WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

Нетрудно видеть, что L-шкала является монотонным нелинейным преобразованием R-шкалы. Действительно, L является монотонно возрастающей функцией R, причем при R = 0 (нулевой риск) L также равен 0, а при R = 1 (стопроцентный риск) L =, что соответствует абсолютному или бесконечному риску. Основное достоинство L-шкалы состоит в том, что L-риск программы, состоящей из множества Q мероприятий равен сумме L-рисков этих мероприятий, то есть L(Q) =, где = - n(1 - qi), iQ.

i i iQ Для построения РЭСТ-диаграммы на плоскости строим систему координат, ось абсцисс которой соответствует L-риску, а ось ординат затратам. Рассматриваем множество всех мероприятий в очередности их номеров. Сначала рассматриваем первое мероприятие и строим точку x1 с координатами (, s1), где - величина -риска мероприятия 1, а s1 1 затраты на его реализацию. У точки x1 пишем номер координаты [0, 0] точки, из которой она получена и величину эффекта a1 от первого мероприятия в случае его успешной реализации. Далее рассматриваем второе мероприятие. Теперь строим две точки - одну с координатами (, s2), а другую с координатами ( +, s1 + s2). У первой точки пишем 2 1 координаты точки [0, 0] и эффект a2, а у второй координаты (, s1) и величину эффекта (a1 + a2). На третьем шаге рассматриваем третье мероприятие и строим уже четыре точки. Это точка с координатами [, s3] и пометкой [0, 0], a3; точка с координатами [ +, s1 + s3] и пометкой (, s1), (a1 + a3); точка с координатами 1 3 [ +, s2 + s3] и пометкой (, s2), (a2 + a3) и, наконец, точка с 2 3 координатами [ + +, s1 + s2 + s3] и пометкой ( +, s1 + s2), 1 2 3 1 (a1 + a2 + a3). Аналогично рассмотрим мероприятие 4 и т.д.

РЭСТ-диаграмма для рассматриваемого нами примера приведена на рис. 1.4 для величин -рисков, приведенных в таблице 1.4.

Таблица 1.4.

Мероприятия 0,10,20,30,-риск Анализ РЭСТ-диаграммы позволяет исключить ряд точек из рассмотрения, как явно неоптимальных. Действительно, рассмотрим, например, точку с координатами [0,4; 50]. Она соответствует пакету из уже рассмотренных четырех мероприятий, включающему только четвертое мероприятие. Однако, существует точка [0,3; 40], соответствующая пакету из рассмотренных только двух мероприятий, включающему третье мероприятие, причем этот пакет имеет при меньшем риске и меньших затратах больший эффект. Очевидно, что какие бы мероприятия далее не добавлялись к первому пакету (точка [0,4; 50]), всегда можно получить лучший пакет, заменяя мероприятие 4 на мероприятие 3 (точка [0,3; 40]).

S [0,6;200], [0,3;160], [0,3;160], [0,5;140], [0,1;60][0,4;100], [0,2;100],[0,2;100], [0,1;60], [0;0], [0,1;60], [0,3; 40], [0;0], 50 [0;0], [0;0], L 0,5 1,Рис. 1.4. РЭСТ-диаграмма.

Аналогично можно исключить из дальнейшего рассмотрения точки с координатами [0,7; 90], [0,5; 110], [0,6; 150], [0,8; 150], [0,9; 190], [0,7; 210].

Такие точки называются доминируемыми. Дадим точное определение.

Определение. Точка [L1, S1] доминирует точку [L2, S2], если:

1. Число мероприятий, рассмотренных при построении первой точки меньше или равно числу мероприятий, рассмотренному при построении второй точки.

2. Имеют место условия L1 L2; S1 S2; A1 A(где L - величина L-риска, S - величина затрат, A - величина эффекта).

Все доминируемые точки можно исключить и в дальнейшем не учитывать при рассмотрении следующих мероприятий.

Если первое условие не выполняется, то есть число мероприятий, рассмотренных при построении первой точки больше числа мероприятий рассмотренных при построении второй точки, то будем говорить, что первая точка условно доминирует вторую. Условно доминируемую точку можно исключать из РЭСТ-диаграммы только после того, как на ее основе построена следующая точка. Легко проверить, что все точки, отмеченные на РЭСТ-диаграмме (рис 1.4) серым цветом, являются доминируемыми. На рис. 1.5 приведена РЭСТ-диаграмма без доминируемых точек.

Имея РЭСТ-диаграмму множества мероприятий нетрудно принимать решения о выборе оптимального пакета мероприятий при ограничениях на величину затрат и риска. Достаточно внутри допустимой области определить точку с максимальным эффектом. Так, при величине L-риска не более 0,3 и величине затрат не более 200 из РЭСТ-диаграммы сразу получаем оптимальный пакет, соответствующий точке [0,3; 160] с эффектом 540. Мероприятия, входящие в пакет, также легко определяются на основе пометок, стоящих у точек. Так точка [0,3; 160] помечена [0,1;

60], то есть в соответствующий пакет входит мероприятие с затратами и -риском 0,2. Найдя точку [0,1; 60] мы видим, что это мероприятие имеет эффект 540 - 240 = 300 единиц. Следовательно, это второе мероприятие.

Теперь анализируем точку [0,1; 60]. У нее стоит пометка [0; 0], Следовательно ей соответствует мероприятие с затратами 60, -риском 0,и эффектом 240, то есть первое мероприятие.

S [0,6;200], [0,3;160], [0,1;60][0,2;100], [0;0], [0,1;60], [0;0], [0;0], L 0,5 1,Рис. 1.5. РЭСТ-диаграмма без доминируемых точек.

Проиллюстрируем метод построения РЭСТ-диаграммы и удаление доминируемых (а также условно доминируемых) точек еще на одном примере. Данные о мероприятиях приведены в таблице 1.5.

Таблица 1.5.

Мероприятия Затраты 0,20,10,40, -риск Эффект I шаг. Строим точку с координатами [0,2; 10] и помечаем ее [0; 0] 70.

II шаг. Строим две точки. Одну - с координатами [0,1; 20], и другую - с координатами [0,3; 30], помечая ее [0,2; 10] 120.

Проверяем, что доминируемых точек нет.

III шаг. Строим четыре точки:

- с координатами [0,4; 30], помечая ее [0; 0] 110;

- с координатами [0,6; 40], помечая ее [0,2; 10] 180.

- с координатами [0,5; 50], помечая ее [0,1; 20] 160;

- с координатами [0,7; 60], помечая ее [0,3; 30] 230;

Проверяя на доминируемость определяем, что точка [0,3; 30] доминирует точку [0,4; 30]. Исключаем точку [0,4; 30] из дальнейшего рассмотрения.

IV шаг. Строим последовательно следующие точки:

- С координатами [0,3; 40], помечая ее [0; 0] 100. Эту точку исключаем, так как она доминируется точкой [0,3; 30].

- С координатами [0,5; 50], помечая ее [0,2; 10] 160. Эту точку исключаем, так как она доминируется точкой [0,3; 30]. Однако, число мероприятий, рассмотренных при построении ранее полученной точки меньше, чем у новой точки, поэтому имеет место условное доминирование. В этом случае сначала строим точку с координатами [0,8; 90], помечая ее [0,5; 50], 260, а затем удаляем пометку [0,2; 10] 160 у точки [0,5; 50], оставляя доминирующую пометку [0,2; 10] 170.

- С координатами [0,4; 60], помечая ее [0,1; 20] 150.

- С координатами [0,6; 70], помечая ее [0,3; 30] 220.

- С координатами [0,9; 80], помечая ее [0,6; 40] 280.

- С координатами [0,8; 90], помечая ее [0,5; 50] 260.

- С координатами [1,0; 100], помечая ее [0,7; 60] 330.

Окончательно РЭСТ-диаграмма без доминируемых точек приведена на рис. 1.6.

S [0,4;60], [0,7;60][0,5;50], [0,6;40], [0,3;30], [0,1;20], [0,3;30], [0,2;10], [0,2;10], [0,2;10], [0;0], [0;0], L 0,5 1,Рис. 1.6.

Таким образом РЭСТ-диаграммы позволяют эффективно решать задачи выбора множества мероприятий по критериям затрат, риска и эффекта. Однако, в ряде случаев нас интересует более детальный анализ пакета мероприятий. Такой более детальный анализ можно провести на основе гистограммы эффекта или, другими словами, графика, показывающего вероятность получения того или иного эффекта. Для получения такого графика воспользуемся методом который мы применяли для получения оптимального пакета мероприятий при ограниченных затратах (без учета риска), изменив немного способ построения сети. А именно, на оси абсцисс по-прежнему отмечаем номера мероприятий, однако, на оси ординат отмечаем не величину затрат, а величину эффекта.

Существенно меняется и способ определения чисел в вершинах сети.

Описание алгоритма приведем на данных из таблицы 1.6 для пакета из четырех мероприятий.

Таблица 1.6.

Мероприятия Затраты Риск q 0,10,20,30,Надежность p 0,90,80,70,I шаг. Рассматриваем первое мероприятие и проводим из начала координат две дуги - одна в точку (1; 0), а другая в точку (1; 10). У конца первой дуги пишем 0,1, а у конца второй - 0,9. Первая горизонтальная дуга соответствует тому, что мероприятие не реализовано и эффект не получен (вероятность этого равна риску, то есть 0,1), а вторая, наклонная, соответствует успешной реализации мероприятия и получению эффекта (вероятность этого равна надежности проекта, то есть 0,9).

II шаг. Рассматриваем второе мероприятие. Из каждой точки, - [1;10] и [1;0], - проводим по две дуги, получая четыре точки с координатами [2;0], [2;20], [2;10], [2;30], соответствующие четырем возможным вариантам реализации двух проектов. У каждой точки пишем вероятность соответствующего события. Так у точки [2;0] пишем число q1q2 = 0,02, что соответствует вероятности того, что оба мероприятия не реализованы, у точки [2;20] пишем число q1p2 = 0,08, что соответствует тому, что первое мероприятие не реализовано, а второе - реализовано и т.д.

III шаг. Рассматриваем третье мероприятие. Из каждой из четырех точек, полученных на втором шаге, проводим также по две дуги, соответствующие неудаче (горизонтальная дуга) или удаче (наклонная дуга) в реализации третьего проекта. К ординате точки, полученной на втором шаге добавляется величина эффекта. Мы видим, что на этом шаге две точки совпадут, то есть мы получаем не восемь точек, а семь, с координатами [3;0], [3;10], [3;20], [3;30], [3;40], [3;50] и [3;60]. У совпавших точек соответствующие произведения вероятностей складываем. Заметим, что совпадают две точки, одна из которых соответствует успешной реализации первых двух мероприятий и неудаче в реализации третьего, а вторая - наоборот, неудаче в реализации первых двух проектов и успеху в реализации третьего. У этой точки пишем число p1p2q3 + q1q2p3 = 0,90,80,3 + 0,10,20,7 = 0,216 + 0,014 = 0,23.

IV шаг. Из каждой из семи точек проводим по две дуги, действуя аналогично третьему шагу при совпадении двух или более точек.

Окончательные результаты расчетов приведены на рис. 1.7. Числа у конечных вершин (справа) равны вероятности получить соответствующий эффект. Гистограмма распределения эффекта приведена на рис. 1.8.

Эффект 0,0,0,0,[0,504] 0,[0,056] 0,[0,126] 0,[0,72] [0,23] 0,0,8 [0,08] [0,024] 0,[0,9] 0,[0,18] 0,7 [0,054] 0,0,[0,02] [0,1] [0,006] 0,0,1 0,2 0,3 0,1 2 3 Рис. 1.7.

Вероятность 0,0,0,10 20 30 40 60 70 80 90 50 Рис. 1.8.

Построенная один раз сеть рис. 1.7 позволяет легко получать гистограммы эффектов для любого подмножества мероприятий. Для этого достаточно у отсутствующих мероприятий оставить только горизонтальные дуги, присвоив им вес 1. Так, если исключить четвертое и второе мероприятия, то из сети рис 1.7 непосредственно получаем сеть рис. 1.9.

Эффект 1,[0,63] 0,[0,07] 1,0,20 0,[0,9] [0,9] 1,[0,27] 1,0,0,[0,1] [0,1] [0,03] 0,0,1 1,0 0,3 1,1 2 3 Рис. 1.9.

В целом РЭСТ-диаграммы вместе с описанным методом построения гистограмм эффекта дают достаточный набор средств для принятия решений о выборе пакета мероприятий, обеспечивающих достижение поставленной цели.

ГЛАВА II. Комплексная оценка вариантов развития В предыдущих параграфах была рассмотрена задача формирования программы развития, оптимальной по одному критерию. Чтобы учесть все основные цели развития, рассмотрим задачу формирования программы развития с учетом всех критериев. Как правило, цели развития в определенном смысле противоречивы. Так, достижение финансовоэкономических целей приводит часто к росту экологического риска.

Большие затраты на повышение уровня жизни (социальная цель) затрудняют достижение финансово-экономических целей и т.д. Поэтому задача формирования программы развития с учетом социальных, экономических и экологических целей является задачей многокритериальной оптимизации. Существует несколько подходов к решению задач многокритериальной оптимизации. Большинство из них так или иначе связаны с формированием комплексной оценки, которая в агрегированном виде отражает все цели программы. Пусть программа оценивается по m критериям. Обозначим xj - значение j-го критерия.

Наиболее простой формой представления комплексной оценки является линейная свертка m F = x, (2.1) j j j=где j - вес j-го критерия, определяемый, как правило, на основе экспертных заключений. Недостатком линейных сверток является опасность потери эффективных вариантов. Вариант называется эффективным (паретооптимальным) если не существует другого варианта, который не хуже данного по всем критериям (мы считаем, что любые два варианта программы отличаются хотя бы по одному критерию). Эту опасность иллюстрирует рис. 2.1.

xA В D С xРис. 2.1.

Легко видеть, что какие бы веса 1, 2 мы ни взяли, будет выбран либо вариант А, либо вариант D, но никогда не будут выбраны варианты В и С. Для того, чтобы избежать этой опасности можно применить нелинейное преобразование шкал, таким образом, чтобы в новом пространстве варианты программы располагались так, как показано на рис. 2.2.

2(x2) A В С D 1(x1) Рис. 2.2.

При таком расположении для любого варианта всегда существуют веса 1 и 2, при которых будет выбран именно этот вариант. Заметим, что нелинейное преобразование может быть выбрано различными способами, однако при этом затрудняется работа экспертов по определению весов в новом пространстве, если оно не имеет достаточно хорошей содержательной интерпретации. В этом случае веса можно определять на основе экспертной информации о сравнительной эффективности выбранных базовых вариантов. Пусть например, выбраны четыре базовых варианта A, B, C, D (рис 2.2) и эксперты установили следующие оценки сравнительной эффективности этих вариантов:

D > C > A > B.

Пусть варианты имеют следующие оценки по двум критериям в преобразованном пространстве:

Таблица 2.1.

Вариант А В С D Критерий 1 Критерий 2 Очевидно, что веса 1 и 2 должны быть такими, чтобы выполнялись неравенства (2.2) 41 + 2 > 31 + 42 > 1 + 72 > 21 + 62.

Решим следующую задачу линейного программирования:

определить 1, 2 и, такие что max, 1 + 2 = 1, 41 + 2 31 + 42 +, 31 + 42 1 + 72 +, 1 + 72 21 + 62+.

Подставляя 2 =1 - 1, преобразуем неравенства к виду:

1 - 3 + 1.

2 Из этого уравнения определяем = -1/3, 1 = 2/3.

Отрицательная величина означает, что оценки экспертов противоречивы. Тем не менее, мы получили значения весов, при которых это противоречие свелось к минимуму. Другими словами система неравенств (2.2) не имеет решения, но мы нашли решение с минимальной невязкой. При полученных значениях весов комплексные оценки вариантов будут следующими:

FA = 3, FB = 31/3, FC = 31/3, FD = 3.

Заметим, что такого противоречия не возникает, если эксперты просто назовут лучший вариант из предъявленных. Пусть это вариант В. Тогда получаем следующую задачу:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.