WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 74 | 75 || 77 | 78 |   ...   | 82 |

Обозначим максимальное значение функции правдоподобия, полученное в предположении, что ранг равен r, через Lr. Тогда статистика отношения правдоподобия равна (см. раздел 18.3.3):

LR(r0, ra) =2(ln Lra - ln Lr0).

Подставив в функцию правдоподобия полученные оценки, можно вывести следующее выражение для максимального значения логарифма функции правдоподобия (с точностью до константы):

r T ln Lr = - ln(1 - i) +const.

i=Поэтому ra LR(r0, ra) =-T ln(1 - i).

i=r0+Особенно полезны с точки зрения поиска коинтеграционного ранга два частных случая статистики отношения правдоподобия.

Статистика следа используется для проверки нулевой гипотезы о том, что ранг коинтеграции равен r, против альтернативной гипотезы о том, что ранг равен k (количеству переменных). Статистика имеет вид:

k LRtrace = LR(r, k) =-T ln(1 - i).

i=r+674 Глава 23. Векторные авторегрессии Проверка гипотез проводится последовательно для r = k - 1,..., 0 и заканчивается, когда в первый раз не удается отклонить нулевую гипотезу. Можно проводить проверку гипотез и в обратном порядке r =0,..., k- 1. В этом случае она заканчивается, когда нулевая гипотеза будет отвергнута в первый раз.

Можно также использовать статистику максимального собственного значения, которая используется для проверки нулевой гипотезы о том, что ранг равен r, против альтернативной гипотезы о том, что ранг равен r +1. Эта статистика равна:

LR-max = LR(r, r +1) =- ln(1 - r+1).

Обе статистики имеют нестандартные асимптотические распределения. Эти асимптотические распределения не зависят от мешающих параметров, а зависят только от k-r, и от того, как входят в модель константа и тренд (см. перечисленные на стр. 668 пять основных случаев).

Методом Монте-Карло получены таблицы LRtrace и LR-max для всех пяти случаев и нескольких значений k - r (на данный момент имеются таблицы для k - r = 1,..., 12). Также в последние годы разрабатываются различного рода аппроксимации для этих нестандартных распределений.

Как и в случае критерия ADF (см. п. 17.4), очень важным вопросом является выбор длины лага p (порядка авторегрессии). Способы, по сути дела, являются теми же самыми. Для проверки гипотез о длине лага можно использовать критерий отношения правдоподобия, который в данном случае имеет обычное распределение 2. Если процесс состоит из k компонент, и проверяется гипотеза о том, что следует увеличить p на единицу, то количество степеней свободы соответствующей статистики равно k. Важно также, чтобы в выбранной модели отсутствовала автокорреляция остатков, поскольку это одно из предположений модели.

Метод Йохансена можно использовать также для оценивания моделей с линейными ограничениями на матрицу коинтегрирующих векторов или на матрицу корректирующих коэффициентов. Для проверки таких ограничений удобно использовать все тот же тест отношения правдоподобия, который здесь имеет обычное асимптотическое распределение 2.

23.8. Коинтеграция и общие тренды Рассмотрим модель VAR(1) с интегрированными переменными и ее представление в виде модели исправления ошибок:

xt = xt-1 + vt. (23.7) Поскольку матрица состоит из коинтегрирующих векторов, то отклонения от равновесия xt являются I(0), и для них существует разложение Вольда. Выведем 23.8. Коинтеграция и общие тренды его. Для этого сначала умножим уравнение модели на :

xt = xt-1 + vt, откуда:

xt = xt-1( + I) +vt.

Имеем для стационарного вектора xt авторегрессию, из которой можем представить xt в виде бесконечного скользящего среднего (разложение Вольда):

xt = vt-i( + I)i.

i=Подставив это выражение в исходную модель (23.7), получим также разложение Вольда для приростов xt:

xt = vt-i( + I)i-1 + vt, i=или xt = vt-iCi = vtC(L), i=где мы ввели обозначения Ci для матричных коэффициентов скользящего среднего. Несложно подсчитать, пользуясь формулой бесконечной геометрической прогрессии, что соответствующий долгосрочный мультипликатор равен C(1) = I - ( )-1. (23.8) Обозначим Ci = - Ci и C(L) = Ci Li. При этом выполнено следующее j=i+1 i=разложение для C(L):

C(L) =C(L) +C(1).

Кроме того, можно показать, что C(L) соответствует стационарному процессу.

Все это позволяет разделить процесс xt на сумму двух составляющих:

xt =vtC(L) +vtC(1).

Следовательно, xt можно представить следующим образом:

xt = vtC(L) +vt C(1), (23.9) 676 Глава 23. Векторные авторегрессии где vt — это векторный процесс случайного блуждания, построенный на основе vt (проинтегрированный vt): vt =vt.

Первое слагаемое в разложении xt (23.9) стационарно, а второе представляет собой линейную комбинацию процессов I(1).

Если воспользоваться тождеством I = ( )-1 + ( )-1, где и —это (k - r) k матрицы полного ранга, такие что = и =0, то матрицу C(1), опираясь на (23.8), можно представить как C(1) = ( )-1.

Таким образом, процесс xt можно представить в виде6:

xt = vtC(L) +vt ( )-1.

Элементы вектора vt являются общими стохастическими трендами. Отсюда видно, что k-мерный VAR-процесс с рангом коинтеграции r можно выразить через k - r линейно независимых общих трендов. Матрица ( )-1 содержит коэффициенты («нагрузки») этих общих трендов.

Представление через общие тренды служит основой для еще одного метода оценивания коинтеграционных регрессий — метода Стока—Уотсона.

23.9. Упражнения и задачи Упражнение В таблице 23.2 приведены данные о потребительских расходах C и доходах Y в США в млрд. долл., очищенные от сезонности.

1.1. Нарисуйте график потребления и доходов. Что можно сказать об этих рядах по графикам 1.2. Создайте первые разности логарифмов для обоих рядов. Нарисуйте график и сделайте выводы.

1.3. Предположим, что существует структурная зависимость между потреблением и доходами. А именно, потребление C зависит от текущих доходов и, вследствие привычек, от лагов потребления:

Ct = 1 + 2Yt + 3Ct-1 + C.

t Это так называемое разбиение на цикл и тренд Бевериджа—Нельсона (см. п. 17.2).

23.9. Упражнения и задачи Таблица 23.2. (Источник: Temple University Department of Economics Econometrics II Multivariate Time Series;

) Квартал C Y Квартал C Y Квартал C 1947.1 192.5 202.3 1952.1 220 231.1 1957.1 268.9 291.1947.2 196.1 197.1 1952.2 227.7 240.9 1957.2 270.4 294.1947.3 196.9 202.9 1952.3 223.8 245.8 1957.3 273.4 296.1947.4 197 202.2 1952.4 230.2 248.8 1957.4 272.1 293.1948.1 198.1 203.5 1953.1 234 253.3 1958.1 268.9 291.1948.2 199 211.7 1953.2 236.2 256.1 1958.2 270.9 292.1948.3 199.4 215.3 1953.3 236 255.9 1958.3 274.4 299.1948.4 200.6 215.1 1953.4 234.1 255.9 1958.4 278.7 302.1949.1 199.9 212.9 1954.1 233.4 254.4 1959.1 283.8 305.1949.2 203.6 213.9 1954.2 236.4 254.8 1959.2 289.7 312.1949.3 204.8 214 1954.3 239 257 1959.3 290.8 311.1949.4 209 214.9 1954.4 243.2 260.9 1959.4 292.8 313.1950.1 210.7 228 1955.1 248.7 263 1960.1 295.4 315.1950.2 214.2 227.3 1955.2 253.7 271.5 1960.2 299.5 320.1950.3 225.6 232 1955.3 259.9 276.5 1960.3 298.6 1950.4 217 236.1 1955.4 261.8 281.4 1960.4 299.6 320.1951.1 223.3 230.9 1956.1 263.2 1951.2 214.5 236.3 1956.2 263.7 286.1951.3 217.5 239.1 1956.3 263.4 287.1951.4 219.8 240.8 1956.4 266.9 В свою очередь, текущие доходы зависят от лагов доходов (из-за инерции) и от лагов потребления (по принципу мультипликатора):

Yt = 1 + 2Yt-1 + 3Ct-1 + Y.

t Оцените параметры структурной формы модели при помощи МНК по исходным данным. Затем проделайте то же самое, используя преобразованные данные из пункта 1.2 (разности логарифмов). Объясните, имеют ли два полученных набора оценок одинаковый смысл. Какие оценки предпочтительнее ипочему 1.4. Перепишите модель в приведенной форме. Укажите взаимосвязь между коэффициентами структурной и приведенной форм. Оцените приведенную форму модели по исходным данным и по преобразованным данным. Какие оценки предпочтительнее и почему 678 Глава 23. Векторные авторегрессии 1.5. Добавьте еще по одному лагу в оба уравнения приведенной формы. Оцените коэффициенты по исходным данным и по преобразованным данным и проведите тесты причинности по Грейнджеру. Что можно сказать о направлении причинности по полученным результатам 1.6. Проверьте ряды на наличие единичных корней, используя тест Дики— Фуллера.

1.7. Примените к исходным данным и к логарифмам исходных данных метод Йохансена, используя в модели 4 лага разностей.

Упражнение В таблице 23.3 даны макроэкономические показатели по США (поквартальные данные получены на основе помесячных данных): Infl — темп инфляции, рассчитанный по формуле: 400(ln(CPIt) - ln(CPIt-1)), где CPI — индекс потребительских цен, т.е. логарифмический темп прироста цен в процентах из расчета за год;

UnRate — уровень безработицы (процент населения); FedFunds — эффективная процентная ставка по межбанковским краткосрочным кредитам овернайт (в процентах годовых).

2.1. Оцените параметры векторной авторегрессии 4-го порядка, предполагая, что текущая инфляция влияет на текущую безработицу и процентную ставку, а текущая безработица влияет на текущую процентную ставку (рекурсивная система).

2.2. Оцените модель в приведенной форме, пропуская последнее наблюдение, и получите точечный прогноз на один период. Сравните прогнозы с фактическими значениями.

Упражнение В таблице 23.4 приведены данные из статьи Турмана и Фишера, посвященной вопросу о том, что первично — куры или яйца. Это годовые данные по США за 1930–1983 гг. о производстве яиц в миллионах дюжин и о поголовье кур (исключая бройлерные).

3.1. Проведите тест причинности по Грейнджеру между двумя рядами. Сделайте выводы относительно направления причинности.

3.2. Для каждого ряда проведите тест Дики—Фуллера на наличие единичных корней, используя лаги от 0 до 12. Выберите нужную длину лага, используя 23.9. Упражнения и задачи Таблица 23.3. (Источник: The Federal Reserve Bank of St. Louis, database FRED II, ) Квартал Infl UnRate FedFunds Квартал Infl UnRate FedFunds 1954–3 –1.490 5.967 1.027 1962–4 0.000 5.533 2.1954–4 0.000 5.333 0.987 1963–1 1.314 5.767 2.1955–1 0.000 4.733 1.343 1963–2 1.309 5.733 2.1955–2 –1.495 4.400 1.500 1963–3 1.305 5.500 3.1955–3 2.985 4.100 1.940 1963–4 2.597 5.567 3.1955–4 0.000 4.233 2.357 1964–1 0.000 5.467 3.1956–1 0.000 4.033 2.483 1964–2 1.292 5.200 3.1956–2 4.436 4.200 2.693 1964–3 1.288 5.000 3.1956–3 2.930 4.133 2.810 1964–4 2.564 4.967 3.1956–4 2.909 4.133 2.927 1965–1 0.000 4.900 3.1957–1 4.324 3.933 2.933 1965–2 3.816 4.667 4.1957–2 2.857 4.100 3.000 1965–3 0.000 4.367 4.1957–3 2.837 4.233 3.233 1965–4 3.780 4.100 4.1957–4 2.817 4.933 3.253 1966–1 3.744 3.867 4.1958–1 5.575 6.300 1.863 1966–2 2.477 3.833 4.1958–2 0.000 7.367 0.940 1966–3 4.908 3.767 5.1958–3 0.000 7.333 1.323 1966–4 1.218 3.700 5.1958–4 1.382 6.367 2.163 1967–1 1.214 3.833 4.1959–1 0.000 5.833 2.570 1967–2 3.620 3.833 3.1959–2 1.377 5.100 3.083 1967–3 3.587 3.800 3.1959–3 2.740 5.267 3.577 1967–4 4.734 3.900 4.1959–4 1.363 5.600 3.990 1968–1 3.514 3.733 4.1960–1 0.000 5.133 3.933 1968–2 4.638 3.567 5.1960–2 2.712 5.233 3.697 1968–3 4.585 3.533 5.1960–3 0.000 5.533 2.937 1968–4 5.658 3.400 5.1960–4 2.694 6.267 2.297 1969–1 5.579 3.400 6.1961–1 0.000 6.800 2.003 1969–2 5.502 3.433 8.1961–2 0.000 7.000 1.733 1969–3 5.427 3.567 8.1961–3 2.676 6.767 1.683 1969–4 6.417 3.567 8.1961–4 0.000 6.200 2.400 1970–1 6.316 4.167 8.1962–1 2.658 5.633 2.457 1970–2 5.188 4.767 7.1962–2 0.000 5.533 2.607 1970–3 4.103 5.167 6.1962–3 2.640 5.567 2.847 1970–4 6.076 5.833 5.680 Глава 23. Векторные авторегрессии Таблица 23.3. (продолжение) Квартал Infl UnRate FedFunds Квартал Infl UnRate FedFunds 1971–1 2.005 5.933 3.857 1979–2 12.950 5.700 10.1971–2 4.969 5.900 4.563 1979–3 12.006 5.867 10.1971–3 2.952 6.033 5.473 1979–4 13.220 5.967 13.1971–4 2.930 5.933 4.750 1980–1 16.308 6.300 15.1972–1 2.909 5.767 3.540 1980–2 11.809 7.333 12.1972–2 2.888 5.700 4.300 1980–3 6.731 7.667 9.1972–3 3.819 5.567 4.740 1980–4 11.745 7.400 15.1972–4 3.783 5.367 5.143 1981–1 10.058 7.433 16.1973–1 8.382 4.933 6.537 1981–2 8.487 7.400 17.1973–2 7.306 4.933 7.817 1981–3 11.330 7.400 17.1973–3 8.949 4.800 10.560 1981–4 4.274 8.233 13.1973–4 9.618 4.767 9.997 1982–1 2.542 8.833 14.1974–1 12.753 5.133 9.323 1982–2 9.599 9.433 14.1974–2 9.918 5.200 11.250 1982–3 2.876 9.900 11.1974–3 12.853 5.633 12.090 1982–4 0.000 10.667 9.1974–4 10.147 6.600 9.347 1983–1 1.634 10.367 8.1975–1 6.877 8.267 6.303 1983–2 5.266 10.133 8.1975–2 5.268 8.867 5.420 1983–3 4.004 9.367 9.1975–3 8.141 8.467 6.160 1983–4 3.964 8.533 9.1975–4 7.260 8.300 5.413 1984–1 5.874 7.867 9.1976–1 2.867 7.733 4.827 1984–2 3.098 7.433 10.1976–2 4.969 7.567 5.197 1984–3 3.839 7.433 11.1976–3 6.299 7.733 5.283 1984–4 3.045 7.300 9.1976–4 5.517 7.767 4.873 1985–1 4.899 7.233 8.1977–1 8.136 7.500 4.660 1985–2 2.613 7.300 7.1977–2 5.995 7.133 5.157 1985–3 2.226 7.200 7.1977–3 5.255 6.900 5.820 1985–4 5.147 7.033 8.1977–4 6.473 6.667 6.513 1986–1 –1.464 7.033 7.1978–1 7.001 6.333 6.757 1986–2 1.098 7.167 6.1978–2 9.969 6.000 7.283 1986–3 2.188 6.967 6.1978–3 9.126 6.033 8.100 1986–4 2.899 6.833 6.1978–4 8.334 5.900 9.583 1987–1 5.022 6.600 6.1979–1 11.612 5.867 10.073 1987–2 4.608 6.267 6.23.9. Упражнения и задачи Таблица 23.3. (продолжение) Квартал Infl UnRate FedFunds Квартал Infl UnRate FedFunds 1987–3 4.207 6.000 6.843 1995–4 2.085 5.567 5.1987–4 3.126 5.833 6.917 1996–1 4.137 5.533 5.1988–1 3.102 5.700 6.663 1996–2 3.075 5.500 5.1988–2 5.117 5.467 7.157 1996–3 2.545 5.267 5.1988–3 5.053 5.467 7.983 1996–4 3.535 5.333 5.1988–4 3.997 5.333 8.470 1997–1 1.756 5.233 5.1989–1 4.940 5.200 9.443 1997–2 1.000 5.000 5.1989–2 6.171 5.233 9.727 1997–3 2.489 4.867 5.1989–3 2.250 5.233 9.083 1997–4 1.486 4.667 5.1989–4 4.779 5.367 8.613 1998–1 0.494 4.633 5.1990–1 7.219 5.300 8.250 1998–2 1.970 4.400 5.1990–2 4.023 5.333 8.243 1998–3 1.716 4.533 5.1990–3 7.927 5.700 8.160 1998–4 2.196 4.433 4.1990–4 5.099 6.133 7.743 1999–1 0.972 4.300 4.1991–1 1.784 6.600 6.427 1999–2 3.143 4.267 4.1991–2 3.545 6.833 5.863 1999–3 4.073 4.233 5.1991–3 2.930 6.867 5.643 1999–4 2.377 4.067 5.1991–4 3.488 7.100 4.817 2000–1 5.180 4.033 5.1992–1 2.596 7.367 4.023 2000–2 3.029 3.967 6.1992–2 2.865 7.600 3.770 2000–3 3.007 4.067 6.1992–3 2.845 7.633 3.257 2000–4 2.298 3.933 6.1992–4 3.387 7.367 3.037 2001–1 3.195 4.167 5.1993–1 2.801 7.133 3.040 2001–2 4.295 4.467 4.1993–2 2.782 7.067 3.000 2001–3 0.449 4.833 3.1993–3 1.936 6.800 3.060 2001–4 –1.801 5.600 2.1993–4 3.570 6.633 2.990 2002–1 2.698 5.633 1.1994–1 2.181 6.567 3.213 2002–2 2.903 5.833 1.1994–2 2.169 6.200 3.940 2002–3 2.440 5.767 1.1994–3 3.769 6.000 4.487 2002–4 1.545 5.900 1.1994–4 2.138 5.633 5.167 2003–1 5.034 5.767 1.1995–1 2.921 5.467 5.810 2003–2 –0.653 6.167 1.1995–2 3.162 5.667 6.020 2003–3 3.039 6.133 1.1995–3 1.833 5.667 5.682 Глава 23. Векторные авторегрессии Таблица 23.4. (Источник: Thurman, Walter N. and Mark E.

Pages:     | 1 |   ...   | 74 | 75 || 77 | 78 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.