WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 75 | 76 || 78 | 79 |   ...   | 82 |
Fisher, “Chickens, Eggs, and Causality”, American Journal of Agricultural Economics 70 (1988), p. 237–238.) куры яйца куры яйца 1930 468491 3581 1957 391363 1931 449743 3532 1958 374281 1932 436815 3327 1959 387002 1933 444523 3255 1960 369484 1934 433937 3156 1961 366082 1935 389958 3081 1962 377392 1936 403446 3166 1963 375575 1937 423921 3443 1964 382262 1938 389624 3424 1965 394118 1939 418591 3561 1966 393019 1940 438288 3640 1967 428746 1941 422841 3840 1968 425158 1942 476935 4456 1969 422096 1943 542047 5000 1970 433280 1944 582197 5366 1971 421763 1945 516497 5154 1972 404191 1946 523227 5130 1973 408769 1947 467217 5077 1974 394101 1948 499644 5032 1975 379754 1949 430876 5148 1976 378361 1950 456549 5404 1977 386518 1951 430988 5322 1978 396933 1952 426555 5323 1979 400585 1953 398156 5307 1980 392110 1954 396776 5402 1981 384838 1955 390708 5407 1982 378609 1956 383690 5500 1983 364584 23.9. Упражнения и задачи информационные критерии Акаике и Шварца. Сделайте вывод о том, являются ли ряды стационарными. Как полученный результат может повлиять на интерпретацию результатов упражнения 3.1 3.3. Проверьте с помощью методов Энгла—Грейнджера и Йохансена, коинтегрированы ли ряды. Как полученный результат может повлиять на интерпретацию результатов упражнения 3.1 Упражнение В таблице 23.5 приведены поквартальные макропоказатели по Великобритании из обзорной статьи Мускателли и Хурна: M — величина денежной массы (агрегат M1); Y — общие конечные расходы на товары и услуги (TFE) в постоянных ценах (переменная, моделирующая реальные доходы); P — дефлятор TFE (индекс цен);

R — ставка по краткосрочным казначейским векселям (переменная, соответствующая альтернативной стоимости хранения денег). Изучается связь между тремя переменными: ln M - ln P — реальная денежная масса (в логарифмах); ln Y — реальный доход (в логарифмах); R — процентная ставка.

4.1. Найдите ранг коинтеграции и коинтегрирующие вектора методом Йохансена, используя векторную модель исправления ошибок (VECM) с четырьмя разностями в правой части и с сезонными фиктивными переменными. Сделайте это при разных возможных предположениях о том, как входят в модель константа и тренд:

а) константа входит в коинтеграционное пространство, но не входит в модель исправления ошибок в виде дрейфа;

б) константа входит в коинтеграционное пространство, а также в модель исправления ошибок в виде дрейфа, так что данные содержат тренд;

в) тренд входит в коинтеграционное пространство, но данные не содержат квадратичный тренд.

4.2. С помощью тестов отношения правдоподобия определить, как должны входить в модель константа и тренд. Убедитесь в том, что случай 4.1а, который рассматривался в статье Мускателли и Хурна, отвергается тестами.

4.3. На основе найденного коинтегрирующего вектора оцените остальные коэффициенты VECM. Рассмотрите полученные коэффициенты модели и сделайте вывод о том, насколько они соответствуют экономической теории.

(Подсказка: интерпретируйте коинтегрирующую комбинацию как уравнение спроса на деньги и обратите внимания на знак при ln Y ).

684 Глава 23. Векторные авторегрессии Таблица 23.5. (Источник: Muscatelli, V.A., Hurn, S. Cointegration and Dynamic Time Series Models. Journal of Economic Surveys 6 (1992, No. 1), 1–43.) Квартал lnM R lnY lnP Квартал lnM R lnY lnP 1963–1 8.8881 0.0351 10.678 –1.635 1974–1 9.5017 0.1199 11.068 –0.1963–2 8.9156 0.0369 10.746 –1.6189 1974–2 9.5325 0.1136 11.103 –0.1963–3 8.9305 0.0372 10.752 –1.6205 1974–3 9.5584 0.1118 11.125 –0.1963–4 8.9846 0.0372 10.789 –1.6028 1974–4 9.6458 0.1096 11.139 –0.1964–1 8.9584 0.0398 10.756 –1.6045 1975–1 9.6438 0.1001 11.066 –0.1964–2 8.9693 0.0436 10.8 –1.5843 1975–2 9.6742 0.0938 11.074 –0.1964–3 8.9911 0.0462 10.802 –1.5813 1975–3 9.7275 0.1017 11.088 –0.1964–4 9.0142 0.0547 10.838 –1.5677 1975–4 9.7689 0.1112 11.124 –0.1965–1 8.9872 0.0651 10.779 –1.5557 1976–1 9.787 0.0904 11.092 –0.1965–2 9.0005 0.0612 10.818 –1.5438 1976–2 9.8141 0.1019 11.105 –0.1965–3 9.0116 0.0556 10.832 –1.5408 1976–3 9.8641 0.1126 11.134 –0.1965–4 9.0506 0.0545 10.851 –1.5272 1976–4 9.8765 0.1399 11.172 –0.1966–1 9.0394 0.0556 10.814 –1.519 1977–1 9.8815 0.112 11.112 –0.1966–2 9.0336 0.0565 10.838 –1.5037 1977–2 9.9238 0.0772 11.122 –0.1966–3 9.0438 0.0658 10.849 –1.4964 1977–3 10.001 0.0655 11.14 –0.1966–4 9.0491 0.0662 10.86 –1.4845 1977–4 10.071 0.0544 11.177 –0.1967–1 9.0388 0.06 10.841 –1.4842 1978–1 10.097 0.0597 11.143 –0.1967–2 9.055 0.053 10.874 –1.4769 1978–2 10.117 0.0949 11.165 –0.1967–3 9.0975 0.0544 10.881 –1.4726 1978–3 10.168 0.0938 11.182 –0.1967–4 9.1326 0.0657 10.9 –1.4661 1978–4 10.223 0.1191 11.203 –0.1968–1 9.1029 0.074 10.89 –1.4459 1979–1 10.222 0.1178 11.159 –0.1968–2 9.1204 0.0714 10.901 –1.4285 1979–2 10.236 0.1379 11.215 –0.1968–3 9.1351 0.0695 10.929 –1.4141 1979–3 10.274 0.1382 11.221 –0.1968–4 9.1733 0.0666 10.961 –1.4044 1979–4 10.304 0.1649 11.242 –0.1969–1 9.1182 0.0718 10.891 –1.3898 1980–1 10.274 0.1697 11.199 –0.1969–2 9.0992 0.0783 10.932 –1.3825 1980–2 10.293 0.1632 11.171 –0.1969–3 9.1157 0.0782 10.943 –1.3697 1980–3 10.294 0.1486 11.187 0.1969–4 9.1744 0.0771 10.979 –1.3573 1980–4 10.343 0.1358 11.188 0.1970–1 9.1371 0.0754 10.905 –1.3368 1981–1 10.356 0.1187 11.144 0.1970–2 9.178 0.0689 10.962 –1.3168 1981–2 10.39 0.1224 11.144 0.1970–3 9.1981 0.0683 10.971 –1.2939 1981–3 10.407 0.1572 11.191 0.1970–4 9.2643 0.0682 11.017 –1.2791 1981–4 10.506 0.1539 11.206 0.1971–1 9.2693 0.0674 10.938 –1.2585 1982–1 10.501 0.1292 11.175 0.1971–2 9.2836 0.0567 10.99 –1.2345 1982–2 10.526 0.1266 11.172 0.1971–3 9.3221 0.0539 11.01 –1.2132 1982–3 10.551 0.1012 11.193 0.1971–4 9.3679 0.0452 11.044 –1.1992 1982–4 10.613 0.0996 11.22 0.1972–1 9.3742 0.0436 10.98 –1.1853 1983–1 10.639 0.1049 11.209 0.1972–2 9.4185 0.0459 11.025 –1.1707 1983–2 10.664 0.0951 11.195 0.1972–3 9.4356 0.0597 11.02 –1.1439 1983–3 10.675 0.0917 11.244 0.1972–4 9.4951 0.0715 11.1 –1.1282 1983–4 10.719 0.0904 11.268 0.1973–1 9.4681 0.0813 11.093 –1.1044 1984–1 10.754 0.0856 11.241 0.1973–2 9.5347 0.0754 11.102 –1.0913 1984–2 10.798 0.0906 11.233 0.1973–3 9.5119 0.1025 11.117 –1.0493 1984–3 10.827 0.1024 11.268 0.1973–4 9.5445 0.1162 11.141 –1.0048 1984–4 10.862 0.0933 11.317 0.23.9. Упражнения и задачи Задачи 1. Рассмотрите приведенную форму процесса VAR(1):

0.2 0. (xt, yt) =(xt-1, yt-1) +(vxt, vyt), 0.2 где ошибки vxt, vyt не автокоррелированы и их ковариационная матрица равна 1 -0..

-0.5 4.а) Является ли процесс стационарным б) Найдите структурную форму модели (матрицу коэффициентов и ковариационную матрицу), если известно, что она является рекурсивной (yt входит в уравнение для xt, но xt не входит в уравнение для yt).

в) Найдите (матричный) долгосрочный мультипликатор.

2. Векторная регрессия с двумя переменными xt, yt задается следующими уравнениями:

xt = xt-1 + yt-1 + vt, yt = xt-1 + yt-1 + wt.

Ковариационная матрица ошибок vt, wt имеет вид:

=, где || < 1.

а) Запишите модель в матричном виде.

б) Представьте матрицу ввид е =U U, гд е U — верхняя треугольная матрица, — диагональная матрица с положительными диагональными элементами.

в) Умножьте уравнение модели справа на матрицу U. Что можно сказать о получившемся представлении модели г) Повторите задание, поменяв порядок переменных yt, xt. Сравните и сделайте выводы.

686 Глава 23. Векторные авторегрессии 3. Предположим, что темпы прироста объемов производства, yt, и денежной массы, mt, связаны следующими структурными уравнениями:

mt = mt-1 + mt, yt = mt + mt-1 + yt-1 + yt, где ошибки mt, yt не автокоррелированы, не коррелированы друг с другом, 2 а их дисперсии равны m и y, соответственно.

а) Запишите структурные уравнения в стандартном матричном виде модели SVAR.

б) Запишите модель в приведенной форме.

в) Какой вид имеет функция реакции на импульсы для монетарных шоков mt и шоков производительности yt Как эта функция связана с представлением модели в виде бесконечного скользящего среднего (разложением Вольда) г) Найдите (матричный) долгосрочный мультипликатор.

4. Рассмотрите двумерную векторную авторегрессию первого порядка:

11 (x1t, x2t) =(x1, t-1, x2, t-1) +(v1t, v2t), 21 где ошибки v1t, v2t являются белым шумом и независимы между собой.

а) При каких параметрах модель является рекурсивной Объясните.

б) При каких параметрах x1t и x2t представляют собой два независимых случайных блуждания Объясните.

в) Известно, что x1t не является причиной x2t в смысле Грейнджера.

Какие ограничения этот факт накладывает на параметры 5. Рассмотрите авторегрессию второго порядка: xt = 1xt-1 + 2xt-2 + t, гд е ошибка t представляет собой белый шум.

а) Обозначьте xt-1 = yt и запишите данную модель в виде векторной авторегрессии первого порядка для переменных xt и yt.

б) Чему равна ковариационная матрица одновременных ошибок в получившейся векторной авторегрессии в) Сопоставьте условия стационарности исходной модели AR(2) и полученной модели VAR(1).

23.9. Упражнения и задачи 6. Представьте векторную авторегрессию второго порядка в виде векторной авторегрессии первого порядка (с расшифровкой обозначений).

7. Рассмотрите двумерную модель VAR(1):

(x1t, x2t) =(x1, t-1, x2, t-1) + vt, где = 2.

а) Найдите корни характеристического многочлена, соответствующего этой модели. Является ли процесс стационарным б) Найдите собственные числа матрицы. Как они связаны с корнями характеристического многочлена, найденными в пункте (a) 8. Рассмотрите векторную авторегрессию первого порядка:

11 (x1t, x2t) =(x1, t-1, x2, t-1) +(v1t, v2t).

21 При каких параметрах процесс является стационарным:

а) 11 =1, 12 =0.5, 21 =0, 22 =1;

б) 11 =0.3, 12 =0.1, 21 = -0.1, 22 =0.5;

в) 11 =2, 12 =0, 21 =1, 22 =0.5;

г) 11 =0.5, 12 = -1, 21 =1, 22 =0.5;

д) 11 =0.5, 12 = -1, 21 =1, 22 =0.5;

е) 11 =0.3, 12 = -0.2, 21 =0.2, 22 =0.3 Аргументируйте свой ответ.

9. В стране чудес динамика темпа прироста ВВП, yt, темпа прироста денежной массы M2, mt, и ставки процента, rt, описывается следующей моделью 688 Глава 23. Векторные авторегрессии VAR(2):

0.7 0 0. (yt, mt, rt) =(2, 1, 0) + (yt-1, mt-1, rt-1) + 0.1 0.4 0 0.1 0. -0.2 0 +(yt-2, mt-2, rt-2) +(vyt, vmt, vrt), 0 0.1 0 0.1 где ошибки vyt, vmt, vrt представляют собой белый шум.

а) Покажите, что все три переменные являются стационарными.

б) Найдите безусловные математические ожидания этих переменных.

в) Запишите модель в виде векторной модели исправления ошибок.

10. Опишите поэтапно возможную процедуру построения прогнозов для векторной авторегрессии. Необходимо ли для построения прогноза знать ограничения, накладываемые структурной формой (Объясните.) На каком этапе построения прогноза можно было бы учесть структурные ограничения 11. Объясните различие между структурной и приведенной формой векторной авторегрессии. В чем причина того, что разложение дисперсии ошибки прогноза основывают на структурной форме, а не на приведенной форме 12. Рассмотрите векторный процесс (xt, yt):

xt = xt-1 + t, yt = xt + yt-1 + t ( =0, || < 1).

а) Покажите, что xt и yt являются коинтегрированными CI(1, 0). Укажите ранг коинтеграции и общий вид коинтегрирующих векторов.

б) Запишите процесс в виде векторной модели исправления ошибок. Укажите соответствующую матрицу корректирующих коэффициентов и матрицу коинтегрирующих векторов.

13. Пусть в векторной модели исправления ошибок константа входит в коинтеграционное пространство. Какие ограничения это налагает на параметры модели 23.9. Упражнения и задачи 14. На примере векторной авторегрессии первого порядка с двумя переменными, коинтегрированными как CI(1, 0), покажите, что наличие константы (дрейфа) в коинтеграционном пространстве означает, что переменные содержат линейный тренд.

15. Пусть в векторной модели исправления ошибок p- xt = xt-1+ xt-jj + vt j= 1 6 матрица =.

2 4 3 2 Найдите ранг коинтеграции, матрицу коинтегрирующих векторов и матрицу корректирующих коэффициентов.

16. Объясните, почему процедура Йохансена позволяет не проверять переменные на наличие единичных корней.

17. Пусть в векторной модели исправления ошибок p- xt = xt-1+ xt-jj + vt j=коинтегрирующие векторы равны (1; -1; 0) и (1; 1; 1), а матрица корректирующих коэффициентов равна 1 =.

0 0 -Найдите матрицу.

Рекомендуемая литература 1. Amisano Gianni, Carlo Giannini. Topics in Structural VAR Econometrics, 2nd ed. — Springer, 1997.

690 Глава 23. Векторные авторегрессии 2. Banerjee A., J.J. Dolado, J.W. Galbraith and D.F. Hendry, Co-integration, Error Correction and the Econometric Analysis of Non-stationary Data. — Oxford University Press, 1993. (Ch. 5, 8.) 3. Canova F. «VAR Models: Specification, Estimation, Inference and Forecasting» in H. Pesaran and M. Wickens (eds.) Handbook of Applied Econometrics. — Basil Blackwell, 1994.

4. Granger C. W. J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods. // Econometrica, 37 (1969), 424–438.

5. Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (Ch. 17, 18).

6. Hamilton, J. D. Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994. (Ch.

10, 11).

7. Johansen S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models. // Econometrica, 59 (1991), 1551–1580.

8. Lutkepohl Helmut. Introduction to Multiple Time Series Analysis, second edition. — Berlin: Springer, 1993. (Ch. 2, 10, 11).

9. Muscatelli V.A. and Hurn S. Cointegration and dynamic time series models. // Journal of Economic Surveys, 6 (1992), 1–43.

10. Sims C. A. Macroeconomics and Reality. // Econometrica, 48 (1980), 1–48.

11. Stock J.H. and Watson M.W. Testing for Common Trends. // Journal of the American Statistical Association, 83 (1988), 1097–1107.

12. Watson Mark W. Vector Autoregressions and Cointegration. // Handbook of Econometrics, Vol. IV. Robert Engle and Daniel McFadden, eds. Elsevier, 1994, 2844–2915.

13. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists. — Cambridge University Press, 1990. (Ch. 14).

14. Mills Terence C. The Econometric Financial Modelling Time Series. — Cambridge University Press, 1999. (Ch. 7, 8).

Приложение A Вспомогательные сведения из высшей математики A.1. Матричная алгебра A.1.1. Определения x.

.

x = {xi}i=1,..., n = называется вектор-столбцом размерности n.

.

xn x =(x1,,..., xn) называется вектор-строкой размерности n.

a11 a12... a1n a21 a22... a2n A = {aij} = i=1,..., m...

j=1,..., n...

...

am1 am2... amn называется матрицей размерности m n.

Pages:     | 1 |   ...   | 75 | 76 || 78 | 79 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.