WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 62 | 63 || 65 | 66 |   ...   | 82 |

На практике решающим при использовании критерия ADF является вопрос о том, как выбирать k — порядок AR-процесса в оцениваемой регрессии. Можно предложить следующие подходы.

1) Выбирать k на основе обычных t-и F -статистик. Процедура состоит в том, чтобы начать с некоторой максимальной длины лага и проверять вниз, используя t- или F -статистики для значимости самого дальнего лага (лагов). Процесс останавливается, когда t-статистика или F -статистика значимы.

2) Использовать информационные критерии Акаике и Шварца. Длина лага с минимальным значением информационного критерия предпочтительна.

3) Сделать остатки регрессии ADF-критерия как можно более похожими на белый шум. Это можно проверить при помощи критерия на автокорреляцию. Если соответствующая статистика значима, то лаг выбран неверно и следует увеличить k.

Поскольку дополнительные лаги не меняют асимптотические результаты, то лучше взять больше лагов, чем меньше. Однако этот последний аргумент верен только с асимптотической точки зрения. ADF может давать разные результаты в зависимости от того, каким выбрано количество лагов. Даже добавление лага, который «не нужен» согласно только что приведенным соображениям, может резко изменить результат проверки гипотезы.

Особую проблему создает наличие сезонной компоненты в переменной. Если сезонность имеет детерминированный характер, то достаточно добавить в регрес558 Интегрированные процессы...

сию фиктивные сезонные переменные — это не изменяет асимптотического распределения ADF-статистики. Для случая стохастической сезонности также есть специальные модификации критерия.

До сих пор рассматривались критерии I(1) против I(0). Временной ряд может быть интегрированным и более высокого порядка. Несложно понять, что критерии I(2) против I(1) сводятся к рассмотренным, если взять не уровень исследуемого ряда, а первую разность. Аналогичный подход рекомендуется для более высоких порядков интегрирования.

Имитационные эксперименты, проведенные Сэдом и Дики, показали, что следует проверять гипотезы последовательно, начиная с наиболее высокого порядка интегрирования, который можно ожидать априорно. То есть сначала следует проверить гипотезу о том, что ряд является I(2), и лишь после этого, если гипотеза отвергнута, что он является I(1).

17.5. Коинтеграция. Регрессии с интегрированными переменными Как уже говорилось выше, привычные методы регрессионного анализа не подходят, если переменные нестационарны. Однако не всегда при применении МНК имеет место эффект ложной регрессии.

Говорят, что I(1)-процессы {x1t} и {x2t} являются коинтегрированными порядка 1 и 0, коротко CI(1, 0), если существует их линейная комбинация, которая является I(0), т.е. стационарна. Таким образом, процессы {x1t} и {x2t}, интегрированные первого порядка I(1), — коинтегрированы, если существует коэффициент такой, что x1t - x2t I(0). Понятие коинтеграции введено Грейнджером в 1981 г. и использует модель исправления ошибок. Коинтегрированные процессы {x1t} и {x2t} связаны между собой долгосрочным стационарным соотношением, и предполагается, что существует некий корректирующий механизм, который при отклонениях возвращает x1t и x2t к их долгосрочному отношению.

Если =1, то разность x1t-x2t будет стационарной и, грубо говоря, x1t и x2t будут двигаться «параллельно» во времени. На рисунке 17.2 изображены две такие коинтегрированные переменные, динамика которых задана моделью исправления ошибок:

x1t = -0.2(x1,t-1 - x2,t-1 +2) +1t, (17.12) x2t =0.5(x1,t-1 - x2,t-1 +2) +2t, (17.13) где 1t и 2t — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.

17.5. Коинтеграция. Регрессии с интегрированными переменными Рис. 17.2. Два коинтегрированных процесса при =Если переменные в регрессии не стационарны, но действительно связаны друг с другом стационарной линейной комбинацией (модель специфицирована верно), то полученные оценки коэффициентов этой линейной комбинации будут на самом деле сверхсостоятельными, т.е. будут сходиться по вероятности к истинным коэффициентам со скоростью, пропорциональной не квадратному корню количества наблюдений T, как в регрессии со стационарными переменными, а со скоростью, пропорциональной просто количеству наблюдений T. Другими словами, в обыч ной регрессии T (-) имеет невырожденное асимптотическое распределение, где — полученная из регрессии оценка, а в регрессии с I(1)-переменными T ( - ) имеет невырожденное асимптотическое распределение.

Обычные асимптотические аргументы сохраняют свою силу, если речь идет об оценках параметров краткосрочной динамики в модели исправления ошибок.

Таким образом, можно использовать t-статистики, получаемые обычным методом наименьших квадратов, для проверки гипотез о значимости отдельных переменных. Важно помнить, что это относится к оценкам краткосрочных параметров.

Этот подход не годится для проверки гипотез о коэффициентах коинтеграционной комбинации.

Определение коинтеграции естественным образом распространяется на случай нескольких переменных произвольного порядка интегрирования. Компоненты k-мерного векторного процесса xt =(x1t,..., xkt) называют коинтегрированными порядка d и b, что обозначается xt CI(d, b), если 1) каждая компонента xit является I(d), i =1,..., k;

2) существует отличный от нуля вектор, такойчто xt I(d - b), d b >0.

Вектор называют коинтегрирующим вектором.

560 Интегрированные процессы...

Коинтегрирующий вектор определен с точностью до множителя. В рассмотренном ранее примере коинтегрирующий вектор имеет вид =(-1, ). Его можно пронормировать: =(-1/, 1), или так, чтобы сумма квадратов элементов была равна 1, т.е. = -,.

1+2 1+17.6. Оценивание коинтеграционной регрессии:

подход Энгла—Грейнджера Если бы коэффициент был известен, то выяснение того, коинтегрированы ли переменные x1t и x2t, было бы эквивалентно выяснению того, стационарна ли комбинация x1t - x2t (например, с помощью критерия Дики—Фуллера).

Но в практических ситуациях обычно стационарная линейная комбинация неизвестна. Значит, необходимо оценить коинтегрирующий вектор. После этого следует выяснить, действительно ли этот вектор дает стационарную линейную комбинацию.

Простейшим методом отыскания стационарной линейной комбинации является метод Энгла—Грейнджера. Энгл и Грейнджер предложили использовать оценки, полученные из обычной регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Одна из переменных должна стоять в левой части регрессии, другая — в правой:

x1t = x2t + t.

Для того чтобы выяснить, стационарна ли полученная линейная комбинация, предлагается применить метод Дики—Фуллера к остаткам из коинтеграционной регрессии. Нулевая гипотеза состоит в том, что t содержит единичный корень, т.е. x1t и x2t не коинтегрированы. Пусть et — остатки из этой регрессии. Проверка нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции в методе Энгла—Грейнджера проводится с помощью регрессии:

et = et-1 + ut. (17.14) Статистика Энгла—Грейнджера представляет собой обычную t-статистику для проверки гипотезы = 1 в этой вспомогательной регрессии. Распределение статистики Энгла—Грейнджера будет отличаться (даже асимптотически), от распределения DF-статистики, но имеются соответствующие таблицы. Если мы отклоняем гипотезу об отсутствии коинтеграции, то это дает уверенность в том, что полученные результаты не являются ложной регрессией.

Игнорирование детерминированных компонент ведет к неверным выводам о коинтеграции. Чтобы этого избежать, в коинтеграционную регрессию следует добавить соответствующие переменные — константу, тренд, квадрат тренда, сезонные 17.7. Коинтеграция и общие тренды фиктивные переменные. Например, добавляя константу и тренд, получим регрессию x1t = µ0+µ1t+x2t+t. Такое добавление, как и в случае критерия DF, меняет асимптотическое распределение критерия Энгла—Грейнджера. Следует помнить, что, в отличие от критерия Дики—Фуллера, регрессия (17.14), из которой берется t-статистика, остается неизменной, то есть в нее не нужно добавлять детерминированные регрессоры.

В МНК-регрессии с коинтегрированными переменными оценки должны быть смещенными из-за того, что в правой части стоит эндогенная переменная x2t, коррелированная с ошибкой t. Кроме того, ошибка содержит пропущенные переменные. Коинтеграционная регрессия Энгла—Грейнджера является статической по форме, т.е. не содержит лагов переменных. С асимптотической точки зрения это не приводит к смещенности оценок, поскольку ошибка является величиной меньшего порядка, чем регрессор x2t, дисперсия которого стремится к бесконечности.

Как уже говорилось, оценки на самом деле сверхсостоятельны. Однако в малых выборках смещение может быть существенным.

После того как найдена стационарная линейная комбинация, можно оценить модель исправления ошибок (15.11), которая делает переменные коинтегрированными. В этой регрессии используются первые разности исходных переменных и остатки из коинтеграционной регрессии, которые будут представлять корректирующий элемент модели исправления ошибок:

p-1 q- x1t = -lt + jx1,t-j + jx2,t-j + vt. (17.15) j=1 j=Подчеркнем роль корректирующего элемента lt. До появления метода Энгла—Грейнджера исследователи часто оценивали регрессии в первых разностях, что хотя и приводило к стационарности переменных, но не учитывался стационарный корректирующий член, т.е. регрессионная модель была неверно специфицирована (проблема пропущенной переменной).

Несмотря на то, что в модели исправления ошибок (17.15) используется оценка коинтегрирующего вектора ( 1 - ), оценки коэффициентов такой модели будут иметь такие же асимптотические свойства, как если бы коинтегрирующий вектор был точно известен. В частности, можно использовать t-статистики из этой регрессии (кроме t-статистики для ), поскольку оценки стандартных ошибок являются состоятельными. Это является следствием сверхсостоятельности оценок коинтегрирующего вектора.

17.7. Коинтеграция и общие тренды Можно предположить, что коинтеграция между двумя интегрированными переменными, скорее всего, проистекает из того факта, что обе они содержат одну и ту 562 Интегрированные процессы...

же нестационарную компоненту, называемую общим трендом. Выше мы получили для интегрированной переменной разложение Бевериджа—Нельсона на детерминированный тренд, стохастический тренд и стационарную составляющую. Следует показать, что стохастические тренды в двух коинтегрированных переменных должны быть одними и теми же.

Проведем сначала подобный анализ для детерминированных трендов. Пусть процессы {xt} и {zt} стационарны относительно некоторого тренда f(t), необязательно линейного:

xt = µ0 + µ1f(t) +t и zt = 0 + 1f(t) +t, где t и t — два стационарных процесса. В каком случае линейная комбинация этих двух процессов будет стационарной в обычном смысле (не относительно тренда) Найдем линейную комбинацию xt - zt:

xt - zt = µ0 - 0 +(µ1 - 1)f(t) +t - t.

Для ее стационарности требуется, чтобы µ1 = 1.

С другой стороны, если бы {xt} содержал тренд f(t), а {zt} — отличный от него тренд g(t), то, в общем случае, не нашлось бы линейной комбинации, такой что µ1f(t) - 1g(t) оказалась бы постоянной величиной. Следовательно, для {xt} и {zt} не нашлось бы коинтегрирующего вектора. Коинтегрирующий вектор можно найти только в том случае, если f(t) = g(t) для некоторого, µт.е. если f(t) и g(t) линейно зависимы.

Пусть теперь {xt} и {zt} — два процесса I(1), для которых существуют разложения Бевериджа—Нельсона:

xt = t + vt + t, zt = t + wt + t, где vt и wt — случайные блуждания, а t и t — стационарные процессы.

Найдем условия, при которых линейная комбинация xt и zt, xt - zt = t + vt + t - (t + wt + t) =( - )t + vt - wt + t - t, может быть стационарной. Для стационарности требуется, чтобы в получившейся переменной отсутствовал как детерминированный, так и стохастический тренд. Это достигается при = и vt = wt. При этом xt можно записать как xt = (t + wt) +t, т.е. {xt} и {zt} содержат общий тренд t + wt.

17.8. Упражнения и задачи Этот взгляд на коинтеграцию развили в 1988 г. Сток и Уотсон: пусть есть k интегрированных переменных, которые коинтегрированы. Тогда каждая из этих переменных может быть записана как стационарная компонента плюс линейная комбинация меньшего количества общих трендов.

17.8. Упражнения и задачи Упражнение Сгенерируйте 20 марковских процессов xt = xt-1 + t при различных коэффициентах авторегрессии: а) =0.1; б) =0.9; в) =1; г) =1.02. Вкачестве ошибки используйте нормально распределенный белый шум с единичной дисперсией и возьмите x0 =0.

1.1. Изобразите графики для всех 20 рядов для каждого из четырех случаев.

Какой вывод можно сделать 1.2. Рассчитайте для каждого из четырех случаев дисперсию значений соответствующих 20 рядов, рассматривая их как выборку для t =1,..., 100. Нарисуйте график дисперсии по времени для всех четырех случаев. Сделайте выводы.

1.3. Оцените для всех рядов авторегрессию первого порядка и сравните распределения оценок для всех 4 случаев с истинными значениями. Сделайте выводы.

Упражнение Покажите эффект ложной регрессии для переменных I(1) с помощью метода Монте-Карло. Сгенерируйте по 100 рядов xt и zt по модели случайного блуждания:

xt = xt-1 + t и zt = zt-1 + t, где ошибки t N(0, 1) и t N(0, 1) неавтокоррелированы и некоррелированы друг с другом.

2.1. Оцените для всех 100 наборов данных регрессию xt по константе и zt:

xt = azt + b + ut.

Рассчитайте соответствующие статистики Стьюдента для коэффициента a и проанализируйте выборочное распределение этих статистик. В скольки 564 Интегрированные процессы...

процентах случаев нулевая гипотеза (гипотеза о том, что коэффициент равен нулю) отвергается, если использовать стандартную границу t-распределения с уровнем доверия 95% Найдите оценку фактической границы уровня доверия 95%.

2.2. Проанализируйте для тех же 100 регрессий выборочное распределение коэффициента детерминации.

2.3. Возьмите пять первых наборов данных и проверьте ряды на наличие единичных корней с помощью теста Дики—Фуллера.

2.4. Повторите упражнения 2.1, 2.2 и 2.3, сгенерировав данные xt и zt по стационарной модели AR(1) с авторегрессионным коэффициентом 0.5 исравните с полученными ранее результатами. Сделайте выводы.

Упражнение Сгенерируйте 100 рядов по модели случайного блуждания с нормально распределенным белым шумом, имеющим единичную дисперсию. Проверьте с помощью сгенерированных данных одно из значений в таблице статистики Дики—Фуллера.

Упражнение Рассмотрите данные из таблицы 15.3 на стр. 520.

4.1. Преобразуйте ряды, перейдя к логарифмам, и постройте их графики. Можно ли сказать по графику, что ряды содержат единичный корень 4.2. Проверьте формально ряды на наличие единичных корней с помощью дополненного теста Дики—Фуллера, включив в регрессии линейный тренди 4 лага разностей.

Pages:     | 1 |   ...   | 62 | 63 || 65 | 66 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.