WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге. В общем виде это уравнение имеет вид:

Fn(S) = max{Wn(S, xn) + Fk+1(S1(S, xk))}, xkХ.

Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X.

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, осуществляется второй этап решения задачи, называемый безусловной оптимизацией. Пользуясь тем, что на первом шаге (k = 1) состояние системы известно – это ее начальное состояние S0, можно найти оптимальный результат за все n шагов и оптимальное управление на первом шаге x1, которое этот результат доставляет. После применения этого управления система перейдет в другое состояние S1(S,х*1), зная которое, можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге х*1, и так далее до последнего n-го шага.

Вычислительную схему динамического программирования можно строить на сетевых моделях, а также по алгоритмам прямой прогонки (от начала) и обратной прогонки (от конца к началу). Рассмотрим примеры решения различных по своей природе задач, содержание которых требует выбора переменных состояния и управления.

6.4. Оптимальное распределение инвестиций Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых, в зависимости от количества вложенных средств хi, определяется матрицей (nхn), приведенной в табл. 6.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 6.x g1 g2 … gi … gn gi x1 g1(x1) g2(x1) gi(x1) gn(x1) x2 g1(x2) g2(x2) gi(x2) gn(x2) xi g1(xi) g2(xi) gi(xi) gn(xi) xn g1(xn) g2(xn) gi(xn) gn(xn) Запишем математическую модель задачи.

Определить X* = (х*1, х*2, …, х*k, …, х*n), удовлетворяющий условиям n xi = B (6.1) i=xi 0, i = 1,..., n (6.2) и обеспечивающий максимум целевой функции n F(X) = xigi (xi ) max (6.3) i=Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов.

С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по (k–1)-е тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма Сk В. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину хk средств, вкладываемых в k-e предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Сk средств. Очевидно, что при вложении в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го останется Сk+1 = (Сk – хk) средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств Сn, 0 Сn В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т. е. Fn(Сn) = gn(Сn) и хn = Сn.

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м шаге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось Сk средств (Сk В). Тогда от вложения в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(Ck), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е) останется Сk+1 = (Сk – хk) средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:

Fk (Ck ) = max {g (x ) + Fk+1(Ck - x )}, k = 1, …, n (6.4) k k k xk Ck Максимум выражения (6.4) достигается на некотором значении х*k, которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы Sk. Действуя таким образом, можно определить функции Беллмана и оптимальные управления до шага k = 1.

Значение функции Беллмана F1(c1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х*1, на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина Сk = (Сk-1 – хk-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение хk, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk.

Пример 1. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gi(xi), представленной в табл. 6.2.

Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах xi = {0,1,2,3,4,5} млн. руб.

Таблица 6.x g1 g2 g0 0 0 1 2,2 2 2,2 3 3,2 5.3 4,1 4,8 6,4 5,2 6,2 6,5 5,9 6,4 6,Решение.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 3. Предположим, что все средства в количестве x3 = 5 млн. руб.

отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 6.3, составит g3(x3) = 6,9 тыс. руб., следовательно:

F3(C3) = g3(x3).

Таблица 6. C3 0 1 2 3 4 5 F3(C3) x*x0 0 0 1 2,8 2,8 2 5,4 5,4 3 6,4 6,4 4 6,6 6,6 5 6,9 6,9 2-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F2 (C2 ) = max {g2 (x ) + F3 (C2 - x )}, на основе которого составлена табл. 6.4.

2 x2 CТаблица 6. C2 0 1 2 3 4 5 F2(C2) x*x0 0 + 0 0 1 0 + 2,8 2 + 0 2,8 2 0 + 5,4 2 + 2,8 3,2 + 0 5,4 3 0 + 6,4 2 + 5,4 3,2 + 2,8 4,8 + 0 7,4 4 0 + 6,6 2 + 6,4 3,2 + 5,4 4,8 + 2,8 6,2 + 0 8,6 5 0 + 6,9 2 + 6,6 3,2 + 6,4 4,8 + 5,4 6,2 + 2,8 6,4 + 0 10,2 3-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

на основе которого составлена табл. 6.5.

F1(C1) = max{g1(x1) + F2 (C1 - x1)}, x1CТаблица 6. C1 0 1 2 3 4 5 F1(C1) x*x0 0 + 0 0 1 0 + 2,8 2,2 + 0 2,8 2 0 + 5,4 2,2 + 2,8 3 + 0 5,4 3 0 + 7,4 2,2 + 5,4 3 + 2,8 4,1 + 0 7,6 4 0 + 8,6 2,2 + 7,4 3 + 5,4 4,1 + 2,8 5,2 +0 9,6 5 0 + 10,2 2,2 + 8,6 3 + 7,4 4,1 + 5,4 5,2 + 2,8 5,9 + 0 10,8 II этап. Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

1-й шаг. По данным из табл. 6.5 максимальный доход при распределении 5 млн. руб. между тремя предприятиями составляет: C1 = 5, F1(5) = 10,8.

При этом первому предприятию нужно выделить х*1= 1 млн. руб.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий: С2 = C1 – х*1 = 5 – 1 = 4 млн. руб.

По данным табл. 6.4 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 4 млн. руб. между вторым и третьим предприятиями составляет: F2(4) = 8,6 при выделении второму предприятию х*2 = 2 млн. руб.

3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего предприятия: С3 = C2 – х*2 = 4 – 2 = 2 млн. руб.

По данным табл. 6.3 находим: F3(2) = 5,4 и x*3 = 2 млн. руб.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

Х* = (1,2,2), который обеспечит максимальный доход, равный F(5) = g1(l) + g2(2) + g3(2) = 2,2 + 3,2 + 5,4 = 10,8 млн. руб.

6.5. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров, магнитол и т. п.

Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r(t) (t – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену P.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t0 лет.

Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t0.

t 0 1 … n r r(0) r(1) … r(n) S S(0) S(1) … S(n) При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как nшаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на n шагов.

Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k-го по n-ый годы. Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. k-го года.

Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (k = n), то на k-ом шаге неизвестно, в какие годы с первого по (k-1)-й должна осуществляться замена и, соответственно, неизвестен возраст оборудования к началу k-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:

1 t t0 + k – 1 (6.5) Выражение 6.5 свидетельствует о том, что t не может превышать возраст оборудования за (k–1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет t0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если замена его произошла в начале предыдущего (k–1)-го года).

Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k-ом шаге. Переменной управления на k-ом шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года:

С,если оборудование сохраняется xk (t) = З, если оборудование заменяется Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-ый, если к началу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу (k + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет t + 1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (k + 1)-го года возраста t = 1 год.

На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых: непосредственного результата управления и его последствий.

Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого t лет, то доход за этот год составит r(t). К началу (k + 1)-го года возраст оборудования достигнет (t + 1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (k + 1)-го по n-й) составит Fk+1(t + 1). Если в начале k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста t лет по цене S(t), приобретается новое за P единиц, а эксплуатация его в течение k-го года нового оборудования принесет прибыль r(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (k + 1)-го по n-й максимально возможный доход будет Fk+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид:

r(t) + Fk+1(t +1) (С) Fk (t) = max (6.6) S(t) - P + r(0) + Fk+1(1) (З) Функция Fk(t) вычисляется на каждом шаге управления для всех 1 t t0 + k - 1. Управление при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.

Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-ый год:

r(t) (С) Fn (t) = max (6.7) S(t) - P + r(0) (З) Значения функции Fn(t), определяемые Fn-1(t), Fn-2(t) вплоть до F1(t).

F1(t0) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года.

Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по n-й и так далее. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.

Пример 2. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в табл. 6.6, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составляет 1 год.

Таблица 6.t 0 1 2 3 4 5 r(t) 8 7 7 6 6 5 S(t) 12 10 8 8 7 6 Решение.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 6. Для него возможные состояния системы t = 1,2, …, 6.

Функциональное уравнение имеет вид (6.7):

r(t), (С) F6 (t) = max S(t) - P + r(0), (З) F6 (1) = max = 7 (С) ;

10 -13 + F6 (2) = max = 7 (С) ;

8 -13 + F6 (3) = max = 6 (С) ;

8 -13 + F6(4) = max = 6 (С) ;

7 -13+ F6 (5) = max = 5 (С) ;

6 -13 + F6 (6) = max = 5 (С).

4 -13+ 2-й шаг: k = 5. Для него шага возможные состояния системы t = 1,2, …, 5.

Функциональное уравнение имеет вид:

r(t) + F6 (t +1), (С) F5 (t) = max 1 t 5.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.