WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

Рассмотрим задачу оптимального распределения средств на мероприятия по опросу в различных регионах (или сегментах рынка). Пусть задана величина средств, которая может быть израсходована на мероприятия по опросу в интересующих фирму регионах. Обозначим ni - планируемую величину выборки в i-ом регионе. Затраты на проведение опроса в i-ом регионе в зависимости от величины выборки можно представить в виде Si = ai + bini, где ai - постоянные затраты (не зависящие от величины выборки), а bini переменные затраты, пропорциональные объему выборки. К постоянным затратам относятся транспортные расходы (на поездку группы специалистов в регион), затраты на организацию представительства, на обучение и т.д. К переменным затратам относится оплата времени работы специалистов, производящих опрос (время работы, естественно, пропорционально объему выборки), транспортные расходы на разъезды в регионе и др. По формуле (1.4) можно определить гарантированную оценку ожидаемого спроса в i-ом регионе в зависимости от объема выборки:

Xгар = xiNi - Ni.

i i Обозначим pi - прибыль от продажи единицы продукции в i-ом регионе. Тогда задача максимизации ожидаемой прибыли сведется к задаче максимизации следующей величины:

Ф = xi - Nipi, (1.5) ( ) i iP где P - множество обследуемых регионов. Предполагая, что 1 << ni << Ni, если i-ый регион включен в план обследования, мы можем представить выражение (1.3) приближенно в виде 258i, i, ni и, после подстановки в (1.5), получаем следующую задачу оптимального распределения средств на мероприятия по опросу в различных регионах:

определить множество P обследуемых регионов и объем выборок ni для всех iP так, чтобы величина 258i, Ф = xi - piNi ni (1.5) iP была максимальной при ограничении ai + bini R, ( ) (1.6) iP где R - заданная величина средств на мероприятия по опросу.

Рассмотрим сначала частный случай задачи, когда множество P обследуемых регионов определено, и задача заключается в распределении переменных затрат таким образом, чтобы минимизировать qi, где qi = 2,58 ipiNi (1.7) ni iP при ограничении bini R - ai = R P.

( ) iP iP Эта задача легко решается с применением метода множителей Лагранжа.

Ее оптимальное решение:

qi bi ni = R P.

( ) 2 1 (1.8) q bj j jP При этом величина (1.7) будет равна 2 3 q b R P, ( )- (1.9) j j jP а ожидаемая прибыль составит 2 3 Ф = xiNipi - q b R P.

( )- 12 (1.10) j j iP jP Задача выбора оптимального множества регионов свелась к определению множества P, для которого (1.10) принимает максимальное значение. Эта задача относится к типу задач дискретной оптимизации, трудности решения которых хорошо известны [1]. При небольшом числе регионов задачу можно решить простым перебором всех возможных множеств (их число составляет 2m). При большом числе m простой перебор невозможен и приходится применять различные эвристические правила.

Рассмотрим частный случай задачи, типичный для ситуации, когда фирма проводит исследование новых регионов, о которых нет никакой предварительной информации, кроме ожидаемой прибыли pi на единицу продукции и размера генеральной совокупности в i-ом регионе Ni. В этих условиях естественно принять, что средние значения признака xi и среднеквадратичные отклонения i одинаковы для всех регионов. Примем также, что функции затрат на проведение опроса также одинаковы для всех регионов. В этом случае задача с точностью до постоянного множителя сводится к максимизации величины 2 ci - ci 3 R - a, ( ) iP iP где - число регионов, подлежащих обследованию, ci = Nipi.

Представляется достаточно естественным, что из двух регионов с разными значениями ci следует предпочесть регион с большим значением ci (то есть с большим произведением числа потребителей (размера генеральной совокупности) и ожидаемой прибыли на единицу продукции).

Из этого естественного предположения следует простое эвристическое правило принятия решения: упорядочивать регионы по убыванию (невозрастанию) ci. При заданном значении выбираем первые регионов в этом упорядочении. Оптимальная величина определяется простым перебором.

ГЛАВА 2. Задача выбора оптимального стандартного набора видов продукции Стандартным набором в производстве строительных материалов и изделий будем называть совокупность видов продукции, обладающих функциональной завершенностью, измеряемыми и контролируемыми свойствами, независимо от того, предназначены они для непосредственного применения или для последующей переработки.

Функциональная завершенность стандартного набора означает, что соответствующая совокупность видов продукции удовлетворяет все потребности в данной отрасли (в нашем случае в области строительных материалов и изделий). Понятие стандартного набора можно применять и к некоторой совокупности видов продукции и даже к отдельному виду.

Например можно говорить о стандартном наборе марок цемента или размеров гвоздей. Очевидно, что существует много различных вариантов стандартных наборов. Для того, чтобы сравнивать различные наборы, введем два показателя - показатель маргинальной прибыли и показатель фиксированных издержек. Как известно, маргинальной прибылью называется прибыль, определяемая с учетом только переменных затрат.

Производство каждого продукта требует, помимо переменных издержек (пропорциональных объему выпуска), фиксированных или постоянных (условно постоянных) издержек, то есть не зависящих от объема выпуска.

Пусть имеется n продуктов (строительных материалов и изделий), производство которых технологически осуществимо в рассматриваемом периоде времени. Обозначим aj - переменные затраты на производство j-го продукта, bj - постоянные или фиксированные затраты, pj - маргинальная прибыль на единицу j-го продукта, Vj - потребность в j-ом продукте. Пусть стандартный набор состоит из множества Q продуктов. Тогда совокупная маргинальная прибыль составит P Q = pjVj, ( ) (2.1) jQ а совокупные фиксированные затраты BQ = bj.

( ) (2.2) jQ Разность П = P - B составляет прибыль, которую дает стандартный набор Q.

Для постановки задачи определения оптимального стандартного набора обозначим через m число различных типов потребностей в строительных материалах и изделиях, Ri - множество продуктов, которые могут удовлетворить i-ую потребность (например, покрытие крыши, фундамент для дома, утеплитель и т.д.), vij - количество j-го продукта, требуемого для удовлетворения i-ой потребности. Обозначим также Wj множество потребностей, удовлетворяемых j-ым продуктом из стандартного набора Q. В этом случае потребность в j-ом продукте составит Vj = vij.

(2.3) iWj Множество продуктов Q будем называть полным, если для любой потребности i найдется продукт jQ такой, что iWj (то есть найдется продукт, который может удовлетворить i-ую потребность). Очевидно, что стандартный набор должен быть полным множеством продуктов.

Постановка задачи. Определить полное множество Q, для которого величина прибыли П Q = p Vj - b ( ) (2.4) ( ) j j jQ максимальна.

Замечание 1. В случае, если рассматривается достаточно большой период времени, при определении прибыли и фиксированных затрат необходимо учитывать их изменение во времени, а также учитывать инфляцию и дисконтирование.

Замечание 2. В плановой экономике задача стандартизации решалась, как правило, по критерию минимума совокупных затрат. В рыночной экономике такой критерий уже не годится, поскольку он не учитывает потребительной стоимости продуктов.

Дадим постановку задачи в терминах теории графов. Для этого определим двудольный граф G(X, Y, U), где X - множество вершин, соответствующих продуктам, Y - множество вершин, соответствующих потребностям. Вершины jX соединяются дугами (ji) с вершинами iY в том и только в том случае, когда iWj (то есть продукт j удовлетворяет iую потребность). Для каждой вершины jX зададим числа bj, pj, а для каждой дуги (j, i) - числа vij.

Подмножество Q множества вершин X, соответствующее полному множеству продуктов (или стандартному набору продуктов), назовем покрытием двудольного графа G. Обозначим Ti - множество продуктов из набора Q, каждый из которых может удовлетворить потребность i.

Очевидно, что для удовлетворения i-ой потребности будет выбран продукт, для которого маргинальная прибыль максимальна. С учетом этого замечания критерий (2.4) можно записать в следующем виде:

П = maxp vij - b.

j j (2.5) iYjTi jQ Задача свелась к поиску покрытия двудольного графа, для которого (2.5)принимает максимальное значение.

Пример. Пусть имеется четыре продукта и четыре типа потребностей. При этом продукт 1 может удовлетворить первую потребность, продукт 2 - первую и вторую, продукт 3 - первую, вторую и третью, и наконец, продукт 4 - все четыре типа потребностей. Двудольный граф G, соответствующий этому случаю приведен на рис. 2.1.

П Р О Д У К Т Ы (Х) [1,15] [3,10] [1,15] [2,20] 1 2 3 1 2 3 [10] [20] [15] [5] П О Т Р Е Б Н О С Т И (Y) Рис. 2.1.

Числа pj, bj, соответствующие маргинальной прибыли и фиксированным издержкам для j-го продукта указаны в квадратных скобках у вершин множества X, а числа vi, соответствующие величине i-ой потребности, - в квадратных скобках у вершин множества Y (для упрощения задачи мы взяли vij = vi для всех j).

Чтобы решить эту задачу заметим, что продукт 3 включать в стандартный набор явно нецелесообразно. Действительно, продукт 4 мы обязаны включить в набор, поскольку только он может удовлетворить четвертую потребность. Но тогда и третью потребность выгоднее удовлетворять за счет четвертого продукта, а не третьего, так как у четвертого продукта маргинальная прибыль больше. Осталось рассмотреть четыре варианта с продуктами первым и вторым.

I вариант: в набор входят оба продукта, - и первый и второй:

Q = {1, 2, 4}, при этом первый продукт удовлетворяет первую потребность в объеме V1 = 10, второй - вторую в объеме V2 = 20, четвертый - третью и четвертую в суммарном объеме V4 = v3 + v4 = 20. Имеем:

П(1;2;4) = p1v1 + p2v2 + p4v4 - b1 - b2 - b4 = 40 + 60 + 40 - 45 = 95.

II вариант: в набор входят первый и четвертый продукты: Q = {1, 4}, при этом первый продукт удовлетворяет первую потребность в объеме V1 = 10, а четвертый - все остальные в объеме V4 = 40. Имеем:

П(1;4) = p1v1 + p4v4 - b1 - b4 = 40 + 80 - 35 = 85.

III вариант: в набор входят второй и четвертый продукты: Q = {2, 4}, при этом второй продукт удовлетворяет первую и вторую потребность в объеме V2 = 30, а четвертый - третью и четвертую в объеме V4 = 20.

Имеем:

П(2;4) = p2v2 + p4v4 - b2 - b4 = 90 + 40 - 30 = 100.

IV вариант: в набор входит только четвертый продукт удовлетворяющий все потребности в объеме V4 = 50. Имеем:

П = 100 - 20 = 80.

Легко видеть, что оптимальным является III вариант, которому соответствует стандартный набор из двух продуктов - второго и четвертого. Поставленная задача является экстремальной задачей комбинаторного типа, сложности решения которой хорошо известны [1].

Рассмотрим ряд частных случаев, допускающих эффективные алгоритмы решения.

Будем говорить, что продукт j накрывает продукт k, если Wj Wk, то есть продукт j может удовлетворить все потребности, которые удовлетворяет продукт k.

Пусть существует упорядочение продуктов j1, j2,..., jn такое, что каждый продукт накрывает все следующие за ним. Так, для рассмотренного выше примера (см. рис. 2.1) соответствующее упорядочение - (4, 3, 2, 1). Построим сеть следующим образом. Вершины сети соответствуют продуктам j1, j2,..., jn и одна вершина jn+1 = 0 является выходом сети (вершина j1 является входом). Вершины jk, js (s > k) соединяются дугой (jk, js), длина которой = pj Vj - Vj - bj.

( ) jk js k k s k (2.6) Vj = 0 по определению.

Содержательный смысл дуги (jk, js) состоит в том, что продукт jk удовлетворяет все потребности, которые он может удовлетворить за исключением тех, которые может удовлетворить продукт js, а длина дуги (jk, js) при этом определяет прибыль, получаемую от продукта js. При таком построении сети любой путь, соединяющий вершину j1 с вершиной jопределяет некоторый стандартный набор продуктов и наоборот, любому стандартному набору продуктов соответствует некоторый путь в сети, соединяющий вход j1 с выходом j0. Каждой дуге (jk, ) пути, j соединяющего вход с выходом соответствует продукт jk, входящий в стандартный набор. Поэтому длина пути равна прибыли, получаемой от соответствующего этому пути стандартного набора. Таким образом задача определения оптимального стандартного набора свелась к задаче поиска пути в сети, имеющего максимальную длину. Для этой задачи, как известно, существуют эффективные алгоритмы [1]. Для графа рис. 2.соответствующая сеть приведена на рис. 2.2.

(60) (20) (80) (-10) (0) (50) (25) 4 3 2 1 [0] [100] [-10] [20] [70] (20) (80) (30) Рис. 2.2.

Длины дуг указаны в круглых скобках. В данном случае для определения пути максимальной длины, учитывая, что вершины сети правильно пронумерованы (для каждой дуги (ik, i ) имеет место k < ), эффективнее всего применить алгоритм Форда для сетей, имеющих правильную нумерацию [1]. Согласно этому алгоритму, потенциал вершины j1 полагается равным 0, а потенциалы следующих вершин j определяются последовательно:

= max + j [ jk jk j ].

(2.7) k< Заметим, что фактически это метод динамического программирования Беллмана применительно к данной задаче. При этом потенциал вершины jn+1 = 0 будет равен длине максимального пути. Сам максимальный путь определяется «обратным ходом», а именно, начиная с вершины jn+определяется вершина js, такая что - =.

jn+1 js js jn+Эта вершина принадлежит пути максимальной длины. Далее, начиная с вершины js аналогичным образом определяется следующая вершина а т.д., пока не будет получена вершина j1. Потенциалы вершин, полученные описанным алгоритмом, указаны в квадратных скобках у соответствующих вершин (рис. 2.2). Путь максимальной длины выделен толстыми дугами. Как легко видеть, мы получили тот же стандартный набор Q = {2, 4}, что и в примере 2.1, где решение было получено методом перебора. Рассмотренная модель позволяет решить задачу и в более сложном случае. А именно, до сих пор мы считали, что прибыль от продажи единицы продукта не зависит от объема продажи. На самом деле с ростом объема продаж прибыль на единицу продукта, как правило, уменьшается (хотя объем прибыли, естественно, растет с ростом объема продаж). Это происходит потому, что увеличение объема продаж происходит, как правило, за счет вытеснения с рынка конкурирующих продуктов, что достигается за счет снижения цены, а значит уменьшения маргинальной прибыли на единицу продукта.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.