WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 70 | 71 || 73 | 74 |   ...   | 82 |

К сожалению, не существует аналитических формул для расчета вероятностей альтернатив в мультиномиальном пробите. Вероятности имеют вид многомерных интегралов. Обозначим через Bs множество таких ошибок, которые приводят к выбору s-й альтернативы, т.е.

Bs = {|u(s) >u(t), s = t} = {|zss + s >ztt + t, s = t}, а через () — многомерную плотность распределения. Тогда вероятность того, что будет выбрана альтернатива s, равна Pr(x = s) = ()d.

Bs Для вычисления таких интегралов, как правило, используется метод МонтеКарло.

21.3. Упражнения и задачи Упражнение В Таблице 9.3 на стр. 306 приведены данные о голосовании по поводу увеличения налогов на содержание школ в городе Троя штата Мичиган в 1973 г. Наблюдения относятся к 95-ти индивидуумам. Приводятся различные их характеристики:

Реально требуется вычислить не S-мерный интеграл, а (S - 1)-мерный, поскольку важны не сами ошибки, а разности между ними.

636 Глава 21. Модели с качественными зависимыми переменными Pub = 1, если хотя бы один ребенок посещает государственную школу, иначе 0;

Priv = 1, если хотя бы один ребенок посещает частную школу, иначе 0; Years — срок проживания в данном районе; Teach = 1, если человек работает учителем, иначе 0; LnInc — логарифм годового дохода семьи в долл.; PropTax — логарифм налогов на имущество в долл. за год (заменяет плату за обучение — плата зависит от имущественного положения); Yes = 1, если человек проголосовал на референдуме «за», 0, если «против». Зависимая переменная — Yes. В модель включаются все перечисленные факторы, а также квадрат Years.

1.1. Получите приближенные оценки для логита и пробита с помощью линейной регрессии.

1.2. Оцените логит и пробит с помощью ММП и сравните с предыдущим пунктом.

1.3. Вычислите коэффициенты логита через коэффициенты пробита и сравните с предыдущими результатами.

1.4. На основе оценок МП для логита найдите маргинальные значения для Teach, LnInc и PropTax при среднем уровне факторов.

1.5. Постройте график вероятности голосования «за» в зависимости от Years при среднем уровне остальных факторов.

1.6. Постройте аналогичный график маргинального значения Years.

Упражнение Рассматривается модель мультиномиального логита. В модели имеется три альтернативы: 0, 1 и 2. Для каждой из альтернатив s =0, 1, 2 полезность рассчитывается по формуле us = zs + s + s, гд е =2, s = s/5, а ошибки s имеют распределение экстремального значения. Поскольку функция распределения для распределения экстремального значения имеет вид F () =e-e, тоошибкиможно генерировать по формуле = - ln (- ln ()), имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Зависимая переменная x принимает одно из трех возможных значений (0, 1 или 2) в зависимости от того, какая полезность выше.

2.1. Пусть z1 = 0.4, z2 = 0.3, z3 = 0.2. Проверить методом Монте-Карло формулу для вероятностей:

ezs+s Pr(x = s) =, ezt+t t=21.3. Упражнения и задачи сгенерировав выборку из 1000 наблюдений для x и рассчитав эмпирические частоты.

2.2. Сгенерировать данные по модели, взяв zs N(0, 2) для всех s. Сгенерировав набор из 1000 наблюдений (xi, z0i, z1i, z2i), гд е i =1,..., 1000, получить оценки параметров модели мультиномиального логита, предполагая, что 0 =0. Сравнить с истинными значениями параметров.

Задачи 1. Чему равны оценки максимального правдоподобия по модели логит с одной константой 2. Запишите 7 терминов, которые имеют отношение к моделям с качественной зависимой переменной.

3. Рассмотрите модель с биномиальной зависимой переменной x, принимающей значения 0 или 1 и зависящей от фиктивной переменной z, принимающей значения 0 или 1. Модель включает также константу. Данные резюмируются следующей таблицей (в клетках стоят количества соответствующих наблюдений):

x =0 x =z =0 N00 Nz =1 N10 Nа) Пусть в основе модели лежит некоторая дифференцируемая функция распределения F (·), заданная на всей действительной прямой. Найдите Pr (x =1) при z =0 ипри z =1.

б) Запишите в компактном виде логарифмическую функцию правдоподобия.

в) Запишите условия первого порядка для оценок максимального правдо подобия, обозначая F (y) =f (y).

г) Для N00 =15, N01 =5, N10 =5, N11 =15 получите оценки логита методом максимального правдоподобия.

д) Для тех же данных получите оценки пробита методом максимального правдоподобия, используя таблицы стандартного нормального распределения.

е) Как можно определить, значима ли фиктивная переменная z Запишите формулу соответствующей статистики и укажите, как она распределена.

638 Глава 21. Модели с качественными зависимыми переменными ж) Получите формулу для приближенных оценок логита методом усреднения (используя линейность отношения шансов для логита). Сравните с формулой для оценок максимального правдоподобия.

4. Изучается зависимость курения среди студентов от пола. В следующей таблице приведены данные по 40 студентам:

Пол Количество наблюдений Доля курящих Муж. 20 0.Жен. 20 0.Оцените по этим данным модель логит методом максимального правдоподобия. Используйте при этом то, что ln 2 = 0.693, ln 3 = 1.099 и ln 11 = 2.398.

5. Пусть переменная x, принимающая значения 0 или 1, зависит от одного фактора z. Модель включает также константу. Данные приведены в таблице:

x 0 0 1 1 0 1 0 1 0 z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Запишите для этих данных логарифмическую функцию правдоподобия модели с биномиальной зависимой переменной.

6. Оцените упорядоченный пробит методом максимального правдоподобия по следующим данным:

x 0 1 2 3 количество на- 50 40 45 80 блюдений 7. Модель с биномиальной зависимой переменной имеет вид:

x = z + +, 1, x>0, x = 0, x<0, где z — фиктивная переменная. Связь между x и z задана таблицей (в клетках указано количество наблюданий):

21.3. Упражнения и задачи x 0 0 24 z 1 32 а) Найдите оценки коэффициентов логита и пробита по методу усреднения сгруппированных наблюдений.

б) Найдите оценки максимального правдоподобия.

в) Проверьте значимость модели в целом по статистике отношения правдоподобия.

8. По некоторым данным был оценен ряд моделей с биномиальной зависимой переменной и факторами z1 и z2. В таблице приведены результаты оценивания этих моделей методом максимального правдоподобия. В скобках записаны стандартные ошибки коэффициентов. Прочерк означает, что данный фактор не был включен в модель. В последней строке приведено значение логарифмической функции правдоподобия в максимуме.

Логит Пробит I II III IV V IV VII VIII 1.87 0.28 1.88 0.28 1.14 0.17 1.16 0.Кон станта (0.38) (0.20) (0.38) (0.20) (0.21) (0.12) (0.21) (0.12) –0.08 0.0012 –0.06 0.Z1 — — — — (0.33) (0.19) (0.19) (0.12) –2.00 –1.99 –1.21 –1.Z2 — — — — (0.44) (0.44) (0.24) (0.25) ln L –44.4 –68.2 –44.5 –68.3 –44.2 –68.3 –44.4 –68.Какую из моделей следует выбрать Обоснуйте свой ответ.

9. Рассмотрите модель дискретного выбора из двух альтернатив с линейной случайной функцией полезности вида:

u(s) =zs + + s, s =0.1, где все ошибки s имеют равномерное распределение U[-, ] и независимы по уравнениям и по наблюдениям.

а) Найдите вероятности выбора s =0 и s =1 для такой модели.

640 Глава 21. Модели с качественными зависимыми переменными б) Объясните, идентифицируемы ли одновременно параметры, и.

Если нет, то предложите идентифицирующую нормировку.

в) Запишите функцию правдоподобия для этой модели.

10. Покажите, что логарифмическая функция правдоподобия для биномиального логита является всюду вогнутой по параметрам. Какие преимущества дает это свойство 11. Рассмотрите модель дискретного выбора из двух альтернатив: s =1 и s =2, в основе которого лежит случайная полезность ui(s) =zis + is, предполагая, что ошибки двух альтернатив коррелированы и распределены нормально:

1i 0 1 N,.

2i 0 12 Какие параметры идентифицируемы Аргументируйте свой ответ. Предложите нормировки, которые позволят оценить такую модель биномиального пробита. Каким методом можно оценить такой «коррелированный» пробит 12. Пусть (·), (·) — функции распределения логистического и стандартного нормального распределения соответственно.

а) Покажите, что выпуклая комбинация F (y) = (1 - )(y) +(y), [0; 1], также задает функцию распределения (удовлетворяющую всем должным требованиям).

б) Постройте на основе F (y) модель, которая охватывает как логит, так ипробит.

в) Запишите логарифмическую функцию правдоподобия для такой модели.

г) Запишите условия первого порядка для оценок максимального правдоподобия.

д) Является ли параметр идентифицируемым (Аргументируйте свой ответ формально.) 13. Рассмотрите модель дискретного выбора из двух альтернатив с линейной случайной функцией полезности вида:

u(s) =zs + s, s =0.1, где все ошибки 0 и 1 независимы и их функция распределения имеет вид -y F (y) =e-e.

21.3. Упражнения и задачи а) Покажите, что ey Pr 1 - 0

1+ey б) Найдите вероятности выбора s =0 и s =1 для такой модели. Покажите, что данная модель совпадает с логитом.

14. Пусть в упорядоченном логите зависимая переменная x принимает три значения (0, 1, 2). Найдите, как вероятность того, что x =2, зависит от параметра 1 (границы между 1 и 2), т.е. найдите соответствующее маргинальное значение.

15. Выведите формулу оценок максимального правдоподобия для регрессии с упорядоченной зависимой переменной с одной константой. Для количества наблюдений, соответствующих выбору альтернативы s, используйте обозначение Ns. (Подсказка: удобно перейти от исходных параметров к вероятностям ps =Pr (x = s).) 16. Рассмотрите использование упорядоченной регрессии для моделирования решения индивидуума о получении образования. Пусть в основе принимаемого решения имеется некоторый индекс, выражающий полезность от образования:

Ui = Zi + i, i N(0; 2).

Чем выше индекс, тем более вероятен выбор более высокого уровня образования. Более конкретно, пусть имеются некоторые известные заранее пороговые значения для индекса, 1 и 2, такие что:

– при Ui >2 индивидуум i заканчивает вуз;

– при 1 < Ui 2 индивидуум i заканчивает среднюю школу, но не получает высшего образования;

– при Ui 1 индивидуум i получает только неполное среднее образование.

а) Какой вид может иметь зависимая переменная в такой модели б) Покажите, что в данной модели нельзя однозначно идентифицировать как, так и.

в) Можно ли однозначно идентифицировать / г) Можно ли однозначно идентифицировать, если положить =1 642 Глава 21. Модели с качественными зависимыми переменными д) Возможно было бы идентифицировать 1 и 2, если бы они были неизвестны е) Запишите функцию правдоподобия для данной модели.

17. В модели регрессии с упорядоченной зависимой переменной альтернативами были числа s =0,..., S. Как поменяются оценки максимального правдоподобия, если альтернативами будут числа 1, 2, 22,..., 2S Аргументируйте свой ответ.

18. В выборах участвуют три кандидата: Иванов (s =1), Петров (s =2) и «против всех» (s = 0). Перед выборами был проведен опрос населения. Для каждого из опрошенных собраны данные о том, какого он пола (F или M) и за кого собирается голосовать. В результате получено 6 чисел: NsF, NsM (s = 0, 1, 2) — количество женщин и мужчин, собирающихся голосовать за каждого из трех кандидатов. Выведите функцию правдоподобия для соответствующей модели мультиномиального логита.

19. С помощью мультиномиального логита изучается выбор индивидуумами способа передвижения между домом и работой: пешком, на автобусе или на личном автомобиле. Имеются следующие данные: среднее время передвижения от дома до работы для каждого индивидуума каждым из способов и средний доход каждого индивидуума. Введите требуемые обозначения и запишите формулы вероятностей выбора каждого из способов передвижения. Предложите нормировку, которая позволяет идентифицировать модель.

20. Работники кафе быстрого обслуживания «Томато-пицца» могут выбрать один из видов фирменной униформы: брюки или юбку, — причем одного из двух цветов: красного и темно-красного. Какой из моделей вы бы описали такую ситуацию Объясните.

21. Рассмотрите модель дискретного выбора из трех альтернатив с линейной функцией полезности, соответствующую модели мультиномиального пробита. Предложите нормировки, которые позволят оценить такую модель.

22. В чем состоят преимущества и недостатки мультиномиального пробита по сравнению с мультиномиальным логитом Рекомендуемая литература 1. Cramer J.S. The Logit Model for Economists. — Adward Arnold, 1991.

21.3. Упражнения и задачи 2. Davidson R., MacKinnon J.G. Estimation and Inference in Econometrics. — Oxford University Press, 1993. (Ch. 15).

3. Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (Ch. 8, 19).

4. Maddala G.S. Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics, Cambridge University Press, 1983. (Ch. 2, 3, 5).

5. Wooldridge Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach, 2nd ed. — Thomson, 2003. (Ch. 17).

6. Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999 (Ch. 13).

7. Ruud Paul A. An Introduction to Classical Econometric Theory, Oxford University Press, 2000 (Ch. 27).

Глава Эффективные оценки параметров модели ARMA В главе 14 «Линейные стохастические модели ARIMA» были рассмотрены два метода оценки параметров моделей ARMA: линейная регрессия для оценивания авторегрессий и метод моментов для общей модели ARMA. Эти методы не обеспечивают эффективность оценок параметров модели. Можно предложить способы оценивания, которые дают более точные оценки. Для этого можно использовать метод максимального правдоподобия. Рассмотрению этого метода и посвящена данная глава.

22.1. Оценки параметров модели AR(1) Рассмотрим только случай модели AR(1): xt = t + xt-1, t = 1,..., T, на примере которого хорошо видна и общая ситуация.

Чтобы воспользоваться методом максимума правдоподобия, вычислим плотности распределения вероятности наблюдений x1, x2,..., xT :

f(x1,..., xT ) =f(x1) · f(x2|x1) · f(x3|x2) ·... · f(xT |xT -1).

Предположим, что условное распределения xt при известном xt-1 нормально.

В соответствии с моделью AR(1) это распределение имеет среднее xt-1 и дис22.1. Оценки параметров модели AR(1) персию. Значит, T 1 - (xt-xt-1)f(x1,..., xT ) =f(x1) (2)- · e = t=T - (xt-xt-1)T -t== f(x1)(2 )- e.

Плотность как функция параметров и является функцией правдоподобия.

Вместо полной плотности f(x1,..., xT ) в качестве приближения рассмотрим плотность условного распределения x2,..., xT, считая x1 заданным, т.е. будем оперировать с f(x2,..., xT |x1).

Тем самым мы потеряем одну степень свободы. Приближенная функция правдоподобия равна T - T -1 - (xt-xt-1)2 - T -- s() 2 2 t=L-(, ) = 2 2 e = 2 2 e, T где s() = (xt - xt-1)2.

t=2 Максимизируя ее по, выразим через :

s() =.

Pages:     | 1 |   ...   | 70 | 71 || 73 | 74 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.