ik k=q-i +Действительно, пусть q = (m - 1)i, тогда все периоды от (q - i + 1) до q q имеют dik = (m - 1) и значит ( ) d = m - 1 = q. Если q = (m - 1)i + ik i k=q-i +( < i), то периодов имеют dik = m, а i - периодов имеют dik = (m - 1). В этом случае q + m = m - 1 i + = q.

( )( d = m - 1 i - ) ( ) ik k=q-i +Пусть теперь xik > 0 для k Qi, причем проект i завершается в периоде q. В этом случае в силу неубывания dik с ростом k p q xik dik dik = q.

ai k=1 k=q-i +Лемма доказана.

Заменим величину ti на ее нижнюю оценку (3.5). В этом случае dijci получаем классическую транспортную задачу cij = : определить ( ) ai xij 0, i = 1, n, j = 1, p такие, что C = xijcij min, (3.6) i,j xij N, j = 1, p, (3.7) j i xij = wi, i = 1, n.

(3.8) j j Ее решение дает оценку снизу решения исходной задачи. Более того, мы получаем допустимое решение, а значит можем оценить его погрешность.

Пример 3.1. Программа развития отрасли состоит из трех проектов, данные о которых приведены в таблице 3.1. Пусть график финансирования имеет вид N1 = 10, N2 = 8, N3 = 6, N4 = 4. Значения dik приведены в таблице 3.2, а значения cik транспортной задачи приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.1.

iwi ai i ci Таблица 3.2.

k i 1 2 3 Таблица 3.3.

k i 2 Транспортная сеть, в которой показаны только дуги с ненулевыми финансовыми потоками приведена на рис. 3.1.

(3) (4) (10) (1) (2) (10) (4) (8) (4) (12) 0 2 Z (6) (4) (3) (6) (3) (4) Рис.3.1.

Величина критерия С оценочной задачи (3.6) - (3.8) равна 253/5. Мы видим, что в полученном решении проект 1 завершается в четвертом периоде, проект 2 - в третьем, а проект 3 - во втором. Это допустимое решение для задачи минимизации упущенной выгоды с величиной упущенной выгоды F = 4с1 + 3с2 + 2с3 = 12 + 12 + 4 = 28.

Таким образом отклонение полученного решения от оптимального не превышает 2 единицы, поскольку оценку снизу 253/5 можно заменить на в силу целочисленности значений упущенной выгоды. Для того, чтобы получить оптимальное решение применим метод ветвей и границ. Для этого разобьем множество всех решений на два подмножества. В первом подмножестве проект 1 завершается в четвертом периоде, а во втором раньше четвертого периода. Для первого подмножества мы уже имеем оптимальное решение со значением F = 28, поскольку второй проект не может завершаться раньше третьего периода, а третий - раньше второго.

Оценим второе подмножество. Для этого нужно решить транспортную задачу, исключив дугу (1, 4), соответствующую выполнению проекта 1 в четвертом периоде. Оптимальное решение этой задачи приведено на рис. 3.2.

(5) (4) (10) (3) (2) (10) (4) (8) (3) (12) 0 2 Z (6) (4) (1) (6) (4) (2) (1) (3) Рис.3.2.

Величина критерия оценочной задачи равна 271/5 или 28 с учетом целочисленности. Следовательно, полученное выше решение не хуже, чем оптимальное решение во втором подмножестве, а значит является оптимальным.

В рамках рассмотренного подхода можно учесть и ограничения на моменты начала и завершения проектов а также запрещения на выполнение проекта в определенных периодах. Для этого достаточно оставить в транспортной сети только допустимые дуги (i, j) (проект i может выполняться в периоде j).

Пример 3.2. Пусть в задаче, рассмотренной в примере 3.1 имеются дополнительные ограничения. А именно, проект 3 может начинаться только со второго периода, а проект 1 должен завершаться не позже третьего периода. График финансирования имеет вид: N1 = 6, N2 = 9, N3 = 10, N4 = 3. Так как матрица затрат (таблица 3.3) не изменилась, то решаем транспортную задачу исключив из сети дугу (3, 1), так как проект 3 не может выполняться в первом периоде, и дугу (1, 4), так как проект должен завершиться не позже третьего периода. Оптимальное решение задачи приведено на рис.3.3.

(2) (6) (3) (5) (10) (9) (4) (4) (12) 0 2 Z (4) (10) (2) (6) (1) (3) (3) Рис.3.3.

Имеем величину оценки снизу C = 9 + 12 + 62/3 = 272/3, или 28. Так как первый проект завершается в третьем периоде, второй также в третьем, а третий - в четвертом, то величина упущенной выгоды F = 33 + 43 + 24 = 29. Погрешность полученного решения составляет 29 - 28 = 1.

Покажем, что полученное решение является оптимальным. Для этого заметим, что первый проект не может быть завершен во втором периоде, поскольку в этом случае в третьем периоде образуется избыток финансовых ресурсов. Третий проект может завершиться в третьем периоде, но тогда второй проект завершится в четвертом периоде, что приведет к росту упущенной выгоды на две единицы.

На практике часто встречаются задачи, в которых задан срок завершения проекта, при превышении которого возникают потери. В этом случае выражение для упущенной выгоды принимает вид n F = ci ti - Di 1 ti - Di, (3.9) ( ) [ ] i=где Di - желательный срок завершения i-го проекта, 1[x] = 1, если ti > Di и в противном случае. Для того, чтобы сформулировать оценочную задачу для этого случая определяем числа dik по аналогии с вышеописанным случаем, принимая за начальный период (Di + 1), то есть dik=0 если k Di и k + i - Di - dik =, i если k > Di. В этом случае, если ti > Di, то xikdik ti - Di ai.

k>Di Доказательство этого факта проводится по аналогии с доказательством леммы 3.1.

Таким образом мы получаем оценочную задачу (3.6) - (3.8), решение которой дает приближенное решение исходной задачи с оцениваемой погрешностью.

Пример 3.3. Примем, что все ai = 1. В этом случае объем финансирования проекта wi совпадает с минимальной продолжительностью его реализации i. Пусть имеются четыре проекта, данные о которых приведены в таблице 3.4.

Таблица 3.4.

ii Di ci Пусть Nk = 1, k = 1, 8.

Таблица коэффициентов сij оценочной транспортной задачи приведена ниже.

Таблица 3.5.

k 1 2 3 4 5 6 7 i 1 0 0 0 3 3 6 6 2 0 0 0 0 4 4 4 3 0 0 0 2 4 6 8 4 0 0 1 1 2 2 3 Оптимальное решение оценочной задачи выделено жирным шрифтом с подчеркиванием. Имеем C = 12, а величина упущенной выгоды для соответствующего допустимого решения F = 24. Действительно, t1 = 5, t2 = 7, t3 = 1, t4 = 8 и следовательно F = 3(t1 - 3) + 4(t2 - 4) + 1( t4 - 2) = 24.

Разобьем множество всех решений на два подмножества. В первом проект 2 завершается не раньше 7-го периода, а во втором - не позже 6-го периода. Рассмотрим первое подмножество. Так как проект 2 завершается не раньше 7-го периода, то в оптимальном решении транспортной задачи мы можем все работы по проекту, выполняемые во втором и четвертом периодах передвинуть на более поздние периоды, освобождая место для других проектов. Получим решение, приведенное в таблице 3.6.

Таблица 3.6.

k 1 2 3 4 5 6 7 i 1 0 0 0 3 3 6 6 2 0 0 0 0 4 4 4 3 0 0 0 2 4 6 8 4 0 0 1 1 2 2 3 Для этого решения C = 17, F = 20.

Для второго подмножества клетки (2, 7) и (2, 8) запрещены.

Оптимальное решение транспортной задачи приведено ниже.

Таблица 3.7.

k 1 2 3 4 5 6 7 i 1 0 0 0 3 3 6 6 2 0 0 0 0 4 3 0 0 0 2 4 6 8 4 0 0 1 1 2 2 3 Имеем C = 13, F = 20.

Выбираем второе подмножество с меньшей оценкой. Это подмножество также разбиваем на два. В первом проект 2 завершается точно в 6-ом периоде, а во втором - не позже 5-го периода. Оптимальное решение оценочной задачи для первого подмножества приведено в таблице 3.8, а для второго - в таблице 3.9.

Таблица 3.8.

k 1 2 3 4 5 6 7 i 1 0 0 0 3 3 6 6 2 0 0 0 0 4 3 0 0 0 2 4 6 8 4 0 0 1 1 2 2 3 Имеем C = 16 и F = 16, то есть полученное решение является оптимальным в данном подмножестве.

Таблица 3.9.

k 1 2 3 4 5 6 7 i 1 0 0 0 3 3 6 6 2 0 0 0 0 3 0 0 0 2 4 6 8 4 0 0 1 1 2 2 3 Имеем C = 15 и F = 15, то есть полученное решение является оптимальным в этом подмножестве.

Окончательно получаем оптимальное решение, соответствующее решению транспортной задачи, приведенному в таблице 3.9 со значением упущенной выгоды F = 15. Таким образом в данном случае нам пришлось решить пять задач транспортного типа. Заметим, сто число возможных вариантов, определяемое числом перестановок четырех проектов равно 24.

С ростом числа проектов число возможных вариантов растет как n! и преимущества описанного метода проявляются в бльшей степени.

В тех случаях, когда проекты направлены на достижение различных целей в качестве критерия оптимальности распределения финансовых ресурсов целесообразно взять F = max ci ti - Di, (3.10) ( ) i что соответствует минимизации максимальной упущенной выгоды. Эта задача легко сводится к параметрической транспортной задаче. В качестве параметра выступает величина критерия F. Дадим описание алгоритма.

Пусть задана величина F (на первом шаге берем F = 0). В этом случае из условия ci(ti - Di) F получаем F + ciDi ti bi =, i = 1, n.

(3.11) ci Оставляем в транспортной сети только дуги (i, j), такие что j bi и определяем максимальный поток в сети при ограничении bi (3.12) xik wi, i = 1, n.

k=bi Если этот поток насыщает все входные дуги, то есть xik = wi для всех i, k=то получено оптимальное решение задачи. В противном случае увеличиваем F до такой величины, при которой в сети появляется хотя бы одна новая дуга. Очевидно, что за конечное число шагов будет получено оптимальное решение задачи.

Пример 3.4. Решим задачу, рассмотренную в примере 3.3 для критерия (3.10). Заметим, что величина F должна быть по крайней мере такой, при которой в любую вершину j идет хотя бы одна дуга. Для вершины 8 имеем min ci(8 - Di) F или min (15, 16, 10, 6) F.

Берем F = 6. В таблице 3.10 знаком () указаны запрещенные клетки.

Определяем поток максимальной величины в соответствующей транспортной сети. Единичные потоки по дугам отмечены в таблице 3.10.

Таблица 3.10.

k 1 2 3 4 5 6 7 i 1 1 2 1 1 3 4 1 Максимальный поток равен 8, то есть все проекты выполняются.

Таким образом мы получили оптимальное решение со значением F = 6. Интересно отметить, что полученное решение имеет суммарную величину упущенной выгоды, равную 16, что весьма близко к оптимальной величине F = 15 (для оптимального решения по критерию суммы упущенной выгоды максимум упущенной выгоды имеет проект 2, и этот максимум равен 8, что больше, чем в полученном выше решении.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.