WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 76 | 77 || 79 | 80 |   ...   | 82 |

692 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики Сумма матриц A и B (m n): C = A + B = {aij + bij}, C (m n).

n Произведение матриц A (m n) и B (n k): C = AB = aitbtj, t=C (m k).

Скалярное произведение вектор-столбцов a (m 1) и b (m 1):

m a b = aibi.

i= Квадратичная форма вектор-столбца x (m 1) иматрицы A (m m):

m m x Ax = aijxixj.

i=1 j= Произведение матрицы A (m n) на скаляр : B = A = {aij}, B (m n).

Транспонирование матрицы A (m n): B = A = {aji}, B (n m).

m Следматрицы A (m m): tr (A) = aii.

i= Рангом (rank(A)) матрицы A называется количество линейно независимых столбцов (равное количеству линейно независимых строк). Матрица A (m n) имеет полный ранг по столбцам, если rank(A) = n. Матрица A (m n) имеет полный ранг по строкам, если rank(A) =m.

Матрица A (m m) называется невырожденной (неособенной), если rank(A) =m. В противном случае она называется вырожденной.

Матрица A (m m) называется диагональной, если aij = 0 при i = j. Для диагональной матрицы используется обозначение A = =diag(a11,..., amm).

1 0 · · · 0 1 · · · Матрица Im = diag(1,..., 1) = (m m) называется...

.

....

.

...

0 0 · · · единичной.

Матрица A (m m) называется симметричной (симметрической), если A = A.

A.1. Матричная алгебра Матрица A (m m) называется верхней треугольной, если aij = при i >j. Матрица A (mm) называется нижней треугольной, если aij =при i

Матрица A-1 (mm) называется обратной матрицей к матрице A (mm), если AA-1 = A-1A = Im.

Матрица A (m m) называется идемпотентной, если AA = A2 = A.

Векторы-столбцы a (m 1) и b (m 1) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: a b =0.

Матрица A (mn), где m n, называется ортогональной, если ее столбцы ортогональны, т.е. A A = In.

Матрица A (m m) называется положительно определенной, если для любого вектор-столбца x =0 (m 1) выполняется x Ax > 0. Матрица A (m m) называется отрицательно определенной, если для любого векторстолбца x =0 (m 1) выполняется x Ax < 0.

Матрица A (m m) называется положительно полуопределенной (неотрицательно определенной), если для любого вектора-столбца x (m 1) выполняется x Ax 0. Матрица A (m m) называется отрицательно полуопределенной (неположительно определенной), если для любого векторастолбца x (m 1) выполняется x Ax 0.

Определителем матрицы A (m m) называется m |A| =det(A) = aij(-1)i+j |Aij|, j=где i — номер любой строки, а матрицы Aij ((m - 1) (m - 1)) получены из матрицы A путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Для матрицы A (m m) уравнение |A - Im| =0 называется характеристическим уравнением. Решение этого уравнения называется собственным числом (собственным значением) матрицы A. Вектор x =0 (m 1) назы вается собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу, если (A - Im) x =0.

694 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики Прямое произведение (произведение Кронекера) матриц A (m n) и B (p q) это матрица C (mp nq):

a11B a12B · · · a1nB a21B a22B · · · a2nB C = A B =.

...

.

....

.

...

am1B am2B · · · amnB A.1.2. Свойства матриц Сложение матриц • A + B = B + A (коммутативность).

• (A + B) +C = A +(B + C) (ассоциативность).

Произведение матриц • В общем случае AB = BA (свойство коммутативности не выполнено).

• (AB) C = A (BC) (ассоциативность).

• A (B + C) =AB + AC (A + B) C = AC + BC (дистрибутивность).

• AIm = ImA = A для матрицы A (m m).

A B E F AE + BG AF + BH • =.

C D G H CE + DG CF + DH Ранг • Для матрицы A (m n) выполнено rank(A) min{m, n}.

• rank(AB) min {rank(A), rank(B)}.

• Если матрица B (m m) является невырожденной, то для матрицы A (m n) выполнено rank(A) = rank(BA). Если матрица B (n n) является невырожденной, то для матрицы A (m n) выполнено rank(A) = =rank(AB).

• rank(A A) =rank(AA ) =rank(A).

A.1. Матричная алгебра Cлед • tr (A + B) =tr (A) +tr (B).

• tr (A) = · tr (A).

• tr (A) =tr (A ).

• tr (AB) =tr (BA).

• tr (ABC) =tr (CAB) =tr (BCA).

m n • tr (A A) =tr (AA ) = a2.

ij i=1 j=• tr (Im) =m.

• tr A(A A)-1A = n, где матрица A (m n) имеет полный ранг по столбцам, т.е. rank(A) =n.

A B • tr =tr (A) +tr (D), гд е A и D — квадратные матрицы.

C D Транспонирование • (A + B) = A + B.

• (AB) = B A.

Определитель • Для матрицы A (2 2): |A| = a11a22 - a12a21.

• |A| |B| = |AB|.

• |I| =1.

• |A| = m |A| для матрицы A (m m).

• |A | = |A|.

• A-1 =.

|A| 696 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики • Если матрица A (m m) является треугольной (например, диагональной), m то |A| = aii.

i=• |I + AB| = |I + BA|.

• A + BD-1C |D| = D + CA-1B |A|.

• |A + xy | = |A| (1 + y Ax) для матрицы A (m m) и вектор-столбцов x, y (m 1).

A • = |A| |B|, гд е A и B — квадратные матрицы.

0 B A B • = A - BD-1C |D| = D - CA-1B |A|, гд е A и D — квад C D ратные невырожденные матрицы.

• Матрица A (mm) является невырожденной (rank(A) =m) тогда и только тогда, когда |A| =0.

Обращение • Если обратная матрица существует, то она единственна (в частности, левая и правая обратные матрицы совпадают).

• Матрица A (m m) имеет обратную A-1 тогда и только тогда, когда она является невырожденной, т.е. rank(A) =m.

• Матрица A (m m) имеет обратную A-1 тогда и только тогда, когда |A| = =0.

• Обозначим через aij элементы обратной матрицы A-1. Тогд а (-1)i+j|Aji| aij =, гд е Aji ((m-1)(m-1)) получены из матрицы A путем |A| вычеркивания j-й строки и i-го столбца.

Во всех приводимых ниже формулах предполагается, что существуют обратные матрицы там, где это требуется.

A.1. Матричная алгебра • Для матрицы A (2 2):

a22 -a21 a22 -a1 A-1 = =.

|A| a11a22 - a12a-a12 a11 -a12 a• Ax = y, x = A-1y.

• (AB)-1 = B-1A-1.

-• A-1 = A.

• (A )-1 = A-1.

• Если A (m m) — ортогональная матрица, то A = A-1.

• Для диагональной матрицы A =diag(a11,..., amm) выполнено:

A-1 =diag(1/a11,..., 1/amm).

-• (A + B)-1 = A-1 A-1 + B-1 B-1.

-• A + BD-1C = A-1 - A-1B(D + CA-1B)-1CA-1.

• (I + AB)-1 = I - A(I + BA)-1B.

- A 0 A-1 • =, гд е A и B — квадратные матрицы.

0 B 0 B- - A B (A - BD-1C)-1 -A-1B(D - CA-1B)- • =, C D -D-1C(A - BD-1C)-1 (D - CA-1B)-где A и D — квадратные матрицы.

Положительно определенные матрицы • Если матрица A положительно определенная, то |A| > 0. Если матрица A положительно полуопределенная, то |A| 0.

• Если матрица A положительно (полу-)определенная, то матрица -A отрицательно (полу-)определенная.

698 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики • Если матрица A положительно определенная, то обратная матрица A-также положительно определенная.

• Если матрицы A и B положительно (полу-)определенные, то матрицы A + B и AB также положительно (полу-)определенные.

• Если матрица A положительно определенная, а B положительно полуопределенная, то |A + B| |A|. Если B положительно определенная, то |A + B| > |A|.

• Матрицы A A и A BA (n n) являются симметричными положительно полуопределенными для любой матрицы A (m n) и симметричной положительно полуопределенной матрицы B (m m).

• Если матрица A (m n) имеет полный ранг по столбцам, то матрица A A (n n) симметричная положительно определенная. Если матрица B (m m) симметричная положительно определенная, то матрица A BA (n n) симметричная положительно определенная.

• Если матрица A (m m) положительно полуопределенная, то существует верхняя треугольная матрица U (m m), такая что A = U U. Также существует нижняя треугольная матрица L (m m), такая что A = L L. Такое представление матрицы называется разложением Холецкого (триангуляризацией).

Идемпотентные матрицы • Если матрица A идемпотентная, то матрица I - A тоже идемпотентная, причем A(I - A) =0.

• Если матрица A симметричная и идемпотентная, то rank(A) =tr (A).

• Матрицы A (A A)-1 A и Im - A (A A)-1 A являются симметричными и идемпотентными для любой матрицы A (m n), имеющей полный ранг по столбцам. При этом tr A (A A)-1 A = n и tr Im - A (A A)-1 A = = m - n.

Собственные числа и векторы • Для матрицы A (m m) |A - Im| является многочленом m-й степени (характеристическим многочленом) и имеет m корней, 1,..., m, в общем случае комплексных, среди которых могут быть кратные. По определению, 1,..., m являются собственными числами матрицы A.

A.1. Матричная алгебра • У матрицы A (m m) существует не больше m различных собственных чисел.

• Если x — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу, то для любого скаляра = 0, x — тоже собственный вектор, соответствующий собственному числу.

m • Если 1,..., m — собственные числа матрицы A, то tr(A) = i, i=m |A| = i.

i=• Если матрица A идемпотентная, то все ее собственные числа равны 0 или 1.

• Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.

• Если x и y — собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие двум различным собственным числам, то они ортогональны: x y =0.

• Если матрица A (m m) является вещественной и симметричной, то существуют матрицы H и, где H (m m) — ортогональная матрица (H = H-1), столбцы которой — собственные векторы матрицы A, а (m m) — диагональная матрица, состоящая из соответствующих собственных чисел матрицы A, такие что выполнено A = HH.

• Если матрица A (m m) является вещественной, симметричной, невырожденной, то A-1 = H-1H.

• Вещественная симметричная матрица является положительно полуопределенной (определенной) тогда и только тогда, когда все ее собственные числа неотрицательны (положительны). Вещественная симметричная матрица является отрицательно полуопределенной (определенной) тогда и только тогда, когда все ее собственные числа неположительны (отрицательны).

• Если матрица A (m m) является вещественной, симметричной и положительно полуопределенной, то A = B B = B2,где B = H1/2 H (m m) — вещественная, симметричная и положительно полуопределенная матрица;

/1/2 =diag{g }.

• Пусть 1 · · · m — собственные числа вещественной симметричной матрицы A (m m). Тогда собственый вектор x1, соответствующий 700 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики наименьшему собственому числу 1, является решением задачи x Ax min! x x x =1.

• Пусть 1 · · · m — собственные числа вещественной симметричной x Ax x Ax матрицы A (m m). Тогда m =max и 1 =min.

x x x x x x Произведение Кронекера • A (B + C) =A B + A C и (A + B) C = A C + B C.

• A (B C) =(A B) C.

• A = · A = A.

• (A B) = A B.

• (A B)(C D) =(AC) (BD).

• (A B)-1 = A-1 B-1.

• |A B| = |A|n |B|m для матриц A (m m) и B (n n).

• tr (A B) =tr (A) · tr (B).

• rank(A B) =rank(A) · rank(B).

A.2. Матричное дифференцирование A.2.1. Определения Производной скалярной функции s(x) по вектор-столбцу x (n 1) или, другими словами, градиентом является вектор-столбец (n 1) s x s.

.

=.

.

x s xn A.2. Матричное дифференцирование Производной скалярной функции s(x) по вектор-строке x (1 n) является вектор-строка (1 n) s s s =,...,.

x x1 xn Производной векторной функции y(x) (n 1) по вектору x (1 m) или, другими словами, матрицей Якоби является матрица (n m) y yi =.

i=1, x xj j=1,..., n..., m • Производной векторной функции y(x) (1n) по вектору x (m1)является матрица (m n) y yj =.

i=1,..., m x xi j=1,..., n Производной скалярной функции s(A) по матрице A (m n) является матрица (m n) s s =.

i=1,..., m A aij j=1,..., n Производной матричной функции A(s) по скаляру s является матрица (m n) A aij =.

i=1,..., m s s j=1,..., n Второй производной скалярной функции s(x) по вектору-столбцу x (n 1) или, другими словами, матрицей Гессе является матрица (n n) 2s 2s =.

i=1,..., m xx xixj j=1,..., n A.2.2. Свойства x x • = I и = I.

x x Ax x A • = A и = A.

x x 702 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики x y y x • = = y.

x x x x • =2x.

x x Ay x Ay • = Ay и = x A.

x y x Ax • =(A + A )x.

x x Ax Для симметричной матрицы A: =2Ax =2A x.

x x Ay • = xy.

A x A-1y • =(A )-1 xy (A )-1.

A tr (A) • = I.

A tr (AB) tr (AB) • = B и = A.

A B tr (A A) • =2A.

A tr (A BA) • =(B + B ) A.

A tr (A BA) • = AA.

B |A| • = |A| (A )-1.

A ln |A| • =(A )-1.

A ln |A BA| • = BA (A BA)-1 + B A (A B A)-1.

A (AB) B A • = A + B.

s s s A-1 A • = -A-1 A-1.

s s A.3. Сведения из теории вероятностей и математической статистики ds (A) s dA s dA • =tr =tr.

dt A dt A dt tr (A) A • =tr.

s s ln |A| A • =tr A-1.

s s dy (x) y dx • =.

ds x ds A.3. Сведения из теории вероятностей и математической статистики A.3.1. Характеристики случайных величин Определения • Функцией распределения случайной величины x называется функция Fx(z) =Pr(x z), сопоставляющая числу z вероятность того, что x не превышает z. Функция распределения полностью характеризует отдельную случайную величину.

• Если случайная величина x непрерывна, то она имеет плотность fx(·), ко торая связана с функцией распределения соотношениями fx(z) =Fx(z).

• Квантилью уровня F, гд е F [0; 1], (F -квантилью) непрерывной случайной величины x называется число xF, такоечто xF Fx(xF ) = fx(t)dt = F.

• Медианой x0,5 называется 0, 5-квантиль.

• Модой непрерывной случайной величины называется величина, при которой x плотность распределения достигает максимума, т.е. =arg max fx(z).

z • Если распределение непрерывной случайной величины x симметрично относительно нуля, т.е. fx(z) =fx(-z) и Fx(-xF ) =1 - Fx(xF ), то двусторонней F -квантилью называется число xF, такоечто xF Fx(xF ) - Fx(-xF ) = fx(t)dt = F.

-xF 704 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики • Математическим ожиданием непрерывной случайной величины x называ + ется E(x) = tfx(t)dt.

• Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Начальным (нецентральным) моментом q-го порядка называется + E(xq) = tqfx(t)dt.

• По случайной величине x может быть построена соответствующая ей центрированная величина x : x = x - E(x), имеющая аналогичные законы распределения и нулевое математическое ожидание.

Pages:     | 1 |   ...   | 76 | 77 || 79 | 80 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.