WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 82 |

28. В каком случае процесс, описываемый моделью MA(q), стационарен и обратим 29. Коэффициент автокорреляции первого порядка для обратимого процесса скользящего среднего первого порядка равен -0.4. Записать уравнение процесса и изобразить график его автокорреляционной функции.

30. Показать, что обратимый процесс MA(1) можно представить в виде процесса авторегрессии.

31. Показать, что процесс xt = µ + t + 1t-1 эквивалентен процессу AR(), если |1| < 1 и t —белыйшум.

32. Найти автокорреляционную функцию процесса:

xt = t - 0.5xt-1 - 0.25xt-2 - 0.125xt-3 - 0.0625xt-4 +....

33. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и ковариаций случайного процесса xt = µ + t + 1t-1 при условии его слабой стационарности, если t — белый шум с дисперсией 2.

34. Пусть t — белый шум с единичной дисперсией. Чему равна дисперсия процесса xt = t +0.2t-1 Изобразить график автокорреляционной функции.

35. Идентифицировать процесс, автокорреляционная функция которого имеет следующий вид:

а) 1 =0.25, k =0, k 2; б) 1 = -0.4, k =0, k 2.

14.10 Упражнения и задачи 36. Является ли случайный процесс, автокорреляционная функция которого имеет следующий вид: 1 =0.5, k =0, k 2, обратимым 37. Для каждого из случайных процессов:

а) xt = t +0.5t-1; б) xt = t - 0.5t-1; в) xt = -1+t +0.8t-1;

рассчитать частную автокорреляционную функцию, вычислить первые 6 значений автокорреляционной функции и построить ее график.

38. Показать, что частные автокорреляционные функции следующих слабо стационарных случайных процессов совпадают:

а) xt = µ + t + 1t-1 и zt = t + 1t-1, б) xt = µ + t + 1t-1 + 2t-2 +... + qt-q и zt = t + 1t-1 + 2t-2 +... + qt-q, 2 где t и t — процессы белого шума с дисперсиями и v, соответственно.

39. Имеется следующий обратимый процесс : xt = t +1t-1 +2t-2, гд е t — белый шум с дисперсией 2. Рассчитать коэффициенты автоковариации.

Записать автокорреляционную функцию для этого процесса.

40. Построить график автокорреляционной функции процесса:

а) xt = t +0.5t-1 - 0.3t-2; б) xt =1 +t - 0.4t-1 +0.4t-2.

41. Переписать случайный процесс xt =0.5xt-1 +0.5xt-2 + t - t-1 +3t-с использованием лагового оператора, где t — белый шум. Проверить процесс на стационарность и обратимость.

42. Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса xt =0.5xt-1 + t - 0.7t-1, если t — белый шум. Построить график автокорреляционной функции.

43. На примере процесса ARMA(1, 1) продемонстрировать алгоритм оценивания его параметров методом моментов.

31 44. Найти параметры модели ARMA(1, 1), если 1 =, 2 =.

41 45. Проверить на стационарность и обратимость процесс xt =0.6+0.3xt-1 +0.4xt-2 + t - 0.7t-1, где t — белый шум с дисперсией 2. Представить процесс в виде AR(), если это возможно.

498 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 46. Определить порядок интегрирования процесса xt =1.5xt-1 +0.5xt-2 + t - 0.5t-1. Ответ обосновать.

47. Для модели (1 - L)(1 + 0.4L)xt =(1 - 0.5L)t определить параметры p, d, q. Является ли процесс стационарным 48. Записать формулу расчета коэффициента автоковариации первого порядка для процесса ARIMA(2, 2, 2).

49. Какую роль выполняет оператор скользящего среднего в прогнозировании процессов ARMA(p, q) Ответ обосновать.

50. Построить точечный прогноз на один шаг вперед, если известно, что процесс xt =0.1xt-1 + t +0.2t-1, xT =10, T =0.1.

51. Построить доверительный интервал для прогноза на два шага вперед для случайного процесса xt =0.5xt-1+t, если известно, что xT = -1.6 и t — белый шум с единичной дисперсией.

52. Построить интервальный прогноз на 2 шага впереддля случайного процесса:

а) xt =1 +t +0.7t-1, если t — белый шум с единичной дисперсией и T = -6.7;

б) xt =1 +1.3xt-1 + t, если t — белый шум с единичной дисперсией и xT =7.1, xT -1 =6.7, t =0.5.

53. Записать в компактной и развернутой формах уравнение процесса ARIMA(1, 2, 2), привести формулу доверительного интервала для прогноза на 4 шага вперед с выводом формул для параметров j и дисперсии белого шума.

54. Записать формулу доверительного интервала для прогноза по модели ARIMA(1, 1, 1), с выводом формул для j и дисперсии белого шума.

Рекомендуемая литература 1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т. 2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 3).

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.

(Гл. 5).

3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.

Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 3–6).

14.10 Упражнения и задачи 4. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 47).

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 12).

6. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 2. // Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. — М.: «Финансы и статистика», 1990. (Гл. 18).

7. Chatfield Chris. The Analysis of Time Series: An Introduction... 5th ed. — Chapman & Hall/CRC, 1996. (Ch. 3–5).

8. Enders Walter. Applied Econometric Time Series. — Iowa State University, 1995. (Ch. 5).

9. Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 7).

10. Hamilton James D., Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994.

(Ch. 3, 4).

11. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists. — Cambridge University Press, 1990. (Ch. 5–8).

12. Pollock D.S.G. A handbook of time-series analysis, signal processing and dynamics. — «Academic Press», 1999. (Ch. 16–19).

Глава Динамические модели регрессии При моделировании экономических процессов с помощью регрессионного анализа часто приходится наряду с некоторым временным рядом вводить в модель также лаг этого ряда. В экономике практически нет примеров мгновенного реагирования на какое-либо экономическое воздействие — существуют задержки проявления эффектов от капиталовложений, внесения удобрений и т.д., иными словами, при моделировании необходимо учитывать воздействие факторов в предыдущие моменты времени. Выше были введены некоторые из таких моделей: регрессия с распределенным лагом и модели ARIMA. В этой главе рассматриваются различные аспекты подобного рода моделей.

15.1. Модель распределенного лага:

общие характеристики и специальные формы структур лага Напомним, что простейшая модель распределенного лага — это модель регрессии, в которой на динамику исследуемой переменной xt влияет не только какой-то объясняющий фактор zt, но и его лаги. Модель имеет следующий вид:

q xt = µ + jzt-j + t = µ + (L)zt + t, (15.1) j=15.1 Модель распределенного лага q где (L) = jLj, a q — величина максимального лага.

j=Данную модель можно охарактеризовать следующими показателями.

Функция реакции на импульс (impulse response function, IRF) показывает, насколько изменится xt при изменении zt-j на единицу для лагов j =0, 1, 2,....

dxt Таким образом, можно считать, что речь идет о производной как функции dzt-j запаздывания j. Ясно, что для модели распределенного лага этот показатель совпадает с коэффициентом j при j q и равен нулю при j > q. При j < (влияние будущих значений переменной z на переменную x) реакцию на импульс можно положить равной нулю.

Накопленная реакция на импульс для лага k — это просуммированные значения простой функции реакции на импульс от j = 0 до j = k. Для мод ели распределенного лага это сумма коэффициентов:

min{k, q} j.

j=Долгосрочный мультипликатор является измерителем общего влияния переменной z на переменную x. Онравен q = j = (1).

j=Это предельное значение накопленной реакции на импульс. Если x и z — логарифмы исходных переменных, то — долгосрочная эластичность.

Средняя длина лага показывает, на сколько периодов в среднем запаздывает влияние переменной z на переменную x. Она вычисляется по формуле q q jj jj j=0 j= j = =.

q j j=Заметим, что среднюю длину лага можно записать через производную логарифма многочлена (L) в точке 1. Действительно, q q (v) = jvj = jjvj-j=0 j=502 Глава 15. Динамические модели регрессии q (1) и (1) = jj. Поэтому j = =(ln (v)).

(1) v=j=Наряду со средней длиной лага можно рассматривать также медианную длину лага, то есть такую величину лага, при которой накопленная функция реакции на импульс равна половине долгосрочного мультипликатора. Ясно, что для большинства возможных структур лага такое равенство может выполняться только приближенно. Поэтому невозможно дать однозначное определение медианной длины лага.

Оценивание модели распределенного лага может быть затруднено проблемой мультиколлинеарности, если величина фактора zt мало меняется со временем. Если zt — случайный процесс, то такая ситуация возникает, когда данный процесс сильно положительно автокоррелирован. Например, это может быть авторегрессия первого порядка с коэффициентом авторегрессии, близким к единице. Если бы фактор zt был линейным трендом, например, zt = t, то модель невозможно было бы оценить. Действительно, несложно увидеть, что тогда zt, zt-1 = t - и константа связаны между собой линейной зависимостью. Если zt —линейный тренд с добавлением небольшой стационарной случайной составляющей, то, хотя строгой линейной зависимости уже не будет, проблема мультиколлинеарности останется.

Если возникает подобная проблема мультиколлинеарности, то нельзя точно оценить структуру лага, хотя можно оценить сумму весов i — т.е. долгосрочный мультипликатор. Эта сумма вычленяется из модели следующим образом:

q xt = µ + zt + j (zt-j - zt) +t.

j=В случае мультиколлинеарности лаговых переменных обычно на лаговую структуру накладывают какое-нибудь ограничение, чтобы уменьшить количество оцениваемых коэффициентов. Ниже рассматриваются две наиболее важные модели этого типа.

Полиномиальный лаг Одна из возможных структур лага — полиномиальный лаг1, веса которого задаются многочленом от величины лага j:

p j = sjs, j =0,..., q, (15.2) s=Эту модель предложила С. Алмон, поэтому часто используют термин «лаг Алмон» (Almon lag).

15.1 Модель распределенного лага j j..... q 0 1 Рис. 15.где p — степень многочлена, p

Простейший полиномиальный лаг — линейный. Для него j = 0 + 1j. Как правило, здесь 1 < 0. Его структура изображена на диаграмме (рис. 15.1).

Поскольку исходная модель регрессии линейна и ограничения, которые полиномиальный лаг накладывает на ее коэффициенты, являются линейными, то полученная модель останется линейной. Рассмотрим, каким образом ее можно оценить.

C учетом выражений для j, проведем преобразование исходной модели:

q q p p q p jzt-j = sjs zt-j = s jszt-j = syts.

j=0 j=0 s=0 s=0 j=0 s= j Получим новую модель линейной регрессии:

p xt = µ + syts + t s=с преобразованными факторами q yts = jszt-j.

j=Оценив s, можно вычислить веса j, воспользовавшись формулой (15.2).

При оценивании модели с ограничениями на структуру лага нужно проверить, правильно ли наложены ограничения. С помощью соответствующей F -статистики можно сравнить ее с исходной, неограниченной моделью, поскольку она является ее частным случаем. Модель q xt = µ + syts + t s=504 Глава 15. Динамические модели регрессии j j....

0 1 2 Рис. 15.эквивалентна исходной модели с точностью до линейных преобразований, поэтому достаточно проверить гипотезу о том, что последние q - p коэффициентов (p+1,..., q) равны нулю.

Часто принимают, что веса на концах полиномиальной лаговой структуры (15.2) равны нулю. Это требование накладывает на коэффициенты модели дополнительные ограничения. Можно, например, потребовать, чтобы q =0, то есть p sqs =0.

s=Учесть такие ограничения несколько сложнее, но в целом не требуется выходить за рамки обычной линейной регрессии.

Геометрический лаг Еще один популярный вид структуры лага — геометрический лаг. Еговеса j задаются следующими соотношениями:

j = 0j, j =0,...,, где 0 < <1. Веса геометрического лага убывают экспоненциально с увеличением лага (рис. 15.2).

Модель распределенного лага с этими весами, модель Койка, имеет следующий вид:

xt = µ + 0 jzt-j + t. (15.3) j=Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, получим (v) = jvj = 0 (v)j =.

1 - v j=0 j=15.1 Модель распределенного лага Сумма весов в этой модели (долгосрочный мультипликатор) равна = j = (1) =.

1 - j=Кроме того, ln (v) =ln 0 - ln(1 - v) и (ln (v)) =, 1 - v поэтому средняя длина геометрического лага равна j =(ln (v)) =.

v=1 - Чтобы избавиться от бесконечного ряда, к модели с геометрическим лагом применяют преобразование Койка (Koyck transformation). Сдвинем исходное уравнение на один период назад:

xt-1 = µ + 0jzt-j-1 + t-1, j=затем умножим это выражение на и вычтем из исходного уравнения (15.3):

xt - xt-1 =(1 - )µ + 0zt + t - t-1. (15.4) Такой же результат можно получить, используя лаговые операторы:

xt = µ + 0 jzt-j + t = µ + 0 (L)j zt + t.

j=0 j=Выражение в скобках упрощается с использованием формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии:

xt = µ + 0 zt + t.

1 - L Умножим это уравнение на оператор (1 - L):

(1 - L) xt =(1 - L) µ + 0zt +(1- L) t или учитывая, что оператор сдвига, стоящий перед константой, ее сохраняет, получаем формулу (15.4). В результате имеем следующую модель:

xt = µ + xt-1 + 0zt +, t 506 Глава 15. Динамические модели регрессии где µ =(1 - )µ и = t - t-1. Это частный случай авторегрессионной модели t с распределенным лагом, рассматриваемой в следующем пункте.

Заметим, что в полученной здесь модели ошибка не является белым шумом, t а представляет собой процесс скользящего среднего первого порядка. Модель является линейной регрессией, однако для нее не выполнено требование о некоррелированности регрессоров и ошибки. Действительно, t-1 входит как в xt-1, так ив. Следовательно, оценки метода наименьших квадратов не являются состояt тельными и следует пользоваться другими методами.

Можно оценивать модель Койка в исходном виде (15.3). Сумму в этом уравнении можно разделить на две части: соответствующую имеющимся наблюдениям для переменной zt и относящуюся к прошлым ненаблюдаемым значениям, т.е. z0, z-1 и т.д.:

t- xt = µ + 0 jzt-j + 0 jzt-j + t.

j=0 j=t Далее, во второй сумме сделаем замену j = s + t:

t- xt = µ + 0 jzt-j + 0t sz-s + t.

j=0 s= Обозначив = 0 sz-s, получим модель нелинейной регрессии с четырьмя s=неизвестными параметрами:

t- xt = µ + 0 jzt-j + t + t.

j=В такой модели ошибка и регрессоры некоррелированы, поэтому нелинейный МНК дает состоятельные оценки.

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.