WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

Предполагая, что спрос на любую комбинацию деталей А и В обеспечен, постройте математическую модель для нахождения плана их выпуска, максимизирующего прибыль.

Таблица 1.Исходные данные задачи №1.Производительность, шт./ч Стоимость станочного Станки АВвремени, руб./ч Токарные 25 40 Сверлильные 28 35 Шлифовальные 35 25 17,Цена детали, руб.:

покупная продажная Задача №1.9* Ежедневно в ресторане фирменный коктейль (порция составляет 0,33 л) заказывают в среднем 600 человек. Предполагается, что в ближайшее время их количество увеличится в среднем на 50 человек. Согласно рецепту в составе коктейля должно быть:

• не менее 20%, но и не более 35% спирта;

• не менее 2% сахара;

• не более 5% примесей;

• не более 76% воды;

• не менее 7% и не более 12% сока.

В табл. 1.7 приведены процентный состав напитков, из которых смешивается коктейль, и их количество, которое ресторан может ежедневно выделять на приготовление коктейля.

Таблица 1.Процентный состав и запасы напитков Напиток Спирт Вода Сахар Примеси Количество, л/сут.

Водка 40% 57% 1%2% Вино 18% 67% 9% 6% Сок 0% 88% 8% 4% Постройте модель, на основании которой можно будет определить, хватит ли ресторану имеющихся ежедневных запасов напитков для удовлетворения возросшего спроса на коктейль.

Задача № 1.10* Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – по 20 ед. ширины. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в табл.1.8.

Таблица 1.Варианты заказов на рулоны нестандартных размеров Требуемая ширина рулона, Требуемое количество рулонов, Заказ ед. шир. шт.

1 5 27 39 Все допустимые варианты разрезания рулонов приведены в табл.1.9.

Рис.1.4 иллюстрирует 1-й вариант раскроя рулонов.

Таблица 1.Допустимые варианты раскроя рулонов Требуемая ширина, Вариант раскроя рулонов Минимальное кол-во ед. шир. 1 2 3 4 5 6 рулонов, шт.

5 0 2 2 4 1 0 7 1 1 0 0 2 0 9 1 0 1 0 0 2 Потери, ед. шир. 4 3 1 0 1 9 ед.4 ед.

7 ед.

Рис.1.4. 1-й вариант раскроя рулонов Постройте математическую модель, позволяющую найти такой план разрезания рулонов, при котором поступившие заказы на нестандартные рулоны удовлетворяются с минимальными потерями (т.е. непригодными для реализации остатками рулонов).

Примечание 1.5. В данной задаче для удобства записи модели можно ввести переменные, не являющиеся искомыми величинами.

2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ 2.1. Теоретическое введение Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости (x1, x2 ) некоторую полуплоскость (рис. 2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е.

обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.

Примечание № 2.1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство ai1x1 + ai2x2 = bi можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис. 2.1) ai1x1 + ai2x2 bi, a x1 + ai2x2 bi.

iЦФ L(X)= c1x1 + c2x2 при фиксированном значении L(X) = L определяет на плоскости прямую линию c1x1 + c2x2 = L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси x2 (начальная ордината), а - cугловой коэффициент прямой tg = останется постоянным (см. рис. 2.1).

cПоэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор C = (c1;c2) с координатами из коэффициентов ЦФ при x1 и xперпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 2.1). Направление вектора C совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора C.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора C в ОДР производится поиск оптимальной точки * X* =(x1;x*). Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня Lmax ( Lmin ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(X). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации:

существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.

.

x 2 i k k b a 1 i 2 i i i a x + a x b a x + a x b, 1 i = Допустимая область - полуплоскость + i 1 i 2 i a x a x b + Область, допустимая обеими полуплоскостями - прямая 1 k 2 k k a x a x b = Линии уровня L( X) L = L (X) L c = c Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи ЛП (1.1) C ( c ;

) L (X) L c x k c c L L k b a 2.2. Методика решения задач ЛП графическим методом I. В ограничениях задачи (1.1) замените знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые.

II. Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.1). Для этого подставьте в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверьте истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку x1 и x2 должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси x1 и правее оси x2, т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделите на графике такие прямые.

III. Определите ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделите ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений, о чем сделайте соответствующий вывод.

IV. Если ОДР – не пустое множество, то постройте целевую прямую, т.е.

любую из линий уровня c1x1 + c2x2 = L, где L – произвольное число, например, кратное c1 и c2, т.е. удобное для проведения расчетов. Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Постройте вектор C = c1,c2, который начинается в точке (0;0), ( ) заканчивается в точке c1,c2. Если целевая прямая и вектор C построены ( ) верно, то они будут перпендикулярны.

VI. При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора C, при поиске min ЦФ – против направления вектора C. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то сделайте вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске max) или снизу (при поиске min).

* VII. Определите координаты точки max (min) ЦФ X* =(x1;x*) и вычислите значение ЦФ L(X*). Для вычисления координат оптимальной точки X решите систему уравнений прямых, на пересечении которых находится X.

Задача № 2.Найдем оптимальное решение задачи № 1.01 о красках, математическая модель которой имеет вид L(X) = 3x1 + 2x2 max x1 + 2x2 6, (1) 2x + x2 8, (2) - x1 + x2 1, (3) x2 2, (4) 0,x2 0.

xПостроим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис. 2.2).

x1 + 2x2 = 6, (1) 2x + x2 = 8, (2) - x1 + x2 =1, (3) x2 = 2. (4) x1 = 0, x1 = 6, x1 = 0, x1 = 4, x1 = 0, x1 =-1, (1) – x (2) – 8, x = 0, (3) – 1, x = 0.

= 3, = 0, = = x2 2 x2 2 x2 Прямая (4) проходит через точку x2 = 2 параллельно оси x1.

x(2) (3) D C С (4) E - точка максимума B (1) F А x0 2 -1 3 4 L(X) Рис. 2.2. Графическое решение задачи № 2.Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), получим 0 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (см. рис. 2.2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF.

Целевую прямую можно построить по уравнению 3x1 + 2x2 = 6, x1 = 0, x1 = 2, x = 3, x = 0.

2 Строим вектор C из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора C. Поэтому Е – это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2) x1 + 2x2 = 6, (1) 10 1 4 2x + x2 = 8, (2) x1 = = 3 3, x2 = = 13, 3 1 E3 ;1 [т/сутки].

3 10 4 Максимальное значение ЦФ равно L E = 3 + 2 = ( ) 3 3 [тыс. руб./сутки]. Таким образом, наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски 1-го вида в объеме 3 т и краски 2-го вида в 1 объеме 1 т. Доход от продажи красок составит 12 тыс. руб. в сутки.

3 Задача № 2.L(X)= -2x1 - x2 min(max) 2x1 + 4x2 16, (1) - 4x1 + 2x2 8, (2) x + 3x2 9, (3) 6x + 5x2 = 30, (4),x2 0.

xПостроим ограничения (рис. 2.3).

x1 = 0, x1 = 8, x1 = 0, x1 = -2, = = x1 0, x1 9, (1) – x = 4, x = 0, (2) – x = 4, x = 0, (3) – x = 3, x = 0.

2 2 2 2 2 x1 = 0, x1 = 5, (4) – x = 6, = 0.

x 2 x(2) (1) (3) А max B min x-2 -1 23 4 5 -(4) С L(x) -Рис.2.3. Графическое решение задачи №2.Целевую прямую построим по уравнению - 2x1 - x2 = -4, x1 = 0, x1 = 2, x = 4, x = 0.

2 Определим ОДР. Ограничение-равенство (4) допускает только точки, лежащие на прямой (4). Подставим точку (0;0) в ограничение (3), получим 0 9, что является ложным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, не содержащую точку (0;0), т.е.

расположенную выше прямой (3). Аналогично определим и укажем допустимые полуплоскости для остальных ограничений (см. рис. 2.3). Анализ полуплоскостей, допустимых остальными ограничениями-неравенствами, позволяет определить, что ОДР – это отрезок АВ.

Строим вектор C из точки (0;0) в точку (-2;-1). Для поиска минимума ЦФ двигаем целевую прямую против направления вектора C. Точка В – это последняя точка отрезка АВ, через которую проходит целевая прямая, т.е. В – точка минимума ЦФ.

Определим координаты точки В из системы уравнений прямых ограничений (3) и (4) x1 + 3x2 = 9, (3) x1 3,46; x2 1,85.

6x + 5x2 = 30, (4) Минимальное значение ЦФ равно L (3,46; 1,85 )= -2 3,46 -11,85 = -8,77.

При поиске точки максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора C. Последней точкой отрезка АВ, а значит, и точкой максимума будет А. Определим координаты точки А из системы уравнений прямых ограничений (1) и (4) 2x1 + 4x2 =16, (1) x1 2,86; x2 2,57.

6x + 5x2 = 30. (4) Максимальное значение ЦФ равно L (2,86; 2,57 )= -2 2,86 -1 2,57 = -8,29.

Таким образом, В(3,46; 1,85) – точка минимума, Lmin(B)= -8,77 ;

(2,86; 2,57 ) – точка максимума, Lmax(A)= -8,29.

Задача № 2.L(X )= x1 - 3x2 min(max) x1 + 3x2 3, (1) x + x2 5, (2) x 4, (3) - 2x1 + x2 2, (4),x2 0.

xПостроим ограничения (рис. 2.4) x1 = 0, x1 = 3, x1 = 0, x1 = 5, x1 = 0, x1 = -1, (1) – (2) – (4) – = 1, = 0. = 5, = 0. = 2, = 0.

x2 x2 x2 x2 x2 xПрямая (3) – проходит через точку x1 = 4 параллельно оси x2.

Целевую прямую построим по уравнению x1 - 3x2 = -3, x1 = 0, x1 = -3, x = 1, x = 0.

2 Определим ОДР. Подставим точку (0;0) в ограничение (2), получим 0 5, что является ложным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, не содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и выше прямой (2).

x (4) (3) (2) А max L(x) (1) -3 -2 -1 23 --С -Рис. 2.4. Графическое решение задачи № 2.Аналогично определим и укажем допустимые полуплоскости для остальных ограничений (см. рис.2.4). Анализ допустимых полуплоскостей позволяет определить, что ОДР – это незамкнутая область, ограниченная прямыми (2), (3), (4) и осью x2.

Строим вектор C из точки (0;0) в точку (1;-3). Для поиска минимума ЦФ двигаем целевую прямую против направления вектора C. Поскольку в этом направлении ОДР не ограничена, то невозможно в этом направлении найти последнюю точку ОДР. Отсюда следует, что ЦФ не ограничена на множестве планов снизу (поскольку идет поиск минимума).

При поиске максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора C до пересечения с вершиной А – последней точкой ОДР в этом направлении. Определим координаты точки А из системы уравнений прямых ограничений (2) и (4) x1 + x2 = 5, (2) x1 = 1; x2 = 4.

- 2x1 + x2 = 2. (4) Максимальное значение ЦФ равно L (1; 4 )=11 - 3 4 = -11.

Таким образом, в данной задаче ЦФ не ограничена на множестве планов снизу, а А(1;4) является точкой максимума ЦФ, Lmax(A)= -11.

2.3. Варианты задач ЛП для решения графическим методом Задача № 2.1 Задача № 2.L(X )= 4x1 - 3x2 max (min) L(X )= 2x1 + 5x2 max (min) 5x - 2x2 20, 2x - x2 `6, x + 2x2 10, x + 2x2 5, 1 - 7x1 +10x2 80, 4x + x2 8, - x1 + 2x2 6, x1,x2 0.

, x2 0.

xЗадача № 2.3 Задача № 2.L(X )= x1 + 2x2 max (min) L(X )= -2x1 + 5x2 max (min) - 3x1 + 2x2 12, - x1 + 3x2 10, x + x2 6, x + 2x2 = 8, 1 x + 4x2 3, x + x2 5, 1 - x1 + 4x2 2, x1, x2 0.

, x2 0.

xЗадача № 2.5 Задача № 2.L(X )= x1 + 6x2 max (min) L(X )= -3x1 - 2x2 max (min) x1 + 2x2 10, x - x2 3, 3x - 3x2 6, 2x + 2x2 2, 1 2x + 3x2 6, x + x2 6, 1 3x + x2 4, - 2x1 + 6x2 20,, x2 0., x2 0.

x1 xЗадача № 2.7* Задача № 2.8* L(X )= x1 + 6x2 max (min) L(X )= 4x1 + 2x2 max (min) - 2x1 +12x2 8, x1 + 2x2 7, 4x + 2x2 10, 2x + x2 8, 1 3x - 4x2 2, - x1 + 2x2 6, 4x + 5x2 8, - 2x1 + 8x2 4,, x2 0., x2 0.

x1 xЗадача № 2.9* L(X )= 3x1 + 4x2 max (min) x1 + 2x2 8, 4x + 4x2 18, - x1 + x2 1, x2 = 2,,x2 0.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.