WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 82 |

Последнее утверждение доказывается путем нахождения предела среднего степенного при k 0. Для того чтобы сделать такой предельный переход, обе части формулы среднего степенного возводятся в степень k, затем xk ивсе xk представ i ляются разложением в степенные ряды:

k ln x (k ln x)2 k ln xi (k ln xi) 1+ + + · · · = i(1 + + + · · · ), 1! 2! 1! 2! далее в обеих частях полученного выражения сокращаются единицы (1 = i), и эти обе части делятся на k. Теперь при k =0 получается следующее равенство:

ln x = i ln xi, i откуда x = x, что и требовалось доказать.

i Средние геометрические используются при построении некоторых специальных индексов. Но это тема следующей главы. Простые примеры использования средней геометрической дает производственная функция.

Пусть в производственной функции Кобба—Дугласа так называемая отдача на масштаб постоянна, т.е. сумма показателей степеней в выражении функции равна единице, и при увеличении использования ресурсов в одинаковое количество раз выпуск продукции растет в такое же количество раз:

X = aCL1-, 58 Глава 2. Описательная статистика или в более развернутой форме:

X =(CaC)(LaL)1-, где aC — коэффициент фондоотдачи при нормальном соотношении между основным капиталом и трудом, aL — коэффициент производительности труда при тех же нормальных условиях.

Нормальное соотношение труда и капитала определяется сложившимся организационно-технологическим уровнем производства. Это — фиксированная величина:

C sn =.

L Откуда aC = a (sn)-1, aL = a (sn).

Таким образом, в общем случае (при любых соотношениях ресурсов) выпуск продукции является средневзвешенной геометрической потенциального выпуска, который мог бы быть обеспечен основным капиталом при нормальном соотношении его с трудом (величины CaC ), и потенциального выпуска, который обеспечивается трудом при нормальном его соотношении с капиталом (LaL). Коэффициент a в исходной записи производственной функции равен a a1-, и он может называтьC L ся коэффициентом общей производительности ресурсов, поскольку является также среднегеометрической нормальной фондоотдачи и нормальной производительности труда.

Более общая форма связи между выпуском и ресурсами дается производственной функцией с постоянной эластичностью замены ресурсов. В развернутом виде она записывается следующим образом:

- X = (CaC)- +(1- )(LaL)-.

Это — пример использования среднего степенного при нецелочисленных значениях параметра степени, поскольку (равный -k в общей формуле среднего степенного) может принимать любые значения на отрезке [-1, +] (при 0, в силу приведенного выше доказательства, производственная функция с постоянной эластичностью замены преобразуется к форме Кобба—Дугласа). От величины этого параметра зависят возможности взаимного замещения ресурсов, допускаемые в данной модели производства. Чем выше его величина, тем более затруднено это замещение.

Такое свойство производственной функции с постоянной эластичностью замены эквивалентно известному свойству среднего степенного: оно увеличивается с ростом k.

Среднее степенное увеличивается с ростом k, в частности, по возрастанию средние степенные располагаются в следующем порядке: гармоническое, геометрическое, арифметическое, квадратическое. Это свойство иногда называют мажорантностью средних.

2.2. Средние величины Пусть x(k) — среднее степенное, пусть далее k2 > k1, и требуется доказать, что x(k1) > x(k2).

Эти средние можно записать в следующем виде:

1 k1 k1 k1 k k2 k2 x (k1) = i xk, x (k2) = ixk, i i и ввести промежуточные обозначения (чтобы не загромождать изложение):

yi = xk, i kq =, kf (y) =yq, d2f v = = q (q - 1) yq-2, dy a1 = if(yi), a2 = f iyi.

В этих обозначениях утверждение, которое следует доказать, записывается следующим образом:

1 k1 ka2 >a1.

Далее рассматривается три возможных случая:

1) k2 >k1 > 0, 2) k2 > 0 >k1, 3) 0 >k2 >k1.

Впервомслучае q <1, v <0, т.е. функция f вогнута (выпукла вверх) и a2 >aпо определению такой функции. После возведения обеих частей этого неравенства в положительную степень знак его сохраняется, что и завершает доказательkство в этом случае.

Во втором и третьем случаях v >0, ифункция f выпукла (выпукла вниз). Поэтому a2 < a1, и после возведения обеих частей этого неравенства в отрицательную степень оно меняет знак, приобретая тот, который нужно для завершения kдоказательства.

Свойство мажорантности средних выражается и в том, что предельные значения среднего степенного при k = ± равны, соответственно, максимальному и минимальному значению признака в выборке.

60 Глава 2. Описательная статистика Для доказательства этого факта в выражении среднего выносится за скобки x1 :

k k N xi x = x1 1 + i.

xi=xi xЕсли xi упорядочены по возрастанию и x1 =min xi, то 1, ипри k k выражение в скобках стремится к i, гд е k — число объектов, для которых i=усредняемый признак минимален (если минимум =1), единственный, то k т.е. конечно. Это выражение возводится в степень, которая стремится к нулю при k k -. Следовательно, среднее степенное при k -равно минимальному значению усредняемых признаков.

Предположив теперь, что xi упорядочены по убыванию, аналогичным образом можно доказать, что среднее степенное при k + равно максимальному значению признака по совокупности.

Существует наиболее общая запись средневзвешенного:

x = f-1 if(xi). (2.4) Если f — степенная функция xk, то речь идет о средней степенной, если f — логарифмическая функция ln x, то это — средняя логарифмическая, которая является частным случаем средней степенной при k =0, если f — показательная функция ax, то это — средняя показательная и т.д.

Особенностью средних относительных величин является то, что они, как правило, рассчитываются как средние взвешенные.

Пусть i-й объект, i = 1,..., N характеризуется зависимыми друг от друга объемными величинами yi и xi. Показателем этой зависимости является отноyi xi сительная величина ai =. Это может быть производительность, фондовооруженность труда, рентабельность и т.д. Понятно, что средняя по совокупности объектов относительная величина a (знак черты над символом, обозначающим среднее относительное, часто опускается) рассчитывается по следующей формуле:

yi a =, xi которая легко преобразуется в формулу средней взвешенной:

xi a = xai, где x =, или i i xi 1 y a =, где y = i.

y i i yi ai 2.2. Средние величины Таким образом, если веса рассчитываются по структуре объемных величин, стоящих в знаменателе, то средняя относительная является средней взвешенной арифметической, если эти веса рассчитываются по объемным величинам, стоящим в числителе, то она является средней взвешенной гармонической.

Формально можно рассчитать простую среднюю (например, арифметическую) a = ai, N но содержательного смысла она иметь не будет. Это становится понятным, как толь yi xi к общему знаменателю.

ко осуществляется попытка привести слагаемые Тем не менее, такая средняя также может использоваться в анализе. Например, ее иногда полезно сравнить с фактической средней a для выявления некоторых характеристик асимметрии распределения признака по совокупности. Если a >a, то в совокупности преобладают объекты с повышенной величиной ai, и, повидимому, имеет место правая асимметрия, в противном случае в совокупности больший удельный вес занимают объекты с пониженной ai (левая асимметрия).

Однако в статистике имеются более четкие критерии асимметрии распределения.

Особое место среди средних относительных занимают средние темпы роста.

Темпы роста величин типа потока выражают отношение потока за единицу (период) времени к потоку за некоторую предыдущую единицу (предыдущий период) времени. Темпы роста величин типа запаса показывают отношение запаса в момент времени к запасу в некоторый предыдущий момент времени. Такой же смысл имеют и средние темпы роста. Средние за период темпы роста рассчитываются обычно как средние геометрические.

Пусть x0, x1,..., xN значения некоторой объемной величины в моменты времени t0, t1,..., tN, если эта величина типа запаса, или в последнюю единицу времени, соответственно, 0-го, 1-го и т.д., N-го периода времени, если речь идет о величине типа потока (t0 — последняя единица времени 0-го периода, [ti-1 +1, ti] — i-й период). Как и прежде, i = ti - ti-1, i =1,..., N, = i.

Предполагается, что i — целые положительные числа.

Тогда xi i = — темп роста за i-й период времени, xi-N xN = = i — общий темп роста.

x0 i=Если все периоды одинаковы и равны единице (i =1), то средний в единицу времени темп роста определяется по формуле:

N xN N = = i, x62 Глава 2. Описательная статистика т.е. он равен простому среднему геометрическому темпу по всем периодам.

В общем случае (при разных i) данная формула приобретает вид средневзвешенной геометрической:

xN = = i, i xi где i = i/ — средний за единицу времени темп роста в i-м периоде, i i =.

Для величин типа запаса имеется еще одна форма средних темпов роста: отношение средней хронологической за период времени к средней хронологической за некоторый предыдущий период. Такую форму средних можно рассмотреть на следующем примере.

Пусть x0, x1, x2 — значение величины типа запаса в три момента времени:

на начало первого периода, конец первого периода, который одновременно является началом второго периода, конец второго периода. Оба периода времени одинаковы. Средние хронологические за первый и второй периоды времени равны, соответственно, x1 =(1 - ) x0 + x1, x2 =(1 - ) x1 + x2.

x2 x можно выразить через Темп роста средней величины типа запаса = x1 xсредние взвешенные темпов роста за каждый из двух периодов времени 1 =, x2 x2 = следующим образом:

(1 - ) x0 x = 11 + 12, где 1 =, 1 =, 2 + 1 =1, или 1 2 x1 2 x1 1 1 (1 - ) x1 x =, где 2 =, 2 =, 2 + 2 =1.

2/1 + 2/2 x2 2 x2 1 1 Таким образом, темп роста средней хронологической является средней взвешенной арифметической темпов роста за отдельные периоды, если веса рассчитываются по информации первого периода, или средней взвешенной гармонической, если веса рассчитываются по информации второго периода.

Если коэффициент, представляющий внутрипериодную динамику, различается по периодам, т.е. динамика величины в разных периодах качественно различна, то темп роста средней хронологической перестает быть средней арифметической или гармонической темпов роста по периодам, т.к. сумма весов при этих темпах роста не будет в общем случае равняться единице.

В разных ситуациях средние темпы роста могут рассчитываться различным образом, что можно проиллюстрировать на простых примерах, взятых из финансовых расчетов.

2.2. Средние величины В финансовых расчетах аналогом темпа прироста капитала (величины типа запаса) выступает доходность на вложенный (инвестированный) капитал.

Пусть инвестированный капитал x0 в течение периода приносит доход. Тогд а капитал к концу периода становится равным x1 = x0 +, и доходность капитала за этот период определяется как x = = - 1, т.е. совпадает по форме с темпом прироста.

x0 xСредняя за период доходность в зависимости от поведения инвестора (субъекта, вложившего капитал) рассчитывается различным образом. Ниже рассматривается три возможные ситуации.

1) Если позиция инвестора пассивна, и он не реинвестирует полученные доходы в течение данного периода времени, то средняя доходность в единицу времени определяется простейшим способом:

=.

x Фактически это — средняя арифметическая простая, т.к. является общей доxходностью за период времени. Такой способ расчета средней доходности наиболее распространен.

Эта формула используется и при < 1. Так, обычно доходности за разные периоды времени приводятся к среднегодовым, т.е. единицей времени является год. Пусть речь идет, например, о трехмесячном депозите. Тогда = 0.25, и среднегодовая доходность получается умножением на 4 доходности за 3 месяца.

x 2) Пусть доходность в единицу времени в течение рассматриваемого периода времени не меняется, но доходы полностью реинвестируются в начале каждой единицы времени. Тогда за каждую единицу времени капитал возрастает в 1+ раз, и для нахождения используется формула:

1+ = 1+, т.е. = 1+ - 1.

x0 xЭта формула справедлива при целых положительных. Действительно (предполагается, что начало периода инвестирования имеет на оси времени целую координату), если <1, ситуация аналогична предыдущей, в которой используется формула простой средней арифметической. Если не целое, то такая же проблема возникает для последней, неполной единицы времени в данном периоде.

Естественно предположить, что <1, тогд а 1+ > 1+ (что следует из раз ложения показательной функции в степенной ряд) и >.

xЭто соотношение лучше интерпретировать «в обратном порядке»: если по усло виям инвестиционного контракта фиксирована и допускается реинвестирование 64 Глава 2. Описательная статистика доходов в течение периода, чем пользуется инвестор, то фактическая доходность на инвестированный капитал будет выше объявленной в контракте.

3) Пусть в течение данного периода времени доходы реинвестируются n раз через равные промежутки времени. Тогда для справедлива следующая формула:

n 1+ = 1+ x0 n (она совпадает с предыдущей в случае n = ).

Теоретически можно представить ситуацию непрерывного реинвестирования, когда n. В таком случае n = ln 1+, поскольку lim 1+ = e.

n x0 n В соответствии с введенной ранее терминологией, это — непрерывный темп прироста в единицу времени. Данную формулу можно использовать при любом (естественно, положительном).

Понятно, что средние доходности в единицу времени, полученные в рассмотренных трех случаях, находятся в следующем соотношении друг с другом:

1 > 1+ - 1 > ln 1+.

x0 x0 xпассивное дискретное непрерывное поведение реинвестирование реинвестирование Это соотношение при интерпретации в «обратном порядке» означает, что чем чаще реинвестируется доход, тем выше фактическая доходность на первоначальный капитал. В финансовых расчетах для приведения доходностей к разным единицам времени используется 1-я формула.

Теперь рассматривается общий случай с N +1 моментом времени и расчетом средней доходности за N подпериодов.

1) Если позиция инвестора пассивна в течение всего периода времени, то средняя доходность в i-м подпериоде и в целом за период равны:

1 i i =, =, i x0 xN где i = xi - xi-1, = i = xN - x0 ( и i определены выше). Средняя i=доходность в целом за период удовлетворяет формуле средней взвешенной арифметической:

i = ii, где i =.

2.2. Средние величины 2) Пусть теперь доходы реинвестируются в начале каждого подпериода времени.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.