WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 56 | 57 || 59 | 60 |   ...   | 82 |

15.2. Авторегрессионная модель с распределенным лагом Авторегрессионная модель с распределенным лагом является примером динамической регрессии, в которой, помимо объясняющих переменных и их лагов, в качестве регрессоров используются лаги зависимой переменной.

15.2. Авторегрессионная модель с распределенным лагом Авторегрессионную модель с распределенным лагом, которая включает одну независимую переменную, можно представить в следующем виде:

p q xt = µ + jxt-j + jzt-j + t, (15.5) j=1 j=где первая сумма представляет собой авторегрессионную компоненту — распределенный лаг изучаемой переменной, вторая сумма — распределенный лаг независимого фактора. Обычно предполагается, что в этой модели ошибки t являются белым шумом и не коррелированны с фактором zt, его лагами и с лагами изучаемой переменой xt. При этих предположениях МНК дает состоятельные оценки параметров модели.

Сокращенно эту модель обозначают ADL(p, q) (от английского autoregressive distributed lag), также часто используется аббревиатура ARDL, гд е p —порядок авторегрессии, q — порядок распределенного лага. Более компактно можно записать модель в операторной форме:

(L) xt = µ + (L) zt + t, p q где (L) =1 - jLj и (L) = jLj — лаговые многочлены.

j=1 j=Модель ADL(1, 1) имеет следующий вид:

xt = µ + 1xt-1 + 0zt + 1zt-1 + t.

Некоторые частные случаи модели ADL уже были рассмотрены ранее.

Модель ADL(0, q) — это модель распределенного лага, рассмотренная в предыдущем пункте (в правой части нет лагов зависимой переменной).

Модель геометрического распределенного лага после преобразования Койка можно интерпретировать как ADL(1, 0) с процессом MA(1) в ошибке и ограничением на коэффициент при xt-1, который равен параметру MA-процесса ():

xt = µ + xt-1 + 0zt +(t - t-1).

Авторегрессионную модель AR(p) можно считать ADL(p, -1). В этой модели переменная в левой части зависит только от своих собственных лагов:

p xt = µ + jxt-j + t.

j=Как и в случае модели распределенного лага, можно ввести ряд показателей, характеризующих модель ADL. Если обратить лаговый многочлен (L) и умножить 508 Глава 15. Динамические модели регрессии на него исходное уравнение модели, то получим µ (L) t xt = -1(L)(L)xt = + zt + (L) (L) (L) или xt = µ + izt-i +, t i=где µ t (L) µ =, = и = (L) = iLi.

t (1) (L) (L) i=Как и в модели ARMA, такое преобразование корректно, если все корни многочлена (·) лежат за пределами единичной окружности.

Коэффициенты i показывают влияние лагов переменной z на переменную x, то есть они представляют собой функцию реакции на импульс. Символически эти коэффициенты можно записать в виде:

dxt i =.

dzt-i Рекуррентная формула для расчета коэффициентов i получается дифференциацией по zt-i исходного уравнения модели (15.5):

p q d(µ + jxt-j + jzt-j + t) p j=1 j=i = = ji-j + i.

dzt-i j=Здесь принимается во внимание, что 0, j = i, dxt-j dzt-j dt = i-j, = и =0.

dzt-i dzt-i dzt-i 1, j = i, При использовании этой рекуррентной формулы следует взять i = для i <0. В частном случае модели распределенного лага (когда p = 0) эта формула дает i = i, то есть влияние zt-i на i количественно выражается коэффициентом при zt-i (весом лага).

15.2 Некоторые прикладные динамические модели Сумма коэффициентов i показывает долгосрочное влияние z на x (долгосрочный мультипликатор). Она равна q j (1) j= = i = (1) = =. (15.6) p (1) i=1 - j j=По аналогии с моделью распределенного лага можно ввести показатель средней длины лага влияния z на x. Онравен q p jj jj ii j=0 j=i= =(ln (v)) =(ln (v) - ln (v)) = +.

q p v=1 v=i j 1 - j i=j=0 j=15.3. Модели частичного приспособления, адаптивных ожиданий и исправления ошибок Рассмотрим некоторые прикладные динамические модели, сводящиеся к модели авторегрессионного распределенного лага.

Модель частичного приспособления В экономике субъекты не сразу могут приспособиться к меняющимся условиям — это происходит постепенно. Нужно время на изменение запасов, обучение, переход на новые технологии, изменение условий долгосрочных контрактов и т.д. Эти процессы можно моделировать с помощью модели частичного приспособления.

Для иллюстрации приведем следующий пример: инфляция зависит от денежной массы, меняя денежную массу, мы можем получить какой-то желаемый уровень инфляции. Но реальность несколько запаздывает.

Пусть xD — желаемый уровень величины xt, zt — независимый фактор, t определяющий xD. Тогда модель частичного приспособления задается следующими t двумя уравнениями:

xD = + zt + t, t (15.7) xt - xt-1 = (xD - xt-1) +t.

t 510 Глава 15. Динамические модели регрессии Здесь [0; 1] — скорость приспособления. Если =0,то xt = xt-1,тоесть xt не меняется, если же =1, то приспособление происходит мгновенно, и в этом случае сразу xt = xD.

t Предположим, что переменная xD ненаблюдаема. Исключим из этих двух выt ражений ненаблюдаемую переменную:

xt = +(1- )xt-1 + zt + t + t.

Ясно, что это модель ADL(1, 0), гд е = µ, 1- = 1 и = 0. Оценивпараметры µ, 1 и 0, мы можем с помощью обратного преобразования вычислить оценки параметров исходной модели.

Модель адаптивных ожиданий Очень часто экономические решения, принимаемые людьми, зависят от прогнозов того, что будет в будущем. При этом уровень экономических величин, на которые воздействуют такие решения, зависит не от текущего значения показателя, а от ожидаемого значения (например, если ожидается высокий уровень инфляции, то следует скупать доллары, курс доллара в результате вырастет). В теории рассматриваются 2 вида ожиданий — рациональные и адаптивные. В соответствии с одним из определений, ожидания называют рациональными, если математическое ожидание прогноза равно фактическому значению, которое будет в будущем. Модели рациональных ожиданий часто оказываются довольно сложными. Адаптивные ожидания — это ожидания, которые зависят только от предыдущих значений величины. По мере того, как наблюдаются процессы движения реальной величины, мы адаптируем наши ожидания к тому, что наблюдаем на самом деле.

Чтобы ввести в экономические модели ожидания экономических субъектов, в простейшем случае используют модель адаптивных ожиданий. Адаптивные ожидания некоторой величины формируются только на основе прошлых значений этой E величины. Например, пусть xt зависит от ожиданий ( zt ) величины zt, zt —веE личина, от прогноза которой должен зависеть xt (например, инфляция), zt — ожидание (прогноз) этой величины в момент времени t.

E xt = + zt + t.

Вцелом xt выгодно выбирать в зависимости от того, какой величина zt будет в будущем: zt+1, zt+2,..., од нако в момент выбора t известны только текущее и прошлые значения (..., zt-1, zt).

E Ошибка в ожиданиях zt приводит к их корректировке. Модель адаптации ожиданий к фактическому значению zt записывается так:

E E E zt - zt-1 = (zt - zt-1), 15.3 Некоторые прикладные динамические модели где — скорость приспособления ожиданий. Если =0, то ожидания никак не адаптируются к действительности и прогнозы не сбываются (скорость адаптации нулевая); если =1, скорость адаптации мгновенная, наши ожидания сбываются E (полностью адаптировались): zt = zt. Обычно 0 < <1.

Легко видеть, что модель адаптации ожиданий основывается на формуле экспоненциальной средней:

E E zt = zt +(1- )zt-1.

E Для оценки параметров модели надо исключить ненаблюдаемые ожидания zt.

Используя лаговый оператор, получаем:

E E E zt - (1 - )zt-1 =(1 - (1 - )L)zt = zt, откуда zt E zt = = (1 - )izt-i.

1 - (1 - )L i=Таким образом, ожидания в рассматриваемой модели описываются бесконечным геометрическим распределенным лагом с параметром затухания =1 -.

E Если в уравнение для xt вместо zt подставить данный бесконечный ряд, то получится модель регрессии с геометрическим распределенным лагом:

zt xt = + + t. (15.8) 1 - (1 - )L Как было показано ранее, модель геометрического лага с помощью преобразования Койка приводится к модели ADL. Умножим обе части уравнения 15.на 1 - (1 - )L и получим:

(1 - (1 - )L)xt =(1 - (1 - )L) + zt +(1- (1 - )L)t.

После соответствующего переобозначения параметров модель адаптивных ожиданий приобретает новую форму — ADL(1, 0) с MA(1)-ошибкой:

xt = +(1- )xt-1 + zt + t - (1 - )t-1.

Оценивать модель адаптивных ожиданий можно теми же методами, что и модель Койка.

512 Глава 15. Динамические модели регрессии Модель исправления ошибок В динамических регрессионных моделях важно различие между долгосрочной и краткосрочной динамикой. Это различие можно анализировать в рамках модели исправления ошибок. Рассмотрим в долгосрочном аспекте модель ADL(1, 1):

xt = µ + 1xt-1 + 0zt + 1zt-1 + t.

Предположим, что фактор zt и ошибка t являются стационарными процессами. Тогда при |1| < 1 изучаемая переменная xt также стационарна. Возьмем математические ожидания от обеих частей уравнения модели:

x = µ + 1x + 0z + 1z.

В этой формуле x = E(xt), z = E(zt) (стационарные уровни x и z) иучиты вается, что E(t) =0. Получаем уравнение µ 0 + x = + z = µ + z, 1 - 1 1 - которое описывает долгосрочное стационарное состояние экономического процесса. Коэффициент 0 + = (15.9) 1 - отражает долгосрочное влияние z на x. Он совпадает с долгосрочным мультипликатором (15.6).

Модель ADL(1, 1) можно привести к виду, который описывает краткосрочную динамику экономической системы. В этом виде модель называется моделью исправления ошибок, сокращенно ECM (error-correction model):

xt = µ - (1 - 1)xt-1 + 0zt +(0 + 1)zt-1 + t или xt = 0zt - xt-1 - (µ + zt-1) + t, (15.10) где =1 - 1, xt = xt - xt-1, zt = zt - zt-1.

Предполагается, что если в предыдущий период переменная x отклонилась от своего «долгосрочного значения» µ +z, тоэлемент xt-1-(µ +zt-1) корректирует динамику в нужном направлении. Для того чтобы это происходило, необходимо выполнение условия |1| < 1.

15.4. Упражнения и задачи Иногда из теории, описывающей явление, следует, что =1, тогда 1 + 0 + + 1 =1. Часто именно такую модель называют ECM.

Модели частичного приспособления и адаптивных ожиданий являются частными случаями модели исправления ошибок — не только формально математически, но и по экономическому содержанию. Например, модель частичного приспособления (15.7) в форме ECM выглядит как xt = zt - (xt-1 - - zt-1) +t + t.

Рассмотрим теперь авторегрессионную модель с распределенным лагом общего вида (15.5) и покажем, что ее можно представить в виде модели исправления ошибок. При предположениях о стационарности xt и t математические ожидания от обеих частей уравнения (15.5) приводят к выражению:

p q x = µ + jx + jz j=1 j=или q j µ j=x = p + p z = µ + z, 1 - j 1 - j j=1 j=где коэффициент долгосрочного влияния z на x:

q j j= = p, 1 - j j=как и в случае ADL(1, 1), совпадает с долгосрочным мультипликатором.

В этих обозначениях можно представить модель ADL(p, q) в виде модели исправления ошибок:

p-1 q- xt = - xt-1 - (µ + zt-1) + jxt-j + jzt-j + t, (15.11) j=1 j=где p p q = 1 - j, j = - i, j = - i при j >0, и0 = 0.

j=1 i=j+1 i=j+15.4. Упражнения и задачи Упражнение Сгенерируйте нормально распределенный некоррелированный ряд xt длиной 24 со средним 2000 и дисперсией 900.

514 Глава 15. Динамические модели регрессии 1.1. На основе этого ряда по модели yt = 5 + 5xt +8xt-1 +9xt-2 +8xt-3 + +5xt-4 + t, гд е t — нормально распределенный белый шум с дисперсией 100, сгенерируйте 100 рядов yt, t =1,..., 20.

1.2. Используя 100 сгенерированных наборов данных, оцените модель распределенного лага с максимальной длиной лага q =4. Найдите среднее и дисперсию оценок коэффициентов. Сравните с истинными значениями.

1.3. Для первых 5 наборов данных выберите наиболее подходящую длину лага на основе информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца (BIC), оценив модель для q =2,..., 6.

1.4. Используя все 100 наборов, оцените модель полиномиального лага с максимальной длиной лага q = 4 и степенью полинома p = 2. Рассчитайте средние и дисперсии оценок весов распределенного лага. Сравните с истинными значениями. Сравните с результатами из упражнения 1.2 и сделайте вывод о том, какие оценки точнее.

1.5. Повторите упражнение 1.4 для а) q =4, p =3; б) q =6, p =2 ; в) q =3, p =2.

Упражнение В таблице 15.1 приведены данные из известной статьи С. Алмон по промышленным предприятиям США (EXPEND — capital expenditures, капитальные расходы, APPROP — appropriations).

2.1. Постройте графики двух рядов. Что можно сказать по ним о рядах Видна ли зависимость между рядами (в тот же период или с запаздыванием) 2.2. Постройте кросс-корреляционную функцию для сдвигов -12,..., 0,..., 12.

Сделайте выводы.

2.3. Используя данные, оцените неограниченную модель распределенного лага с максимальной длиной лага q = 6,..., 12 для зависимости EXPEND от APPROP. Используя известные вам методы, выберите длину лага.

2.4. Оцените модель полиномиального лага с максимальным лагом 8 и степенью многочлена p =2,..., 6. С помощью статистики Стьюдента проверьте гипотезы p =5 против p =6,..., p =3 против p =2 и выберите наиболее подходящую степень p.

Pages:     | 1 |   ...   | 56 | 57 || 59 | 60 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.