WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |

3.6. Задачи 1. Пусть экономическая система разбита на три отрасли. Использо30 50. Выпуск вание продукции этих отраслей в них таково: B = 100 40 60 отраслей задан вектором. Найти размеры непроизводственного X = потребления. Составить матрицу коэффициентов прямых затрат.

1/ 4 1/ 2. Пусть модель Леонтьева задана матрицей. Найти A = 1/ 4 1/ объем производства, обеспечивающий вектор потребления. ВыC = яснить, является ли экономика высокоэффективной.

1/ 3 1/, 3. Пусть модель Леонтьева задана матрицей валовый A = 1/ 2 1/ выпуск:. Выяснить, продуктивна ли данная модель. Найти вектор X = непроизводственного потребления С.

4. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ Фирмы часто делают различные запасы. Хранятся сырье, заготовки, готовая продукция, предназначенная для продажи. Запасов не должно быть ни слишком много, ни слишком мало. В первом случае возникает необходимость неоправданных затрат на хранение, на амортизацию товара. Во втором случае может оказаться так, что на складе не будет нужного товара. Кроме того, малое количество запасов подразумевает их частое пополнение, что также требует затрат.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы избежать обеих крайностей и сделать общие затраты по возможности меньше. Отметим, что в целом эта область науки управления развита довольно хорошо, разработаны многочисленные модели с применением различных математических методов. Мы рассмотрим несколько простейших детерминированных моделей управления запасами.

4.1. Основная модель Важнейшую роль в наших рассмотрениях будет играть функция изменения запаса. Это связь между количеством единиц товара на складе (обозначим его через Q) и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара. Если на товар есть спрос, то функция изменения запаса Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает. Мы будем считать возможным мгновенное пополнение запаса. Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части.

1. Стоимость товара.

2. Организационные издержки. Это расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т. д.

3. Издержки на хранение товара. Это затраты на аренду склада, амортизацию в процессе хранения и т. д.

Рассмотрим основные величины и предположения относительно них, принятые в рамках основной модели. Мы будем в основном использовать в качестве единицы измерения денежных средств условные единицы (у. е.), это могут быть рубли, доллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени – год, хотя можно было бы взять месяц, квартал и т. п.

1. Цена единицы товара – с у. е. Цена постоянна, рассматривается один вид товара.

2. Интенсивность спроса – d единиц товара в год. Будем считать, что спрос постоянный и непрерывный.

3. Организационные издержки – s у. е. за одну партию товара. Будем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т. е. от количества единиц товара в одной партии.

4. Издержки на хранение запаса – h у. е. на единицу товара в год. Бу дем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен – q единиц. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т. е. когда запас на складе становится равным нулю.

При сделанных предположениях график функции изменения запаса будет таким, как показано на рис. 4.1: он состоит из повторяющихся циклов запаса между двумя соседними дефицитами. Вертикальные отрезки отвечают мгновенному пополнению запаса.

Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты. Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выразить эти затраты через параметры с, d, s, h, q.

1. Поскольку годовая интенсивность спроса равна d, а цена единицы товара – с, то общая стоимость товара в год равна cd.

2. Поскольку в одной партии q единиц товара, а годовой спрос раd вен d, то число поставок равно. В течение года организационные изq d держки равны:

s.

q 3. Средний уровень запаса равен отношению площади под графиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q/(на рис. 4.1 обозначен пунктиром). Поскольку годовые издержки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составq ляю:.

h Q q q/t Рис. 4.1. График функции изменения запаса основной модели Таким образом, общие издержки С вычисляются по формуле:

sd qh.

C = cd + + q C * q q Рис. 4.2. График функции общих издержек Еще раз напомним, что в рамках модели параметры с, d, s, h считаются заданными и требуется найти такое число q*, чтобы функция C = С(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q*.

График функции С = C(q) показан на рис. 4.2.

Для нахождения точки q* минимума функции С = C(q) найдем ее производную (с, d, s, h – фиксированные числа):

sd qh sd h.

C (q) = (cd) + + = - + q q2 sd h Приравнивая C'(q) к нулю, получаем:.

- + = q2 2sd Отсюда можно найти q*:.

q* = h Полученная формула называется формулой оптимального запаса, или формулой Харриса (Harris).

Пример 1. Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение – 4 УЕ на единицу товара в год, цена товара – 5 УЕ.

Определить оптимальный размер партии в предположении, что система подчиняется основной модели.

Решение. Имеем: d = 1000, s = 10, h = 4, c = 5.

Общие затраты равны: C(q) = cd + sd + qh 5000 + 10000 + 2q.

= q 2 q Тогда, а оптимальный размер поставки q* является C (q) = - + qрешением уравнения, т. е..

q* = 5000 - + 2 = qЗамечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год n* и соответствующую продолжитель 365 d ность цикла изменения запаса t*:, дней.

t* = = n* = = n* q* 4.2. Модель производственных поставок В основной модели предполагалось, что поступление товаров на склад происходит мгновенно. Это предположение достаточно хорошо отражает ситуацию, когда товар поставляется в течение одного дня (или ночи). Если товары поставляются с работающей производственной линии, необходимо модифицировать основную модель. В этом случае к параметрам с, d, s и h добавляется еще один – производительность производственной линии р (количество единиц товара в год). Будем считать ее заданной и постоянной.

Эта новая модель называется моделью производственных поставок.

Величина q по-прежнему обозначает размер партии. В начале каждого цикла происходит ''подключение" к производственной линии, которое продолжается до накопления q единиц товара. После этого пополнения запасов не происходит до тех пор, пока не возник дефицит.

График функции изменения запаса имеет вид, изображенный на рис. 4.3.

Q М М/ t Рис. 4.3. График функции изменения запаса модели производственных поставок Общие издержки C(q), как и в основной модели, состоят из трех частей.

1. Общая стоимость товара в год равна: cd.

sd 2. Годовые организационные издержки равны:.

q 3. Издержки на хранение вычисляются следующим образом.

Пусть – время поставки (рис. 4.3). В течение этого времени происходит как пополнение (с интенсивностью р), так и расходование (с интенсивностью d) запаса. Увеличение запаса происходит со скоростью p–d. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса максимальный его уровень М вычисляется по формуле M = (p-d). (заметим, что М < q). Однако, p. = q (за время при интенсивности производства р произведено q q.

единиц товара). Из последних двух равенств следует, что M = (p - d) p Средний уровень запаса, как и в основной модели, равен половине максимального, т. е. M. Таким образом, издержки на хранение запаса (p - d)qh.

равны:

2p sd (p - d)qh.

Общие издержки вычисляются по формуле:

C = cd + + q 2p Оптимальный размер поставок q* получаем из уравнения:

2psd sd (p - d)h.

Имеем: q* = C (q) = - + = 0.

(p - d)h q2 2p Пример 2. Интенсивность равномерного спроса составляет 1 тыс.

единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, производительность которого составляет 5 тыс. единиц в год. Организационные издержки равны 10 у. е., издержки на хранение – 2 у. е., цена единицы товара – 5 у. е. Чему равен оптимальный размер партии Решение. Имеем: d = 1000, p = 5000, s = 10, h = 2, c = 5.

sd (p - d)qh 10000, C(q) = -10000 + 4.

C(q) = cd + + = 5000 + + q q 2p q q2 В итоге получаем.

q* = 10000 (5/ 4) Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год n* и соответствующие продолжительность поставки * и продолжительность цикла пополнения запаса t*:

365 d 1000 q* день.

t* = = n* = = 9, * = = 36510 дней, q* 112 p 5000 n* 4.3. Модель поставок со скидкой Рассмотрим ситуацию, описываемую в целом основной моделью, но с одной особенностью, которая состоит в том, что товар можно поставлять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик. Иными словами, если размер партии q не менее заданного числа q0, товар поставляется по цене c0, где c0 < с.

Функция общих издержек C(q) задается в таком случае следующим образом:

sd qh cd + +,еслиq < q0, q C(q) = c0d + sd + qh,еслиq q0.

q Нетрудно видеть, что функция C(q) в точке q = q0 разрывна. Обе sd qh sd qh функции и имеют минимум в f (q) = cd + + f0 (q) = c0d + + q 2 q точке, где f (q) = f0 (q) = 0, т. е. в точке q = 2sd.

h Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален, следует сравнить значения функции C(q) в точках q и q0, и та точка, где функция C(q) принимает меньшее значение, будет оптимальным размером партии q* в модели поставок со скидкой (см. рис. 4.4, 4.5).

C C q q qq q q* = qРис. 4.4. График функции общих издержек модели поставок со скидкой. Случай q*=qC q qq q*= q q Рис. 4.5. График функции общих издержек модели поставок со скидкой. Случай q*= Замечание. Может случиться так, что C(q) = С(q0), тогда, разумеется, q* = q = q0.

Пример 3. Предположим, что интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 у. е., издержки на хранение – 4 у. е. Цена единицы товара равна 5 у. е., однако, если размер партии не менее 500 единиц, цена снижается до 4 у. е.

Найти оптимальный размер партии.

Решение. Здесь d = 1000, s = 10, h = 4, c = 5, q0 = 500, c0 = 4.

Общие издержки определяются функцией C(q):

f (q) = 5000 + + 2q, приq < 500, q C(q) = f0 (q) = 4000 + + 2q,еслиq 500.

q Найдем точку локального минимума. Имеем:

, откуда. Поскольку q < 500, то q = 5000 f (q) = f0 (q) = - + 2 = q. В точке q = q0 получаем C(q) = f (q) = f (71) 5000 + + 2 71 * C(q0) = f0 (q0 ) = f0 (500) 4000+ + 2500 5020. Таким образом, q =500.

4.4. Задачи 1. Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 15 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 у. е. за одну партию, цена единицы товара – 3 у. е., а издержки на ее хранение – 0,75 у. е. в год. Найдите оптимальный размер партии. (Ответ: 632).

2. Каковы будут продолжительность цикла и число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной (Ответ: 15 дней, 24).

3. Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 1,5 тыс. единиц в год, цена – 2 у. е., издержки хранения единицы товара в течение года – 0,2 у. е., организационные издержки – 10 у. е. В течение года может быть произведено 4,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки и средний уровень запасов. (Ответ: 474, дней, 116 дней, 158).

4. Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 у. е., а издержки хранения единицы товара в течение года – 0,3 у. е. Определите оптимальный размер партии, продолжительность поставки и средний уровень запасов. (Ответ: 2582).

5. Мебельной фирме требуется 1000 штук дверных ручек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 30 у. е. за партию, издержки на хранение одной ручки оценены в 1 у. е. Цена дверной ручки составляет 2 у. е., а при закупке партиями объемом не менее 750 штук – 1,9 у. е. за штуку. Определите оптимальный размер партии, продолжительность поставки и продолжительность цикла пополнения запаса. (Ответ: 245).

6. Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по цене 6 у. е. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае 10 у. е. Если торговец покупает сразу партию в количестве 150 единиц товара или более, цена сбавляется до 5 у. е. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 1 у. е. (Ответ: 150).

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ 5.1. Постановка задачи распределения ресурсов Организационная система (оргсистема, организация) – это система, включающая технику и коллективы людей, интересы которых существенно связаны с ее функционированием. Примерами здесь могут служить семья, фирма, университет, город, страна. Каждая оргсистема состоит из элементов (которые в свою очередь тоже могут представлять собой системы).

Существенными являются следующие два обстоятельства. С одной стороны, система существует для достижения каких-либо определенных целей, т. е. можно говорить об интересах системы в целом. С другой стороны, элементы системы зачастую преследуют собственные интересы, вообще говоря, не совпадающие с интересами системы в целом. Все это дает основание формализовать некоторые аспекты функционирования оргсистем в терминах теории игр.

В данном разделе мы будем рассматривать простейшую двухуровневую модельную оргсистему, состоящую из Центра и некоторого числа однотипных Элементов. Управление такой системой мы рассмотрим на примере задачи распределения ресурсов. Суть этой задачи состоит в следующем. Элементы (в дальнейшем мы будем называть их Потребителями) представляют Центру заявки на получение некоторого ресурса (для простоты рассматривается один вид ресурса). Центр на основании этих заявок распределяет имеющийся в его распоряжении ресурс (который предполагается делимым).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.