WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |

Из приведенных выше расчетов и графической их иллюстрации следует, что если цена на краску первого вида станет меньше 1 тыс. руб. / т (c1 <1), то наиболее выгодным будет производство красок в точке D (см. рис. 3.5). При этом общее потребление ингредиента В снизится, что приведет к его недефицитности [ресурс (2)], а дефицитными будут ресурсы (1) и (4).

3.3. Варианты задач для самостоятельного решения Задача № 3.Проанализируйте случаи, когда цена на краску первого вида:

1) превысила 4 тыс. руб./т;

2) равна 1 тыс. руб./т;

3) равна 4 тыс. руб./т.

Какая точка станет оптимальной, какими будут объемы производства красок, как изменится дефицитность и объем потребления ресурсов задачи Задача № 3.Определите допустимый диапазон изменения цены на краску 2-го вида при неизменном значении цены на краску первого вида 3 тыс. руб. / т в исходной задаче. Проанализируйте влияние изменения цены на краску 2-го вида на объемы производства и дефицитность ресурсов в исходной задаче (аналогично задаче № 3.1).

Задача № 3.Пусть в задаче № 1.01 ограничение (1) для ингредиента А изменилось на 2x1 + 3x2 10. Определите следующие параметры задачи:

1) новое оптимальное решение X* и L(X*) ;

2) максимально допустимый прирост объема ингредиента А и соответствующее приращение ЦФ;

3) величины yi для всех ресурсов задачи.

Задача № 3.Пусть в задаче № 1.01 ЦФ изменилась на L(X)= 3x1 + x2. В этом случае точка F с координатами (4;0) станет оптимальной. Это означает, что краску 2-го вида производить нецелесообразно. Определите, при какой цене или диапазоне цен на краску первого вида станет выгодно производить краску 2-го вида Задача № 3.Перечислите виды всех ресурсов и ограничений задачи. Проведите анализ чувствительности оптимального решения для ресурсов (1), (2), (3) и цен c1 и c2 (табл. 3.2).

Таблица 3.Параметры задачи №3.Модель Координаты пересечения прямых с осями x1 и xL X 6 x1+5 x2 max [тыс. руб.] (2; 2,4) ( )= x1+2 x2 11 [ед. ресурса] (1) (11; 5,5) 2 x1+ x2 7 [ед. ресурса] (2) (3,5; 7) 2 x1- x2 1 [ед. ресурса] (3) (0,5; -1) 2 x1+3 x2 3 [ед. ресурса] (4) (1,5; 1) x1,x2 0 Xmax (1;5) [ед. прод.], L(Xmax )= 31 [тыс.руб.] Задача № 3.6* Используя конкретные примеры моделей задач, сформулируйте задачи, правила, экономическую интерпретацию анализа оптимального решения на чувствительность для следующих случаев:

1) в задаче существуют ограничения со знаком ;

2) при поиске допустимого диапазона изменения цены целевая прямая, поворачиваясь вокруг оптимальной точки, проходит через: a) вертикальное положение; b) горизонтальное положение.

Задача № 3.7* Некоторая фирма производит продукцию двух видов с использованием трех видов ресурсов – неравенства (1), (3), (5). Неравенства (2) и (4) ограничивают соответственно минимальный суточный спрос на продукцию первого вида и максимальный суточный спрос на продукцию второго вида. ЦФ представляет собой доход от реализации продукции. Перечислите виды всех ресурсов и ограничений задачи и проведите полный анализ чувствительности оптимального решения (табл. 3.3).

Таблица 3.Параметры задачи № 3.Модель Координаты пересечения прямых с осями x1 и xL(X)= 5x1 +1x2 max [ руб.];

- x1 + x2 1 [ед. ресурса] (1) (-1; 1) x1 2 [ед. прод.] (2) (2; –) 4x1 - 8x2 12 [ед. ресурса] (3) (3; -1,5) x2 6 [ед. прод.] (4) (–; 6) 3x1 + 2x2 21 [ед. ресурса] (5) (7; 10,5) x1, x2 0 Xmax(6;1,5) [ед. прод.], L(Xmax )= 31,5 [руб.] Задача № 3.8* Перечислите виды всех ресурсов и ограничений задачи. Проведите полный анализ чувствительности оптимального решения (табл. 3.4).

Таблица 3.Параметры задачи № 3.Модель Координаты пересечения прямых с осями x1 и xL(X)= 4 x1+ x2 max [руб.] (1; 4) - x1+4 x2 9 [ед. ресурса] (1) (-9; 2,3) 3 x1+1 x2 5 [ед. ресурса] (2) (1,7; 5) x1+2 x2 7 [ед. ресурса] (3) (7; 3,5) 5 x1-8 x2 -1 [ед. ресурса] (4) (-0,2; 0,1) x1, x2 0 Xmax(3;2) [ед. прод.], L(Xmax )= 14 [руб.] БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. М.: Мир, 1971.

2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.

М.: Высшая школа, 1986.

3. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Киев: Вища школа, 1979.

4. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическое программирование.

Минск: Вышэйшая школа, 1995.

5. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика:

математическое программирование. Минск: Вышэйшая школа, 2001.

6. Таха Х.А. Введение в исследование операций. В 2-х книгах. М.: Мир, 1985.

7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом "Вильямс", 2001.

8. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений. М.: ЮНИТИ, 1997.

Часть II. ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 4. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 4.1. Теоретическое введение Задача о размещении (транспортная задача) – это РЗ, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи (ТЗ) является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ 1) n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения.

2) ai – запас продукции в пункте отправления Ai (i =1,n ) [ед. прод.].

3) b – спрос на продукцию в пункте назначения Bj ( j =1,m ) [ед. прод.].

j 4) cij – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления Ai в пункт назначения Bj [руб. / ед. прод.].

Искомые параметры модели ТЗ 1) xij – количество продукции, перевозимой из пункта отправления Ai в пункт назначения Bj [ед. прод.].

2) L(X) – транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

Этапы построения модели I. Определение переменных.

II. Проверка сбалансированности задачи.

III. Построение сбалансированной транспортной матрицы.

IV. Задание ЦФ.

V. Задание ограничений.

Транспортная модель n m L(X)= c xij min ;

ij i=1j=m x = ai, i =1,n, ij j=(4.1) n x = b, j =1,m, ij j i = x 0 (i =1,n; j =1,m).

ij ЦФ представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (табл. 4.1).

Таблица 4.Общий вид транспортной матрицы Пункты потребления, Bj Запасы, Пункты ед. прод.

отправления, Ai В1 В2 … Bm А1 c11, [руб./ед. прод.] c12 c1m a… А2 c21 c22 c2m a… …… … … … … An cn1 cn2 cnm an … n m Потребность b1 b2 bm … a = b i j ед. прод.

i=1 j=Из модели (4.1) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е.

n m a = b. (4.2) i j i=1 j=Если (4.2) выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой), в противном случае – несбалансированной (открытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е.

n m bф = -.

a b i j i=1 j=Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

m n aф = -.

b a j i j=1 i=Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы cф, величина которых обычно приравнивается к нулю cф = 0. Но в некоторых ситуациях величину фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина cф может быть любым положительным числом.

Задача о назначениях – частный случай ТЗ. В задаче о назначениях количество пунктов отправления равно количеству пунктов назначения.

Объемы потребности и предложения в каждом из пунктов назначения и отправления равны 1. Примером типичной задачи о назначениях является распределение работников по различным видам работ, минимизирующее суммарное время выполнения работ.

Переменные задачи о назначениях определяются следующим образом 1, если i - й рабочий работает на j - м станке, xij = 0, в противном случае.

4.2. Методические рекомендации 4.2.1. Стандартная транспортная задача Задача № 4.Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E.

Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

DE А 80 В100 С102 Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

Решение Определение переменных Обозначим количество автомобилей, перевозимых из i-го завода в j-й пункт потребления через xij.

Проверка сбалансированности задачи Проверим равенство суммарного производства автомобилей и суммарного спроса (1000 + 1300 +1200)<(2300 + 1400), 3500 шт./кв. 3700 шт./кв.

откуда следует вывод – задача несбалансирована, поскольку спрос на автомобили превышает объем их производства. Для установления баланса введем дополнительный фиктивный завод с ежеквартальным объемом производства 200 шт. (3700 - 3500 = 200). Фиктивные тарифы cф приравняем к нулю (т.к. перевозки в действительности производиться не будут).

Построение транспортной матрицы Согласно результатам проверки сбалансированности задачи № 4.01 в транспортной матрице должно быть четыре строки, соответствующих заводам и два столбца, соответствующих центрам распределения (см. табл. 4.3). Тариф перевозки обычно вписывают в правом нижнем углу клетки матрицы для удобства дальнейшего нахождения опорных планов задачи.

Таблица 4.Транспортная матрица задачи № 4.DE Объем произв., шт./квартал А 80 B 100 C 102 Фиктивный завод Спрос, шт./квартал 2300 Задание ЦФ Суммарные затраты в рублях на ежеквартальную перевозку автомобилей определяются по формуле L (X) = 80 x + 215 x + 100 x + 108 x + 102 x31 + 68 x32 + 0 x41 + 0 x42 min 11 12 21 Задание ограничений x11 + x12 = 1000, x21 + x22 = 1300, x31 + x32 = 1200, x41 + x42 = 200, [шт./квартал] x11 + x21 + x31 + x41 = 2300, x12 + x22 + x32 + x42 = 1400, x 0 =1,2 ; j=1,(i ).

ij 4.2.2. Модификации стандартной транспортной задачи Недопустимые перевозки Иногда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов cз. Запрещающие тарифы должны сделать невыгодными перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна быть больше реальных тарифов в транспортной матрице сз > maxc (i =1,n; j =1,m).

ij Максимизация ЦФ Существующий алгоритм решения транспортных задач (метод потенциалов) предполагает, что ЦФ стремится к минимуму. Однако существуют ситуации, когда в рамках транспортной модели требуется максимизировать ЦФ, например, общий доход, объем продаж, прибыль, качество выполняемых работ и т.д. В этом случае в модель вместо искомой ЦФ L(X) вводится ЦФ L1(X)= -L(X), в которой тарифы умножаются на (-1).

Таким образом, максимизация L(X) будет соответствовать минимизации L1(X).

Многопродуктовые модели Если в задаче идет речь о том, что из каждого пункта отправления можно перевозить продукцию нескольких видов, то при построении модели можно использовать один из следующих вариантов:

• каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;

• все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.

4.3. Варианты задач для самостоятельного решения Задача № 4.Постройте транспортную модель для исходных данных задачи № 4.при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до автомобилей, а выпуск на заводе B увеличился до 1500 автомобилей за квартал.

Задача № 4.Постройте математическую модель задачи № 4.01 при условии, что за каждый недопоставленный автомобиль в распределительные центры D и E введены штрафы 200 и 300 руб. соответственно. Кроме того, поставки с завода А в распределительный центр E не планируются изначально.

Задача № 4.Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВтч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВтч. Цены за миллион кВтч в данных городах приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.Стоимость за электроэнергию, руб. / млн. кВт ч Города 1 1 600 700 Станция 2 320 300 3 500 480 В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВтч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели.

Задача № 4.Некоторой компании принадлежат три фермы, где выращивают овощи, предназначенные для последующей обработки на двух холодильных заводах компании. Одним из выращиваемых овощей являются бобы, которые холодильные заводы продают по 200 руб. за 1 т. В табл. 4.5 приведены издержки производства для каждой фермы и каждого холодильного завода, максимальные значения урожая для каждой фермы, прогнозные значения спроса на следующий сезон для каждого завода. В табл. 4.6 приведена стоимость транспортировки бобов.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.