WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

Порядок построения экономико-математических моделей состоит в следующем: определяется объект исследования (экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех, некоторый социально-экономический процесс, технолого-экономический процесс и т. п.), формулируется цель исследования.

В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижение поставленной цели. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как эндогенные, а какие как экзогенные; какие как зависимые величины, а какие – независимые; какие как неизвестные (искомые), а какие как известные. Формализуются взаимосвязи между определенными параметрами модели, т. е. строится собственно экономикоматематическая модель. Проводятся расчеты по модели и анализируются результаты полученных расчетов. Если результаты оказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления, то происходит возврат к одному из предшествующих пунктов и процесс повторяется.

В современной экономике математика выступает в качестве необходимого инструмента, с помощью которого предприниматель может выбрать наилучший вариант действий из многих возможных. Соединение экономики бизнеса с математическими расчетами получило название экономико-математических методов. При этом для построения математической модели решения любой экономической задачи существует свой математический метод (см. табл. 1.1).

Таблица 1.1.

Выбор математического метода для решения экономической задачи Экономический смысл задачи Математический метод Экономические расчеты, связанные с определением до- Арифметика (доли, проценты, лей, процентов, пропорций материальных ресурсов, пропорции), алгебра (уравнесчетом денег, вычислением прибыли, налогов, рента- ния, функции, графики) бельности и т. д.

Расчеты задач, содержащих последовательности взаи- Арифметические и геометричемосвязанных экономических показателей и объектов ские прогрессии (например, так называемые «пирамиды») Вычисления, связанные с сочетанием различных эконо- Комбинаторика мических объектов, их перестановкой и размещением Расчеты в области пространственных отношений и Геометрия форм экономических объектов Оценка экономических ситуаций, связанных определе- Логика нием истинности или ложности информации, необходимостью найти выход из затруднительного положения Выбор оптимального варианта решения экономической Линейное программирование задачи для случая, когда условия описываются уравнениями 1-й степени Выбор оптимального варианта решения экономической Нелинейное программирование задачи для случая, когда условия описываются уравнениями 2-ой и более степени Выбор оптимального плана многоэтапной экономиче- Динамическое программироваской операции, когда результаты каждого последующе- ние го этапа зависят от предыдущего Экономические расчеты, связанные с явлениями и ве- Теория вероятностей личинами случайного характера Сбор, обработка и анализ статистических экономиче- Математическая статистика ских материалов Расчеты производственно-экономических показателей Теория массового обслуживаи выработка необходимых рекомендаций в массовых ния (теория очередей) повторяющихся случайных явлениях Экономические расчеты, связанные с явлениями и величи- Метод статистических испытанами случайного характера, на основе искусственно про- ний (Монте-Карло) изведенных статистических материалов Выработка экономических решений в условиях неопреде- Теория игр ленности ситуации, вызванной сознательными злонамеренными действиями конфликтующей стороны Выработка экономических решений в условиях неопре- Теория статистических решеделенности ситуации, вызванной объективными об- ний стоятельствами Составление и реализация рациональных планов про- Сетевое планирование ведения экономических операций, предусматривающих решение задачи в кратчайший срок и с наилучшими результатами 2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 2.1. Производственные множества и их свойства Рассмотрим важнейшего участника экономических процессов – отдельного производителя. Производитель реализует свои цели только через потребителя и поэтому должен угадать, понять, что тот хочет, и удовлетворить его потребности. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество n-го товара обозначается хn, тогда некоторый набор товаров обозначается Х = (x1, …, xn). Будем рассматривать только неотрицательные количества товаров, так что х i 0 для любого i = 1,..., n или Х > 0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве.

Пусть экономика работает в пространстве товаров С = {X = (x1, x2, …, xn):

x1, …, xn 0}. Пространство товаров состоит из неотрицательных n-мерных векторов. Рассмотрим теперь вектор T размерности n, первые m компонентов которого неположительные: x1, …, xm 0, а последние (n-m) компонентов неотрицательны: xm+1, …, xn 0. Вектор X = (x1,…, xm) назовем вектором затрат, а вектор Y = (xm+1, …, xn) – вектором выпуска. Сам же вектор T = (X,Y) назовем вектором затрат-выпуска, или технологией.

По своему смыслу технология (X,Y) есть способ переработки ресурсов в готовую продукцию: «смешав» ресурсы в количестве X, получим продукцию в размере Y. Каждый конкретный производитель характеризуется некоторым множеством технологий, которое называется производственным множеством. Типичное заштрихованное множество представлено на рис. 2.1. Данный производитель затрачивает один товар для выпуска другого.

у С • В • х Рис. 2.1. Производственное множество Производственное множество отражает широту возможностей производителя: чем оно больше, тем шире его возможности. Производственное множество должно удовлетворять следующим условиям:

1) оно замкнуто – это означает, что если вектор Т затрат-выпуска сколь угодно точно приближается векторами из, то и Т принадлежит (если все точки вектора Т лежат в, то Т см. рис. 2.1 точки С и В);

2) в (-) = {0}, т. е. если T, T 0, то -Т – нельзя поменять местами затраты и выпуск, т. е. производство – необратимый процесс (множество – находится в четвертом квадранте, где у < 0, х > 0);

3) множество выпукло, это предположение ведет к уменьшению отдачи от перерабатываемых ресурсов с ростом объемов производства (к увеличению норм расхода затрат на готовую продукцию). Так, из рис. 2.ясно, что y/x убывает при х -. В частности, предположение о выпуклости ведет к уменьшению производительности труда с ростом объема производства.

Часто выпуклости просто бывает недостаточно, и тогда требуют строгой выпуклости производственного множества (или некоторой его части).

2.2. “Кривая” производственных возможностей и вмененные издержки Рассматриваемое понятие производственного множества отличается высокой степенью абстрактности и в силу чрезвычайной общности малопригодно для экономической теории.

Рассмотрим, например рис. 2.1. Начнем с точек В и С. Затраты по этим технологиям одинаковы, а выпуск разный. Производитель, если он не лишен здравого смысла, никогда не выберет технологию В, раз есть более лучшая технология С. В данном случае (см. рис. 2.1), найдем для каждого x 0 самую высокую точку (x, y) в производственном множестве. Очевидно, при затратах х технология (x, y) самая лучшая. Никакая технология (x, b) c b < y не должна выбираться производителем по очевидным причинам. Итак, в данном случае (с двумя товарами) легко получили функцию y = f(x) для x 0; она называется производственной функцией. Точное определение производственной функции:

Y = f(x)(x, y), и если (x, b) и b y, то b = x.

Из рис. 2.1 видно, что для всякого x 0 такая точка y = f(x) единственна, что, собственно, и позволяет говорить о производственной функции. Но так просто дело обстоит, если выпускается только один товар. В общем случае для вектора затрат Х обозначим множество Мх = {Y:(X,Y)}.

Множество Мх – это множество всех возможных выпусков при затратах Х. В этом множестве рассмотрим “кривую” производственных возможностей Kx = {YМх: если ZМх и Z Y, то Z = X}, т. е. Kx – это множество лучших выпусков, лучше которых нет. Если выпускаются два товара, то это кривая, если же выпускается более двух товаров, то это поверхность, тело или множество еще большей размерности.

Итак, для любого вектора затрат Х все наилучшие выпуски лежат на кривой (поверхности) производственных возможностей. Поэтому из эконо мических соображений оттуда и должен выбрать производитель технологию. Для случая выпуска двух товаров y1, y2 картина показана на рис. 2.2.

Если оперировать только натуральными показателями (тоннами, метрами и т. д.), то для данного вектора затрат Х мы лишь должны выбрать вектор выпуска Y на кривой производственных возможностей, но какой конкретно выпуск надо выбрать, решить еще нельзя. Если само производственное множество выпукло, то и Мх выпукло для любого вектора затрат Х. В дальнейшем нам понадобится строгая выпуклость множества Мх. В случае выпуска двух товаров это означает, что касательная к кривой производственных возможностей Kx имеет с этой кривой только одну общую точку.

уКривая производственных y1 возможностей Кх • B A•y Mx yРис. 2.2. Кривая производственных возможностей Рассмотрим теперь вопрос о так называемых вмененных издержках.

Предположим, что выпуск фиксирован в точке A(y1, y2), см. рис. 2.2. Теперь возникла необходимость увеличить выпуск 2-го товара на y2, используя, конечно, прежний набор затрат. Сделать это можно, как видно из рис. 2.2, перенеся технологию в точку В, для чего с увеличением выпуска второго товара на y2 придется уменьшить выпуск первого товара на y1.

Вмененными издержками первого товара по отношению ко второму в точке А называется. Если кривая производ1 (A) = lim y1 / yy2 ственных возможностей задана неявным уравнением F(y1,y2) = 0, то 12(A) = (F/y2)/(F/y1), где частные производные взяты в точке А. Если внимательно вглядеться в рассматриваемый рисунок, то можно обнаружить любопытную закономерность: при движении слева вниз по кривой производственных возможностей вмененные издержки уменьшаются от очень больших величин до очень малых.

2.3. Производственные функции и их свойства Производственной функцией называется аналитическое соотношение, связывающее переменные величины затрат (факторов, ресурсов) с величиной выпуска продукции. Исторически одними из первых работ по построению и использованию производственных функций были работы по анализу сельскохозяйственного производства в США. В 1909 г. Митчерлих предложил нелинейную производственную функцию: удобрения – урожайность. Независимо от него Спиллман предложил показательное уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических производственных функций.

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом. С помощью производственных функций решаются задачи:

• оценки отдачи ресурсов в производственном процессе;

• прогнозирования экономического роста;

• разработки вариантов плана развития производства;

• оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам.

Общий вид производственной функции: Y = Y(X1, X2, …, Xi, …, Xn), где Y – показатель, характеризующий результаты производства; X – факторный показатель i-го производственного ресурса; n – количество факторных показателей.

Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических. Математически предполагается, что производственная функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Экономические предположения состоят в следующем: при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т. е. Y(0, X2, …, Xi, …, Xn) = = Y(X1, 0, …, Xi, …, Xn) = … = Y(X1, X2, …, 0, …, Xn) = … = Y(X1, X2, …, Xi, …, 0) = 0.

Однако, только с помощью натуральных показателей определить для данных затрат Х единственный выпуск Y удовлетворительно не удается:

наш выбор сузился лишь до «кривой» производственных возможностей Kx. В силу этих причин разработана лишь теория производственных функций производителей, выпуск которых можно охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска.

Пространство затрат m-мерно. Каждой точке пространства затрат Х = (х1, …, хm) соответствует единственный максимальный выпуск (см. рис. 2.1), произведенный при использовании этих затрат. Эта связь и называется производственной функцией. Однако обычно производственную функцию понимают не столь ограничительно и всякую функциональную связь между затратами и выпуском считают производственной функцией. В дальнейшем будем считать, что производственная функция имеет необходимые производные. Предполагается, что производственная функция f(X) удовлетворяет двум аксиомам. Первая из них утверждает, что существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью Е, в которой увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Таким образом, если X1, X2 – две точки этой области, то X1 X2 влечет f(X1) f(X2). В дифференциальной форме это выражается в том, что в этой области все первые частные производные функции неотрицательны: f/x1 0 (у любой возрастающей функции производная больше нуля). Эти производные называются предельными продуктами, а вектор f/X = (f/x1, …, f/xm) – вектором предельных продуктов (показывает во сколько раз изменится выпуск продукции при изменении затрат).

Вторая аксиома утверждает, что существует выпуклое подмножество S экономической области, для которой подмножества {XS:f(X) a} выпуклы для всех а 0. В этом подмножестве S матрица Гёссе, составленная из вторых производных функции f(X), отрицательно определена, следовательно, 2f/x2i < 0 для любого i = 1, …, m.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.