WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |

S(t) - P + r(0) + F6 (1), (З) 7 + F5 (1) = max = 14 (С) ;

10 -13 + 8 + 7 + F5 (2) = max = 13 (С) ;

8 -13 + 8 + 6 + F5 (3) = max = 12 (С) ;

8 -13 + 8 + 6 + F5 (4) = max = 11 (С) ;

7 -13 + 8 + 5 + F5(5) = max = 11 (С).

6 -13 + 8 + 3-й шаг: k = 4.

r(t) + F5 (t +1), (С) F4 (t) = max 1 t 4.

S(t) - P + r(0) + F5 (1), (З) 7 + F4 (1) = max = 20 (С) ;

10 -13 + 8 +7 + F4 (2) = max = 19 (С) ;

8 -13 + 8 + 6 + F4 (3) = max = 17 (С / З) ;

8 -13+ 8 +6 + F4 (4) = max = 16 (С / З).

7 -13 + 8 +4-й шаг: k = 3.

r(t) + F4 (t +1), (С) F3(t) = max 1 t 3.

S(t) - P + r(0) + F4 (1), (З) 7 + F3(1) = max = 26 (С) ;

10 -13 + 8 + 7 + F3(2) = max = 24 (С) ;

8 -13 + 8 + 6 + F3(3) = max = 23 (З).

8 -13 + 8 + 5-й шаг: k = 2.

r(t) + F3(t +1), (С) F2 (t) = max 1 t.

S(t) - P + r(0) + F3(1), (З) 7 + F2 (1) = max = 31 (С / З) ;

10 -13 + 8 + 7 + F2 (2) = max = 30 (С).

8 -13 + 8 + 6-й шаг: k = 1.

r(t) + F2 (t +1), (С) F1(t) = max 1 t.

S(t) - P + r(0) + F2 (1), (З) 7 + F1(1) = max = 37 (С).

10 -13 + 8 + Результаты вычислений Беллмана Fk(t) приведены в табл. 6.7, в которой k – год эксплуатации, t – возраст оборудования.

Таблица 6.k t 1 2 3 4 5 1 2 31 3 26 4 20 19 17 5 14 13 12 11 6 7 7 6 6 5 В табл. 6.7 выделено значение функции, соответствующее состоянию «З» – замена оборудования.

II этап. Безусловная оптимизация.

Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F1(1) = 37. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит:

t2 = t1 + 1 = 2. Безусловное оптимальное управление при k = 2, х2(2) = С, т.е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется. К началу третьего года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 2. Безусловное оптимальное управление х3(3) = З, т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо произвести замену оборудования. К началу четвертого года при k = 4 возраст оборудования станет равен t4 = 1. Безусловное оптимальное управление х4(1) = С. Далее соответственно:

k = 5, t5 = t4 + 1= 2, х5(2) = С.

k = 6, t6 = t5 + 1 = 3, х6(3) = С.

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.

6.6. Выбор оптимального маршрута перевозки грузов Математический аппарат ДП, основанный на методологии пошаговой оптимизации, может быть использован при нахождении кратчайших расстояний, например, на географической карте, представленной в виде сети. Решение задачи по определению кратчайших расстояний между пунктами отправления и пунктами получения продукции по существующей транспортной сети является исходным этапом при решении таких экономических задач, как оптимальное прикрепление потребителей за поставщиками, повышение производительности транспорта за счет сокращения непроизводительного пробега и др.

Пусть транспортная сеть состоит из 10 узлов, часть из которых соединены магистралями. На рис. 6.2 показаны сеть дорог и стоимости перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети, которые проставлены у соответствующих ребер. Необходимо определить маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, обеспечивающий наименьшие транспортные расходы.

2 4 5 3 8 3 4 Рис. 6.2. Модель транспортной сети В задаче имеется ограничение – двигаться по изображенным на схеме маршрутам можно только слева на право, т. е. попав, например, в пункт 8, мы имеем право переместиться только в пункт 10 и не можем возвратиться обратно в 5-й или 6-й. Эта особенность транспортной сети дает право отнести каждый из десяти пунктов к одному из поясов.

Будем считать, что пункт принадлежит k-му поясу, если из него попасть в конечный пункт ровно за k шагов, т. е. с заездом ровно в (k – 1)-й промежуточный пункт. Таким образом, пункты 7, 8 и 9 принадлежат к первому поясу, 5 и 6 – ко второму, 2, 3 и 4 – к третьему и 1 – к четвертому. Тогда на k-м шаге будем находить оптимальные маршруты перевозки груза из пунктов k-го пояса до конечного пункта. Оптимизацию будем производить с конца процесса, и потому, дойдя до k-го шага, неизвестно, в каком из пунктов k-го пояса окажется груз, перевозимый из первого пункта.

Введем обозначения:

k – номер шага (k = 1, 2, 3, 4);

i – пункт, из которого осуществляются перевозки (i = 1, 2,..., 9);

j – пункт, в который доставляется груз (j = 2, 3,.., 10);

сi,j – стоимость перевозки груза из пункта i в пункт j.

Fk(i) – минимальные затраты на перевозку груза на k-м шаге решения задачи из пункта i до конечного пункта.

Очевидно, что минимум затрат на перевозку груза из пунктов k-го пояса до пункта 10 будет зависеть от того, в каком пункте этого пояса мы оказались. Номер i пункта, принадлежащего k-му поясу, будет являться переменной состояния системы на k-м шаге. Поскольку оптимизация осуществляется с конца процесса, то, находясь в некотором пункте i kго пояса, принимается решение о перемещении груза в один из пунктов (k – 1)-го пояса, а направление дальнейшего движения известно из предыдущих шагов. Номер j пункта (k – 1)-го пояса будет переменной управления на k-м шаге.

Для первого шага управления (k = 1) функция Беллмана представляет собой минимальные затраты на перевозку груза из пунктов 1-го пояса в конечный пункт, т. е. F1(i) = Сi,10. Для последующих шагов затраты складываются из двух слагаемых – стоимости перевозки груза Сi,j из пункта i k-го пояса в пункт у (k – 1)-го пояса и минимально возможных затрат на перевозку из пункта j до конечного пункта, т. е. Fk-1(j). Таким образом, функциональное уравнение Беллмана будет иметь вид:

(6.8) Fk (i) = min{Ci,j + Fk-1(j)} j Минимум затрат достигается на некотором значении j*, которое является оптимальным направлением движения из пункта i в конечный пункт.

На четвертом шаге попадаем на 4-й пояс и состояние системы становится определенным i = 1. Функция F4(l) представляет собой минимально возможные затраты по перемещению груза из 1-го пункта в 10-й. Опти мальный маршрут определяется в результате анализа всех шагов в обратном порядке, а выбор некоторого управления у на k-м шаге приводит к тому, что состояние системы на (k – 1)-м шаге становится определенным.

Пример. Решим сформулированную выше задачу, исходные данные которой приведены на рис. 6.2.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг. k = 1. F1(i) = ci,10.

На первом шаге в пункт 10 груз может быть доставлен из пунктов 7, 8 или 9.

Таблица 6.i j 10 F1(i) J* 7 9 9 8 7 7 9 11 11 2-й шаг. k = 2.

Функциональное уравнение на втором шаге принимает вид:

F2(i) = min{Ci,j + F1(j)}.

j Все возможные перемещения груза на втором шаге и результаты расчета приведены в табл. 6.9.

Таблица 6.i j 7 8 9 F2(i) J* 5 6 + 9 8 + 7 – 15 7; 6 – 5+7 4 + 11 12 3-й шаг. k = 3. F3(i) = min{Ci,j + F2(j)}.

j Таблица 6.i j 5 6 F3(i) j* 2 4 +15 – 19 3 – 3 +12 15 4 – 9 +12 21 F4 (i) = min{Ci,j + F3(j)}.

4-й шаг. k = 4.

j Таблица 6.i j 2 3 4 Fa(i) j* 1 7 + 19 5 + 15 6 + 21 20 II этап. Безусловная оптимизация.

На этапе условной оптимизации получено, что минимальные затраты на перевозку груза из пункта 1 в пункт 10 составляют F4(l) = 20. Данный результат достигается при движении груза из 1-го пункта в 3-й. По данным табл. 6.10, из пункта 3 необходимо двигаться в пункт 6, затем – в пункт 8 (табл. 6.9) и из него – в конечный пункт (табл. 6.8). Таким образом, оптимальный маршрут доставки груза: 1 3 6 8 10. (На рис.

6.3 он показан жирными стрелками).

2 3 8 4 Рис. 6.3. Транспортная сеть с оптимальным маршрутом 6.7. Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности Пусть на оптовую базу прибыло n машин с товаром для разгрузки и m машин для загрузки товаров, направляемых в магазины. Материально ответственное лицо оптовой базы осуществляет оформление документов по операциям разгрузки или загрузки для одной машины, а затем переходит к обслуживанию другой машины. Издержки от операций обусловлены простоем транспорта, типом операции (прием или отправка товара) и не зависят от конкретной машины. Необходимо спланировать последовательность операций обоих видов таким образом, чтобы суммарные издержки по приему и отправке товаров для всех машин были минимальными.

m A6 18 A5 13 A4 12 A3 10 A2 9 A1 8 S7 6 8 7 8 10 B7 12 B6 13 B5 12 B4 10 B3 9 B2 13 BK=8 7 8 9 9 10 C7 10 8 9 8 10 C2 12 CC6 C5 C4 CK=10 10 9 11 10 11 D7 11 D6 9 D5 7 D4 7 D3 9 D2 13 DK=11 9 10 12 13 14 E6 11 10 9 13 E2 14 EE5 E4 ESK=K=10 K=9 K=8 K=7 K=6 K=2 3 4 0 1 6 n Рис. 6.4. Графическая схема связи операций Из условия следует, что состояние экономической системы характеризуется двумя параметрами: количеством принятых и оформленных машин по разгрузке товара и количеством машин, отправленных с товаром в магазины. Поэтому решение будем искать на плоскости X0Y, на ограниченном прямыми прямоугольнике, который является областью допустимых состояний системы. Если по оси X отложить число (n) разгруженных машин, а по оси Y – число (m) загруженных товаром машин, то можно построить на плоскости граф состояний процесса, в котором каждая вершина характеризует состояние операции приема и отгрузки товара на оптовой базе. Ребра этого графа означают выполнение работы по приему или отправке товара на очередной машине. Каждому ребру можно сопоставить издержки, связанные с выполнением операции по разгрузке или загрузке машины.

Пример. Пусть n = 6, m = 4. Известны затраты по выполнению каждой операции, которые показаны на ребрах графа (рис. 6.4). Точка So определяет начало процесса, a S1 – конечное состояние, соответствующее приему и отправке всех машин. Оптимизацию процесса будем производить с конечного состояния S1. Весь процесс разобьем на шаги, их количество k = n + m = 6 + 4 = 10. Каждый шаг представляет собой сечение графа состояний, проходящее через вершины (на рис. 6.4 сечения показаны косыми линиями).

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг. k = 1. На первом шаге, с задаваемым сечением А1, В1, из состояний А1 и B1 возможен только один вариант перехода в конечное состояние S1. Поэтому в вершинах А1 и B1 записываем соответственно издержки 8 и 11. Ребра A1S1 и B1Sl обозначаем стрелкой, направленной в вершину S1, как показано на рис. 6.5.

A1 8 S8 BРис. 6.5. Сетевая модель операции, шаг 2-й шаг. k = 2. Второй шаг оптимизации задается сечением по вершинам А2, В2, C1. Из состояний А2 и С1 возможен единственный переход в вершины А1 и В1 соответственно, поэтому в вершинах А2 и С1 записываем суммарные издержки 17 и 22 на первых двух шагах перехода в конечное состояние S1. Из вершины В2 возможны два варианта перехода:

в вершину А1 или вершину В1. При переходе В2 А1 сумма издержек составляет 10 + 8 = 18, на переходе В2 В1 сумма составляет 13 + 11 = 24.

Из двух вариантов суммарных издержек выбираем наименьшую (18) и обозначаем стрелкой условно оптимальный переход B2A1, как показано на рис. 6.6.

A2 9 A1 8 S17 10 BB18 CРис. 6.6. Сетевая модель операции, шаг 3-й шаг. k = 3. На третьем шаге сечение проходит через вершины А3, В3, С2, D1. Из вершин А3 и Dl возможен единственный переход в вершины А2 и С1 соответственно. Суммарные издержки для состояния D1 равны 22 + 12 = 34. Из вершины В3 возможны два варианта перехода: в вершину А2 издержки равны 17 + 8 = 25; в вершину В2 – 18 + 9 = 27. Для вершины С2 возможен переход в вершину В2 (18 + 10 = 28) и в вершину С(22 + 12 = 34). Выбираем для вершин В3 и С2 наименьшие суммарные издержки и обозначаем стрелкой условно оптимальный переход, как показано на рис. 6.7.

A3 10 A2 9 A1 8 S27 17 8 10 B3 B2 B25 18 10 C2 C28 DРис. 6.7. Сетевая модель операции, шаг Продолжая процесс аналогичным образом для оставшихся шагов, приходим в точку So. В результате получим сетевой граф условно оптимальных переходов, представленный на рис. 6.8.

Минимально возможные суммарные издержки по обслуживанию всех 10 машин на оптовой базе составляют 88 усл. ед.

II этап. Безусловная оптимизация.

Определяем оптимальную траекторию на исходном сетевом графе, просматривая результаты всех шагов в обратном порядке, учитывая, что выбор некоторого управления на k-м шаге приводит к тому, что состояние на (k-1)-м шаге становится определенным.

m A6 14 A5 13 A4 12 A1 8 SA3 10 A2 66 52 39 27 17 8 7 6 8 7 8 10 B7 12 B6 13 B5 12 B4 10 B3 9 B2 13 B70 58 46 34 25 18 8 7 8 9 9 10 C7 10 8 9 8 C6 C5 C4 C3 C2 2 69 59 51 42 34 28 22 C10 10 9 11 10 11 D7 11 D6 9 D5 7 D4 7 D3 9 D2 13 D1 78 67 58 51 44 39 11 9 10 12 13 14 E6 11 E5 10 E4 9 E3 13 E2 14 E0 88 76 68 63 57 S2 3 4 0 1 6 n Рис 6.8. Сетевая модель связи расходов операций В результате строим ориентированный граф от состояния So к состоянию S1, представленный на рис. 6.9, на каждом шаге безусловной оптимизации переход почти всегда единствен и совпадает с построенными условно оптимальными переходами.

m A1 SA2 9 17 8 BC2 D6 9 D5 7 D4 7 D67 58 51 E88 S2 3 4 0 1 6 n Рис 6.9. Оптимальная последовательность операций Минимальные издержки Fmin соответствуют следующему оптимальному пути на графе:(S0 Е6 D6 D5 D4 D3 С3 В3 A2 A1 S1) и равны: Fmin = 12 + 9 + 9 + 7 + 7 + 10 + 9 + 8 + 9 + 8 = 88 усл. ед.

Таким образом, в соответствии с решением оптимальное управление процессом разгрузки и загрузки машин товаром состоит в следующем: на первом шаге следует оформить документы по разгрузке одной машины, на втором – по загрузке одной машины, далее обслуживать три машины по разгрузке товара, три машины по загрузке и на последних двух шагах оформить документы по разгрузке двух машин.

6.8. Задачи 1. Распределить оптимальным образом денежные средства инвестора величиной Х между четырьмя предприятиями. От выделенной суммы зависит прирост выпуска продукции на предприятиях, значения которых приведены в таблице.

Денежные средст- Прирост выпуска продукции на предприятиях ва, Х 1 2 3 20 9 11 13 40 17 33 29 60 28 45 38 80 38 51 49 100 46 68 61 120 68 80 81 2. Найти оптимальный план замены оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 7, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составляет 1 год.

t 0 1 2 3 4 5 r(t) 9 8 7 7 7 6 S(t) 7 6 5 4 4 3 3. Предприниматель закупил и установил за 40 млн. руб. новую деревообрабатывающую линию станков для производства стройматериалов. Динамика объемов продаж стройматериалов, затраты на эксплуатацию станков и их остаточная стоимость по годам приведены в таблице.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.