WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |
Министерство образования Российской Федерации Таганрогский государственный радиотехнический университет Т.В. Алесинская УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Таганрог 2002 ББК 65 В 641 я73 Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.

В учебном пособии приведены методические рекомендации по построению математических моделей и решению задач исследования операций, рассмотрены примеры решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения.

Предлагаемое учебно-методическое пособие рекомендуется для использования в курсе "Экономико-математические методы и модели" для студентов экономических специальностей.

Электронная версия книги размещена в библиотеке AUP.Ru. Постоянный адрес книги в Интернет - http://www.aup.ru/books/m84/ Табл.52. Ил.45. Библиогр.:18 назв.

Рецензенты:

Г.В. Горелова, д.т.н., профессор ТИУЭ С.А. Донских, к.т.н., доцент ТГПИ © Таганрогский государственный радиотехнический университет, 2002.

© Алесинская Т.В., 2002.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ 1) ЛП – линейное программирование;

2) ЦФ – целевая функция;

3) ОДР – область допустимых решений;

4) РЗ – распределительная задача;

5) ТЗ – транспортная задача;

6) УЗ – управление запасами;

7) * – повышенная сложность вопроса или задачи.

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 6 Часть I. ОДНОИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 6 1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП 6 1.1. Теоретическое введение 6 1.2. Методические рекомендации 8 1.3. Варианты задач для самостоятельного решения 20 2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ 28 2.1. Теоретическое введение 28 2.2. Методика решения задач ЛП графическим методом 31 2.3. Варианты задач ЛП для решения графическим методом 39 3. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП 3.1. Теоретическое введение 3.2. Методика графического анализа чувствительности оптимального решения 3.3. Варианты задач для самостоятельного решения БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Часть II. ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 4. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 4.1. Теоретическое введение 4.2. Методические рекомендации 4.3. Варианты задач для самостоятельного решения 5. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОПОРНЫХ ПЛАНОВ 5.1. Теоретическое введение 5.2. Методические рекомендации 5.3. Варианты задач для самостоятельного решения 6. ОБЩАЯ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 6.1. Теоретическое введение 6.2. Методические рекомендации 6.3. Варианты задач для самостоятельного решения БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Часть III. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 7. ПОСТРОЕНИЕ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ 7.1. Теоретическое введение 7.2. Методические рекомендации по построению сетевых моделей 7.3. Варианты задач для самостоятельного решения 8. РАСЧЕТ И АНАЛИЗ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ 8.1. Теоретическое введение 8.2. Методические рекомендации 8.3. Варианты задач для самостоятельного решения БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Часть IV. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 9. РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 9.1. Теоретическое введение 9.2. Методические рекомендации 9.3. Варианты задач для самостоятельного решения 10. МЕТОДЫ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ 10.1. Теоретическое введение 10.2. Методические рекомендации 10.3. Варианты задач для самостоятельного решения БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Часть V. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ 11. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 11.1. Теоретическое введение 11.2. Методические рекомендации 11.3. Варианты задач для самостоятельного решения 12. МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ СКИДКИ 12.1. Теоретическое введение 12.2. Методические рекомендации 12.3. Варианты задач для самостоятельного решения БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ВВЕДЕНИЕ В данном учебном пособии даны рекомендации по построению математических моделей и решению задач исследования операций в области:

линейного программирования, сетевого планирования, регрессионного анализа, прогнозирования временных рядов, управления запасами.

В целях более эффективного усвоения учебного материала каждая тема содержит краткое теоретическое введение, подробные методические указания с описанием решения конкретных задач, варианты задач для самостоятельного решения, включая задачи повышенной сложности.

Особое внимание в учебном пособии было уделено вопросам построения математических моделей как основополагающему и наиболее творческому этапу решения задач. В связи с тем, что современное компьютерное программное обеспечение позволяет значительно упростить процесс поиска оптимальных решений, наиболее трудоемкие методы решения задач (симплексметод, метод потенциалов, методы оптимизации сетевых моделей) в учебном пособии рассмотрены не были.

Часть I. ОДНОИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП 1.1. Теоретическое введение Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x1,x2,...,xn );

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Общая форма записи модели задачи ЛП Целевая функция (ЦФ) L(X)= c1x1 + c2x2 +... + cnxn max (min), при ограничениях a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn (,=)b1, (1.1) a x1 + a22x2 +...+ a2nxn (,=)b2,...

a x1 + am2x2 +...+ amnxn (,=)bm, m x1, x2,...xk 0 (k n).

При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Например, если, продавая j-й товар в общем случае по цене 100 рублей, фирма будет делать скидку при определенном уровне закупки до уровня цены 95 рублей, то будет отсутствовать прямая пропорциональность между доходом фирмы и величиной переменной x. Т.е. в разных ситуациях одна единица j-го товара будет j приносить разный доход. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных.

Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.

Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = x1,x2,...,xn, () удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).

Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.

1.2. Методические рекомендации Задача № 1.Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента:

А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.

Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Таблица 1.Параметры задачи о производстве красок Расход ингредиентов, т ингр./т краски Ингредиенты Запас, т ингр./сутки Краска 1-го вида Краска 2-го вида А1 В 2 1 Решение Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи 2) Какова цель решения Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов 3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе;

количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться;

количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.

1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде X = (x1,x2,..., xn ).

2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, L(X). Математическая формула ЦФ L(X) отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.

3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.

В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.

Построим модель задачи №1.01, используя описанную методику.

Переменные задачи В задаче №1.01 требуется установить, сколько краски каждого вида надо производить. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида красок:

x1 – суточный объем производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];

x2 – суточный объем производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].

Целевая функция В условии задачи №1.01 сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е. x1 и x2 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски 1-го вида равен 3x1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 2x2 тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем ЦФ в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок) L(X) = 3x1 + 2x2 max [тыс. руб./сутки], тыс.руб. т краски тыс.руб.

=.

т краски сутки сутки Ограничения Возможные объемы производства красок x1 и x2 ограничиваются следующими условиями:

• количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;

• согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства краски 2-го вида может превышать объем производства краски 1го вида, но не более, чем на 1 т краски;

• объем производства краски 2-го вида не должен превышать 2 т в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;

• объемы производства красок не могут быть отрицательными.

Таким образом, все ограничения задачи №1.01 делятся на 3 группы, обусловленные:

1) расходом ингредиентов;

2) рыночным спросом на краску;

3) неотрицательностью объемов производства.

Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую содержательную форму записи Расход конкретного ингредиента Максимально возможный на производство обоих видов краски запас данного ингредиента.

Запишем эти ограничения в математической форме.

Левая часть ограничения – это формула расчета суточного расхода конкретного ингредиента на производство красок. Так из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида (1 т ингр. А) и 1 т краски 2-го вида (2 т ингр. А) (см. табл.1.1). Тогда на производство x1 т краски 1-го вида и x2 т краски 2-го вида потребуется 1x1 + 2x2 т ингр. А.

Правая часть ограничения – это величина суточного запаса ингредиента на складе, например, 6 т ингредиента А в сутки (см. табл.1.1). Таким образом, ограничение по расходу А имеет вид т ингр.А т краски т ингр.А 1x1 + 2x2 6.

т краски сутки сутки Аналогична математическая запись ограничения по расходу В т ингр.В т краски т ингр.В 2x1 +1x2 8.

т краски сутки сутки Примечание 1.1. Следует всегда проверять размерность левой и правой части каждого из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибке при составлении ограничений.

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет содержательную форму Превышение объема производства краски 2 - го вида т краски над объемом производства краски 1- го вида сутки и математическую форму т краски т краски x2 - x1 1.

сутки сутки Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет содержательную форму т краски (Спрос на краску 1- го вида) сутки и математическую форму т краски т краски x1 2.

сутки сутки Неотрицательность объемов производства задается как x1 0,.

x2 Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид L(X)= 3x1 + 2x2 max [руб. сутки] x1 + 2x2 6 [т ингр. A/сутки], 2x + x2 [т ингр. B/сутки], [т краски сутки], - x1 + x2 x2 2 [т краски сутки], 0,x2 0 [т краски сутки].

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.