WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 61 | 62 || 64 | 65 |   ...   | 82 |

i=1 i=Если все корни характеристического многочлена p (z) =1 - izi i=по абсолютной величине больше 1, т.е. лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости, то процесс стационарен. Если один из корней лежит в пределах единичного круга, то процесс взрывной. Если же d корней равны единице, а остальные лежат за пределами единичной окружности, то процесс нестационарный, но не взрывной и о нем говорят, что он имеет d единичных корней.

550 Интегрированные процессы...

Нестационарный процесс, первые разности которого стационарны, называют интегрированным первого порядка и обозначают I(1). Стационарный процесс обозначают I(0). Если d-e разности случайного процесса стационарны, то его называют интегрированным d-го порядка и обозначают I(d).

Рассмотрим, например, процесс t yt = xi, где xt = xt-1 + t.

i=Он будет I(2), то есть его вторые разности, 2yt, стационарны.

Для процессов ARIMA можно дать более удачное определение интегрированности. Процессом I(0) называется стационарный процесс с обратимым скользящим средним. Процесс I(d) — такой процесс, d-e разности которого являются I(0).

Соответственно, процесс, являющийся d-ой разностью процесса I(0), буд ет I(-d).

Такое уточнение нужно для того, чтобы необратимые процессы, такие как t -t-1, где t — белый шум, по определению были I(-1), нонеI(0). По этому уточненному определению процесс I(d) при d >0 будет иметь в точности d единичных корней.

17.2. Разложение Бевериджа—Нельсона для процесса I(1) Рассмотрим ARIMA-процесс I(1), интегрированный первого порядка. Пусть его исходная форма, записанная через лаговый оператор, имеет вид (L)xt = µ + (L)t.

Поскольку это процесс I(1), то многочлен (L) имеет единичный корень и уравнение процесса можно представить в виде (1 - L)(L)xt = (L)xt = µ + (L)t, где у многочлена (L) все корни находятся за пределами единичного круга. Отсюда следует разложение Вольда для приростов xt, которые являются стационарными:

µ + (L) µ µ xt = t = + cit-i = + c(L)t = + c(L)t.

p (L) (L) i=1 - j j=Ряд c(z) можно представить следующим образом:

c(z) =c(1) + c(z)(1 - z), 17.3. Ложная регрессия где c(z) = czi, с коэффициентами c = - cj.

i i i=0 j=i+Действительно, c(1) + c(z)(1 - z) = ci + czi - czi+1 = i i i=0 i=0 i= = ci + c + (c - c )zi = c0 + cizi = cizi.

0 i i-i=0 i=1 i=1 i=Таким образом, можно представить xt ввид е xt = +(c(1) + c(L)(1 - L)) t = + c(1)t + c(L)t.

Суммируя xt, получим xt = t + c(1) + c(L)t, t где — случайное блуждание, такое что = t. Без доказательства отметим, t t что ряд c(L) сходится абсолютно1: |c| <. Следовательно, он соответствует i i=разложению Вольда стационарного процесса.

Мы получили так называемое разложение Бевериджа—Нельсона. Процесс xt вида I(1) мы представили как комбинацию детерминированного тренда t, стохастического тренда c(1) и стационарного процесса c(L)t, который здесь обычно t интерпретируется как циклическая компонента.

17.3. Ложная регрессия Одним из важнейших условий получения корректных оценок в регрессионных моделях является требование стационарности переменных. В экономике довольно часто встречаются стационарные ряды, например, уровень безработицы. Однако, как правило, экономические процессы описываются нестационарными рядами:

объем производства, уровень цен и т.д.

Это можно понять из того, что |c| = |ci| = i|ci|. Поскольку коi j=i+1 ci i=0 i=0 i=0 j=i+1 i=эффициенты ci у стационарного процесса ARMA сходятся экспоненциально, то ряд должен сойтись (экспоненциальное убывание превосходит рост i).

552 Интегрированные процессы...

Очень важным условием корректного оценивания регрессионных моделей является условие стационарности регрессоров. Если зависимая переменная является I(1), и, кроме того, модель неверно специфицирована, т.е. некоторые из факторов, введенные ошибочно, являются I(1), то полученные оценки будут очень «плохими».

Они не будут обладать свойством состоятельности, т.е. не будут сходиться к истинным значениям параметров по мере увеличения размеров выборки. Привычные показатели, такие как коэффициент детерминации R2, t-статистики, F -статистики, будут указывать на наличие связи там, где на самом деле ее нет. Такой эффект называют эффектом ложной регрессии.

Показать эффект ложной регрессии для переменных I(1) можно с помощью метода Монте-Карло. Сгенерируем достаточно большое число пар независимых процессов случайного блуждания с нормально распределенными ошибками:

xt = xt-1 + t и zt = zt-1 + t, где t N(0, 1) и t N(0, 1). Оценив для каждой пары рядов xt и zt достаточно много раз регрессию вида xt = azt + b + ut, получим экспериментальные распределения стандартных статистик.

Проведенные экспериментальные расчеты для рядов длиной 50 наблюдений показывают, что t-статистика для a при номинальной вероятности 0.05 (т.е. 5%) в действительности отвергает верную гипотезу об отсутствии связи примерно в 75% случаев. Для того чтобы нулевая гипотеза об отсутствии связи отклонялась с вероятностью 5%, вместо обычного 5%-го квантиля распределения Стьюдента, равного примерно 2, нужно использовать критическую границу t0.05 =11.2.

Из экспериментов также следует, что регрессии с независимыми процессами случайного блуждания с большой вероятностью имеют высокий коэффициент детерминации R2 из-за нестационарности. Более чем в половине случаев коэффициент детерминации превышает 20%, и несколько менее чем в 5% случаев превышает 70%. Для сравнения можно построить аналогичные регрессии для двух независимых нормально распределенных процессов типа белый шум. Оказывается, что в таких регрессиях R2 чрезвычайно редко превышает 20% (вероятность этого порядка 0.1%)2.

То же самое, хотя и в меньшей степени, можно наблюдать и в случае двух стационарных AR(1)-процессов с коэффициентом автокорреляции, близким к единице.

Отличие заключается в том, что здесь ложная связь асимптотически (при стремлении длины рядов к бесконечности) исчезает, а в случае I(1)-процессов — нет.

Для двух независимых I(2)-процессов, построенных как проинтегрированные процессы случайного блуждания, примерно в половине случаев коэффициент детерминации превышает 80%! 17.4. Проверка на наличие единичных корней Все же проблема остается серьезной, поскольку на практике экономист имеет дело с конечными и часто довольно короткими рядами.

Таким образом, наличие в двух независимых процессах стохастических трендов может с высокой вероятностью привести к получению ложного вывода об их взаимосвязанности, если пользоваться стандартными методами.

Стандартные методы проверки гипотез, применяемые в регрессионном анализе, в данном случае не работают. Это происходит по причине нарушения некоторых предположений, лежащих в основе модели регрессии. Какие же предположения нарушаются Приведем одну из возможных точек зрения.

Предположим, как и выше, что xt и zt — два независимых процесса случайного блуждания, и оценивается регрессия xt = azt + b + ut.

Поскольку в этой регрессии истинное значение параметра a равно нулю, то ut = xt - b, т.е. ошибка в регрессии является процессом случайного блуждания.

Выше получено выражение (17.1) для дисперсии процесса случайного блуждания (условной по начальному наблюдению):

var(ut) =t, где — дисперсия t (приростов xt). Таким образом, здесь наблюдается сильнейшая гетероскедастичность. С ростом номера наблюдения дисперсия ошибки растет до бесконечности. Вследствие этого t-статистика регрессии имеет нестандартное распределение, и обычные таблицы t-распределения использовать нельзя.

Отметим, что наличие в переменных регрессии обычного детерминированного тренда также может приводить к появлению ложной регрессии. Пусть, например, xt и zt заданы формулами xt = µ0 + µ1t + t и zt = 0 + 1t + t, где t и t — два независимых процесса типа белый шум. Регрессия xt по константе и zt может иметь высокий коэффициент детерминации, и этот эффект только усиливается с ростом размера выборки. С «детерминированным» вариантом ложной регрессии достаточно легко бороться. В рассматриваемом случае достаточно добавить в уравнение в качестве регрессора тренд, т.е. оценить регрессию xt = azt + b + ct + ut, и эффект ложной регрессии исчезает.

17.4. Проверка на наличие единичных корней С осознанием опасности применения ОМНК к нестационарным рядам появилась необходимость в критериях, которые позволили бы отличить стационарный процесс от нестационарного.

554 Интегрированные процессы...

К неформальным методам проверки стационарности можно отнести визуальный анализ графиков спектральной плотности и автокорреляционной функции.

В настоящее время самым популярным из формальных критериев является критерий, разработанный Дики и Фуллером (DF-тест).

Предположим, нужно выяснить, какой из двух процессов лучше подходит для описания временного ряда:

xt = µ0 + µ1t + t или xt = µ0 + xt-1 + t, где t — стационарный ARMA-процесс. Первый из процессов является стационарным относительно тренда, а второй содержит единичный корень и дрейф. Каждый из вариантов может рассматриваться как правдоподобная модель экономического процесса.

Внешне два указанных процесса сильно различаются, однако можно показать, что оба являются частными случаями одного и того же процесса:

xt = 0 + 1t + vt, vt = vt-1 + t, что можно переписать также в виде (xt - 0 - 1t) =(xt-1 - 0 - 1(t - 1)) + t. (17.3) Как было показано ранее (17.2) для марковского процесса, при || < 1 данный процесс эквивалентен процессу xt = µ0 + µ1t + t, где коэффициенты связаны соотношениями:

µ0 µ1 µ0 = - и 1 =.

1 - (1 - )2 1 - При =1 получаем xt - 0 - 1t = xt-1 - 0 - 1t + 1 + t, т.е.

xt = 1 + xt-1 + t.

Таким образом, как и утверждалось, обе модели являются частными случаями одной и той же модели (17.3) и соответствуют случаям || < 1 и =1.

Модель (17.3) можно записать следующим образом:

xt = 0 + 1t + (xt-1 - 0 - 1(t - 1)) + t.

17.4. Проверка на наличие единичных корней Это модель регрессии, нелинейная по параметрам. Заменой переменных мы можем свести ее к линейной модели:

xt = µ0 + µ1t + xt-1 + t, где µ0 =(1 - )0 + 1, µ1 =(1 - )1.

Эта новая модель фактически эквивалентна (17.3), и метод наименьших квадратов даст ту же самую оценку параметра. Следует, однако, иметь в виду, что линейная модель скрывает тот факт, что при =1 будет выполнено µ1 =0.

Базовая модель, которую использовали Дики и Фуллер, — авторегрессионный процесс первого порядка:

xt = xt-1 + t. (17.4) При =1 это случайное блуждание. Конечно, вряд ли экономическая переменная может быть описана процессом (17.4). Более реалистично было бы предположить наличие в этом процессе константы и тренда (линейного или квадратичного):

xt = µ0 + xt-1 + t, (17.5) xt = µ0 + µ1t + xt-1 + t, (17.6) xt = µ0 + µ1t + µ2t2 + xt-1 + t. (17.7) Нулевая гипотеза в критерии Дики—Фуллера состоит в том, что ряднестационарен и имеет один единичный корень =1, при этом µi =0, альтернативная — в том, что рядстационарен || < 1:

H0 : =1, µi =0, HA : || < 1.

Здесь i =0, если оценивается (17.5), i =1, если оценивается (17.6), и i =2, если оценивается (17.7).

Предполагается, что ошибки t некоррелированы. Это предположение очень важно, без него критерий работать не будет.

Для получения статистики, с помощью которой можно было бы проверить нулевую гипотезу, Дики и Фуллер предложили оценить данную авторегрессионную мод ель ивзять из нее обычную t-статистику для гипотезы о том, что =1. Эту статистику называют статистикой Дики—Фуллера и обозначают DF. При этом критерий является односторонним, поскольку альтернатива >1, соответствующая взрывному процессу, не рассматривается.

DF заключается в том, что с помощью одной t-статистики как бы проверяется гипотеза сразу о двух коэффициентах. На самом деле, фактически подразумевается модель вида (17.3), в которой проверяется гипотеза об одном коэффициенте.

556 Интегрированные процессы...

Если в регрессии (17.6) нулевая гипотеза отвергается, то принимается альтернативная гипотеза — о том, что процесс описывается уравнением (17.6) с <1, то есть это стационарный относительно линейного тренда процесс. В противном случае имеем нестационарный процесс, описываемый уравнением (17.5), где =1, то есть случайное блуждание с дрейфом, но без временного тренда в уравнении авторегрессии.

Часто встречается несколько иная интерпретация этой особенности данного критерия: проверяется гипотеза H0 : = 1 против гипотезы HA : < 1, и оцениваемая регрессия не совпадает с порождающим данные процессом, каким он предполагается согласно альтернативной гипотезе, а именно, в оцениваемой регрессии имеется «лишний» детерминированный регрессор. Так, чтобы проверить нулевую гипотезу для процесса вида (17.5), нужно построить регрессию (17.6) или (17.7). Аналогично для проверки нулевой гипотезы о процессе вида (17.6) нужно оценить регрессию (17.7). Однако приведенная ранее интерпретация более удачная.

Поскольку статистика Дики—Фуллера имеет нестандартное распределение, для ее использования требуются специальные таблицы. Эти таблицы были составлены эмпирически методом Монте-Карло. Все эти статистики получены на основе одного и того же процесса вида (17.4) с =1, но с асимптотической точки зрения годятся и для других процессов, несмотря на наличие мешающих параметров, которые приходится оценивать.

Чтобы удобно было использовать стандартные регрессионные пакеты, уравнения регрессии преобразуются так, чтобы зависимой переменной была первая разность. Например, в случае (17.4) имеем уравнение xt = xt-1 + t, где = - 1. Тогда нулевая гипотеза примет вид =0.

Предположение о том, что переменная следует авторегрессионному процессу первого порядка и ошибки некоррелированы, является, конечно, слишком ограничительным. Критерий Дики—Фуллера был модифицирован для авторегрессионных процессов более высоких порядков и получил название дополненного критерия Дики—Фуллера (augmented Dickey—Fuller test, ADF).

Базовые уравнения для него приобретают следующий вид:

k xt =( - 1)xt-1 + jxt-j + t, (17.8) j=17.4. Проверка на наличие единичных корней k xt = µ0 +( - 1)xt-1 + jxt-j + t, (17.9) j=k xt = µ0 + µ1t +( - 1)xt-1 + jxt-j + t, (17.10) j=k xt = µ0 + µ1t + µ2t2 +( - 1)xt-1 + jxt-j + t. (17.11) j=Распределения этих критериев асимптотически совпадают с соответствующими обычными распределениями Дики—Фуллера и используют те же таблицы. Грубо говоря, роль дополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому, чтобы убрать автокорреляцию из остатков. Процедура проверки гипотез не отличается от описанной выше.

Как показали эксперименты Монте-Карло, критерий Дики—Фуллера чувствителен к наличию процесса типа скользящего среднего в ошибке. Добавление в число регрессоров распределенного лага первой разности (с достаточно большим значением k) частично снимает эту проблему.

Pages:     | 1 |   ...   | 61 | 62 || 64 | 65 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.